第2講分類討論思想、轉化與化歸思想高考定位分類討論思想，轉化與化歸思想近幾年高考每年必考，普通表達在解析幾何、函數與導數解答題中，難度較大.1/361.中學數學中可能引發分類討論原因(1)由數學概念而引發分類討論：如絕對值定義、不等式定義、二次函數定義、直線傾斜角等.(2)由數學運算要求而引發分類討論：如除法運算中除數不為零，偶次方根為非負數，對數運算中真數與底數要求，指數運算中底數要求，不等式中兩邊同乘以一個正數、負數，三角函數定義域，等比數列{an}前n項和公式等.2/36(3)由性質、定理、公式限制而引發分類討論：如函數單調性、基本不等式等.(4)由圖形不確定性而引發分類討論：如二次函數圖象、指數函數圖象、對數函數圖象等.(5)由參數改變而引發分類討論：如一些含有參數問題，因為參數取值不一樣會造成所得結果不一樣，或者因為對不一樣參數值要利用不一樣求解或證實方法等.3/362.常見轉化與化歸方法轉化與化歸思想方法用在研究、處理數學問題時，思維受阻或尋求簡單方法或從一個情況轉化到另一個情形，也就是轉化到另一個情境使問題得到處理，這種轉化是處理問題有效策略，同時也是獲取成功思維方式.常見轉化方法有：(1)直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.(2)換元法：利用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜函數、方程、不等式問題轉化為易于處理基本問題.4/36(3)數形結正當：研究原問題中數量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，經過相互變換取得轉化路徑.(4)等價轉化法：把原問題轉化為一個易于處理等價命題，到達化歸目標.(5)特殊化方法：把原問題形式向特殊化形式轉化，并證實特殊化后問題、結論適合原問題.(6)結構法：“結構”一個適當數學模型，把問題變為易于處理問題.5/36(7)坐標法：以坐標系為工具，用計算方法處理幾何問題是轉化方法一個主要路徑.(8)類比法：利用類比推理，猜測問題結論，易于確定.(9)參數法：引進參數，使原問題轉化為熟悉形式進行處理.(10)補集法：假如正面處理原問題有困難，可把原問題結果看做集合A，而把包含該問題整體問題結果類比為全集U，經過處理全集U及補集?UA取得原問題處理，表達了正難則反標準.6/36熱點一分類討論思想應用[微題型1]由性質、定理、公式限制引發分類【例1－1】(1)設數列{an}前n項和為Sn，已知2Sn＝3n＋3，求數列{an}通項an＝________.7/368/369/36探究提升

由性質、定理、公式限制引發分類整正當往往是因為有數學定理、公式、性質是分類給出，在不一樣條件下結論不一致情況下使用，如等比數列前n項和公式、函數單調性等.10/36[微題型2]由數學運算要求引發分類【例1－2】(1)不等式|x|＋|2x＋3|≥2解集是(

)11/36(2)已知m∈R，求函數f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在區間[0，1]上最大值為________.12/3613/3614/3615/36探究提升

由數學運算要求引發分類整正當，常見類型有除法運算中除數不為零，偶次方根為非負，對數運算中真數與底數要求，指數運算中底數要求，不等式兩邊同乘以一個正數、負數問題，含有絕對值不等式求解，三角函數定義域等，依據對應問題中條件對對應參數、關系式等加以分類分析，進而分類求解與綜合.16/36[微題型3]由參數改變引發分類【例1－3】

(·全國Ⅱ卷)已知函數f(x)＝lnx＋a(1－x).(1)討論f(x)單調性；(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時，求a取值范圍.17/3618/3619/36探究提升

由參數改變引發分類整正當經慣用于一些含有參數問題，如含參數方程、不等式，因為參數取值不一樣會造成所得結果不一樣，或對于不一樣參數值要利用不一樣求解或證實方法.20/36熱點二轉化與化歸思想[微題型1]換元法【例2－1】

已知實數a，b，c滿足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，則a最大值是________.21/36探究提升

換元法是一個變量代換，也是一個特殊轉化與化歸方法，是用一個變數形式去取代另一個變數形式，是將生疏(或復雜)式子(或數)，用熟悉(或簡單)式子(或字母)進行替換；化生疏為熟悉、復雜為簡單、抽象為詳細，使運算或推理能夠順利進行.22/36[微題型2]特殊與普通轉化23/36答案C24/36探究提升普通問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題普通化，能夠使我們從宏觀整體高度把握問題普通規律，從而到達成批處理問題效果.25/36[微題型3]常量與變量轉化【例2－3】

對任意|m|≤2，函數f(x)＝mx2－2x＋1－m恒為負，則x取值范圍為________.解析對任意|m|≤2，有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，即|m|≤2時，(x2－1)m－2x＋1＜0恒成立.設g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，則原問題轉化為g(m)＜0恒成立(m∈[－2，2]).26/3627/36探究提升

在處理多變元數學問題時，我們能夠選取其中參數，將其看做是“主元”，而把其它變元看做是常量，從而到達降低變元簡化運算目標.28/36[微題型4]正與反相互轉化29/3630/36探究提升

否定性命題，常要利用正反相互轉化，先從正面求解，再取正面答案補集即可，普通地，題目若出現各種成立情形，則不成立情形相對極少，從反面考慮較簡單，所以，間接法多用于含有“至多”、“最少”及否定性命題情形問題中.31/361.分類討論思想本質是“化整為零，積零為整”.用分類討論思維策略解數學問題操作過程：明確討論對象和動機→確定分類標準→逐類進行討論→歸納綜合結論→檢驗分類是否完備(即分類對象彼此交集為空集，并集為全集).做到“確定對象全體，明確分類標準，分類不重復、不遺漏”分析討論.常見分類討論問題有：(1)集合：注意集合中空集?討論.32/3633/3634/362.轉化與化歸思想遵照標準：(1)熟悉已知化標準：將陌生問題轉化為熟悉問題，將未知問題轉化為已知問題，方便于我們利用熟知知識、經驗和問題來處理.(2)簡單化標準：將復雜問題化歸為簡單問題，經過對簡單問題處理，到達處理復雜問