第2講數(shù)列求和問題專題四數(shù)列、推理與證實1/42熱點分類突破真題押題精練2/42Ⅰ熱點分類突破3/42熱點一分組轉(zhuǎn)化求和有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.4/42例1

(屆安徽省合肥市模擬)已知等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，且滿足S4＝24，S7＝63.(1)求數(shù)列{an}通項公式；解答解∵{an}為等差數(shù)列，5/42解答思維升華(2)若

求數(shù)列{bn}前n項和Tn.6/42解∵＝22n＋1＋(－1)n·(2n＋1)＝2·4n＋(－1)n·(2n＋1)，7/428/42思維升華在處理普通數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把普通數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項組成等差數(shù)列，哪些項組成等比數(shù)列，清楚正確地求解.在利用分組求和法求和時，因為數(shù)列各項是正負(fù)交替，所以普通需要對項數(shù)n進行討論，最終再驗證是否能夠合并為一個公式.9/42(1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；則bn＋1－bn＝2(n＋1)－1－2n＋1＝2.所以數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公差等差數(shù)列.證實10/42(2)設(shè)cn＝an＋b2n，求數(shù)列{cn}前n項和Tn.解答11/42解由(1)知，b2n＝4n－1，則數(shù)列{b2n}是以3為首項，4為公差等差數(shù)列.12/42熱點二錯位相減法求和錯位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式時所用方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.13/42例2

(·河南省夏邑一高模擬)已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求數(shù)列{an}與{bn}通項公式；解答14/42解

設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，等比數(shù)列{bn}公比為q，由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d，故an＝3n－1，bn＝2n(n∈N*).15/42(2)求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn值.解

Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，

①2Tn＝2×22＋5×23＋8×24＋…＋(3n－1)×2n＋1，

②①—②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝3×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－2－(3n－1)×2n＋1＝(4－3n)2n＋1－8，∴Tn＝8＋(3n－4)·2n＋1.解答思維升華16/42思維升華(1)錯位相減法適合用于求數(shù)列{an·bn}前n項和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列.(2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減.要注意是相減后得到部分求等比數(shù)列和，此時一定要查清其項數(shù).(3)為確保結(jié)果正確，可對得到和取n＝1,2進行驗證.17/42跟蹤演練2

(·江西省贛州市十四縣(市)聯(lián)考)等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，已知a2＝7，a3為整數(shù)，且Sn最大值為S5.(1)求{an}通項公式；解答解由a2＝7，a3為整數(shù)知，等差數(shù)列{an}公差d為整數(shù).又Sn≤S5，故a5≥0，a6≤0，所以d＝－2，數(shù)列{an}通項公式為an＝11－2n(n∈N*).18/42(2)設(shè)bn＝

，求數(shù)列{bn}前n項和Tn.解答19/4220/42熱點三裂項相消法求和裂項相消法是指把數(shù)列和式中各項分別裂開后，一些項能夠相互抵消從而求和方法，主要適合用于(其中{an}為等差數(shù)列)等形式數(shù)列求和.21/42例3

(屆湖南省郴州市質(zhì)量檢測)已知等差數(shù)列{an}前n項和為Sn(n∈N*)，a3＝3，且λSn＝anan＋1，在等比數(shù)列{bn}中，b1＝2λ，b3＝a15＋1.(1)求數(shù)列{an}及{bn}通項公式；解答思維升華22/42解∵λSn＝anan＋1，a3＝3，∴λa1＝a1a2，且λ(a1＋a2)＝a2a3＝3a2，∴a2＝λ，a1＋a2＝a3＝3，

①∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a3＝2a2，即2a2－a1＝3，

②由①②得a1＝1，a2＝2，∴an＝n，λ＝2，∴b1＝4，b3＝16，則bn＝2n＋1或bn＝(－2)n＋1(n∈N*).23/42思維升華裂項相消法基本思想就是把通項an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)形式，從而在求和時到達一些項相消目標(biāo)，在解題時要善于依據(jù)這個基本思想變換數(shù)列{an}通項公式，使之符合裂項相消條件.24/42解答思維升華25/42思維升華慣用裂項公式26/42跟蹤演練3

(·吉林省吉林市普通高中調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}前n和為Sn，公差d≠0，且a3＋S5＝42，a1，a4，a13成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}通項公式；解答解設(shè)數(shù)列{an}首項為a1，因為等差數(shù)列{an}前n和為Sn，a3＋S5＝42，a1，a4，a13成等比數(shù)列.又公差d≠0，所以a1＝3，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.27/42解答則Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn28/42Ⅱ真題押題精練29/42真題體驗1.(·全國Ⅱ)等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝______.答案解析1230/42解析設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，則1231/422.(·天津)已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項為2等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}通項公式；12解答32/42解設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，等比數(shù)列{bn}公比為q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因為q>0，解得q＝2，所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，

①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，

②聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以數(shù)列{an}通項公式為an＝3n－2，數(shù)列{bn}通項公式為bn＝2n.1233/42(2)求數(shù)列{a2nb2n－1}前n項和(n∈N*).12解答34/42解設(shè)數(shù)列{a2nb2n－1}前n項和為Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，

③4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，

④③－④，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8，1235/42押題預(yù)測答案解析押題依據(jù)數(shù)列通項以及求和是高考重點考查內(nèi)容，也是《考試綱領(lǐng)》中明確提出知識點，年年在考，年年有變，變是試題外殼，即在題設(shè)條件上有變革，有創(chuàng)新，但在變中有不變性，即解答問題慣用方法有規(guī)律可循.121.已知數(shù)列{an}通項公式為an＝

，其前n項和為Sn，若存在M∈Z，滿足對任意n∈N*，都有Sn<M恒成立，則M最小值為_____.1押題依據(jù)36/421237/422.已知數(shù)列{an}前n項和Sn滿足Sn＝a(Sn－an＋1)(a為常數(shù)，且a>0)，且4a3是a1與2a2等差中項.(1)求{an}通項公式；解答押題依據(jù)錯位相減法求和是高考重點和熱點，本題先利用an，Sn關(guān)系求an，也是高考出題常見形式.12押題依據(jù)38/42解當(dāng)n＝1時，S1＝a(S1－a1＋1)，所以a1＝a，當(dāng)n≥2時，Sn＝a(Sn－an＋1)，

①Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，

②12故{an}是首項a1＝a，公比為a等比數(shù)列，所以an＝a·an－1＝an.故a2＝a2，a3＝a3.由4a3是a1與2a2等差中項，可得8a3＝a1＋2a2，39/42即8a3＝a＋2a2，因為a≠0，整理得8a2－2a－1＝0，即(2a－1)(4a＋1)＝0，1240/42解答1241/4212所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)×2n－1＋(2n＋1)