§12.4復數[考綱要求]

1.了解復數基本概念，了解復數相等充要條件.2.了解復數代數表示法和幾何意義，會進行復數代數形式四則運算.3.了解復數代數形式加、減運算幾何意義．1/421．復數相關概念(1)復數定義形如a＋bi(a，b∈R)數叫做復數，其中實部是____，虛部是____．ab2/423/424/423．復數運算(1)復數加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則：①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_______________；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i5/42(2)復數加法運算定律復數加法滿足交換律、結合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝______，(z1＋z2)＋z3＝___________．(3)復數乘法運算定律復數乘法滿足交換律、結合律、分配律，即對于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.z2＋z1z1＋(z2＋z3)6/42【思索辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(

)(2)復數z＝a＋bi，(a，b∈R)中，虛部為bi.(

)(3)復數中有相等復數概念，所以復數能夠比較大小．(

)(4)原點是實軸與虛軸交點．(

)(5)復數模實質上就是復平面內復數對應點到原點距離，也就是復數對應向量模．(

)【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√7/421．(·安徽)設i是虛數單位，則復數(1－i)(1＋2i)等于(

)A．3＋3i

B．－1＋3iC．3＋iD．－1＋i【解析】

(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i，故選C.【答案】

C8/422．(·課標全國Ⅰ)已知復數z滿足(z－1)i＝1＋i，則z等于(

)A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i【解析】

由(z－1)i＝1＋i，兩邊同乘以－i，則有z－1＝1－i，所以z＝2－i.【答案】

C9/423．在復平面內，復數6＋5i，－2＋3i對應點分別為A，B.若C為線段AB中點，則點C對應復數是(

)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i【解析】

∵A(6，5)，B(－2，3)，∴線段AB中點C(2，4)，則點C對應復數為z＝2＋4i.【答案】

C10/424．已知a，b∈R，i是虛數單位．若a＋i＝2－bi，則(a＋bi)2等于(

)A．3－4iB．3＋4iC．4－3iD．4＋3i【解析】

∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.【答案】

A11/42【答案】

2＋i12/4213/4214/42(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”(

)A．充分無須要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又無須要條件15/42【答案】

(1)C

(2)B

(3)A16/42【方法規律】

處理復數概念問題方法及注意事項(1)復數分類及對應點位置都能夠轉化為復數實部與虛部應該滿足條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)形式，以確定實部和虛部．17/42跟蹤訓練1(1)若復數z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數，則實數x值為(

)A．－1B．0C．1D．－1或1(2)(·江蘇)復數z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數單位，則z實部是________．18/42【答案】

(1)A

(2)519/42題型二復數運算命題點1復數乘法運算【例2】

(1)(·湖北)i為虛數單位，i607共軛復數為(

)A．iB．－iC．1D．－1(2)(·北京)復數i(2－i)等于(

)A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i20/42【答案】

(1)A

(2)A21/4222/42【答案】

(1)C

(2)B23/4224/42【答案】

(1)－2

(2)A25/42【方法規律】

復數代數形式運算問題常見類型及解題策略(1)復數乘法．復數乘法類似于多項式四則運算，可將含有虛數單位i看作一類同類項，不含i看作另一類同類項，分別合并即可．(2)復數除法．除法關鍵是分子分母同乘以分母共軛復數，解題中要注意把i冪寫成最簡形式．26/42(3)復數運算與復數概念綜合題，先利用復數運算法則化簡，普通化為a＋bi(a，b∈R)形式，再結合相關定義解答．(4)復數運算與復數幾何意義綜合題．先利用復數運算法則化簡，普通化為a＋bi(a，b∈R)形式，再結合復數幾何意義解答．(5)復數綜合運算．分別利用復數乘法、除法法則進行運算，要注意運算次序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面．27/4228/42【答案】

(1)A

(2)A29/42題型三復數幾何意義【例5】

(1)△ABC三個頂點對應復數分別為z1，z2，z3，若復數z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應點為△ABC(

)A．內心

B．垂心C．重心

D．外心【解析】

由幾何意義知，復數z對應點到△ABC三個頂點距離都相等，z對應點是△ABC外心．【答案】

D30/42(2)如圖所表示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求：31/4232/42【方法規律】

因為復平面內點、向量及向量對應復數是一一對應，要求某個向量對應復數時，只要找出所求向量始點和終點，或者用向量相等直接給出結論即可．33/42跟蹤訓練3(1)如圖，在復平面內，點A表示復數z，則圖中表示z共軛復數點是(

)34/42A．AB．BC．CD．D【解析】

表示復數z點A與表示z共軛復數點關于x軸對稱，∴B點表示z.選B.【答案】

B35/4236/4237/42思想與方法系列23處理復數問題實數化思想【典例】(12分)已知x，y為共軛復數，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.【思維點撥】(1)x，y為共軛復數，可用復數基本形式表示出來；(2)利用復數相等，將復數問題轉化為實數問題．38/4239/42【溫馨提醒】(1)復數問題要把握一點，即復數問題實數化，這是處理復數問題最基本思想方法．(2)本題求解關鍵是先把x、y用復數基本形式表示出來，再用待定系數法求解．這是慣用數學方法．(3)本題易錯原因為想不到利用待定系數法，或不能將復數問題轉化為實數方程求解.40/42?方法與技巧1．復數代數形式運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實際上是分母實數化過程．2．復數z＝a＋bi(a，b∈R)是由它實部和虛部唯一確定，兩個復數相等充要條件是復數問題轉化為實數問題主要方法．對于一個復數z