第九章立體幾何初步1/35知識網絡

2/35【考情分析】年份試題知識點備注第8,16題柱體體積，線面平行、面面垂直幾何體為圓柱、三棱錐第9,16題柱體、錐體體積、線面平行、線線垂直幾何體為圓柱、圓錐、三棱柱第16,17題線面平行、面面垂直，立體幾何背景實際問題幾何體皆為棱柱3/35【備考策略】1.因為立體幾何知識點、定理和方法較多，所以復習時主要從一條根本“線線→線面→面面”進行梳理和總結，即兩個關系(平行與垂直)，其中包含三個平行(線線平行、線面平行、面面平行)，三個垂直(線線垂直、線面垂直、面面垂直)．2.在復習時要注意聯絡平面圖形知識，利用類比、引申、聯想等方法，體會量與位置關系變與不變，了解平面圖形和立體圖形異同，以及二者之間內在聯絡，體會到空間問題平面化(即轉化與降維思想)．柱、錐、臺之間割與補，是處理立體幾何問題主要伎倆，但這類問題在近幾年并不多見，適當關注即可．4/35第49課平面性質與空間直線位置關系5/35課前熱身6/351.(必修2P23練習2改編)用集合符號表示“點P在直線l外，直線l在平面α內”為________________．【解析】考查點、線、面之間符號表示．2.(必修2P26練習2改編)假如OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB與∠A1O1B1大小關系為________________．【解析】考慮兩種情況．3.(必修2P31習題12改編)在正方體ABCDA′B′C′D′中，對角線AD′與BD所成角大小為________．【解析】∠DBC′就是對角線AD′與BD所成角平面角．激活思維P?l，l?α

相等或互補60°7/354.(必修2P31習題5改編)以下說法中正確是________．(填序號)①兩兩相交三條直線共面；②四條線段首尾相接，所得圖形是平面圖形；③平行四邊形四邊所在四條直線共面；④若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD不一定異面．【解析】當三條直線交于一點時有可能不共面；四條線段首尾相接，所得圖形能夠組成空間四邊形；若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD一定異面，可反證．③8/351.公理1：假如一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上

點都在這個平面內．它是判定直線在平面內依據．2.公理2：假如兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公共點集合是經過這個公共點一條直線．它是判定兩平面相交、作兩個平面交線依據．知識梳理全部9/353.公理3：經過不在同一條直線上三點，有且只有一個平面．推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．4.公理4：平行于同一條直線兩條直線相互

．5.等角定理：假如一個角兩邊和另一個角兩邊分別

，那么這兩個角相等．平行平行且方向相同10/356.空間兩條直線位置關系有以下三種：位置關系共面情況公共點相交在同一個平面內

平行在同一個平面內異面不一樣在任何一個平面內有且只有一個沒有沒有11/35課堂導學12/35如圖(1)，已知△ABC各頂點均在平面α外，直線AB，AC，BC分別交平面α于點P，Q，R.求證：P，Q，R三點共線．多點共線與多線共點證實例1(例1(1))

13/35【思維引導】依據公理2，選擇恰當兩個平面，只要證實R，Q，P三點都是這兩個平面公共點即可證實這三點在這兩個平面交線上．【解答】如圖(2)，設△ABC確定了一個平面β，因為點R∈BC，所以R∈β.(例1(2))

14/35又因為R∈α，所以R在平面α和平面β交線上．同理，點P，Q也在平面α和平面β交線上．因為平面α和平面β交線只有一條，故P，Q，R三點共線．【精關鍵點評】(1)證實點共線方法：①先考慮兩個平面交線，再證實相關點都是這兩個平面公共點；②先選擇其中兩點確定一條直線，再證實其它點也在這條直線上．(2)公理正確利用，嚴密邏輯推理過程，文字、符號、圖形語言轉化是立體幾何基本要求，也是高考考查重點．15/35如圖，已知E，F，G，H分別為空間四邊形ABCD邊AB，AD，BC，CD上點，且直線EF和GH交于點P，求證：B，D，P三點在同一直線上．變式(變式)

16/35【解答】因為EF∩GH＝P，所以P∈EF，P∈GH.因為E∈AB，F∈AD，所以EF?平面ABD，所以P∈平面ABD.因為G∈BC，H∈CD，所以GH?平面BCD，所以P∈平面BCD.因為平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，即B，D，P三點在同一直線上．17/35 已知直線l與三條平行直線a，b，c都相交，求證：直線l與直線a，b，c共面．【思維引導】先由兩平行直線確定一個平面，再確定另一個平面，最終說明兩平面重合且直線l在三條平行直線所確定平面內即可．【解答】如圖，設直線l與直線a，b，c分別交于點A，B，C，因為a∥b，所以過a，b可確定一個平面α.因為b∥c，所以過b，c可確定一個平面β.點、線共面證實例218/35因為A∈a，B∈b，C∈c，且A，B，C∈l，所以l?α，l?β，所以存在兩條相交直線b，l既在α內又在β內，所以由公理3及推論知α，β必重合，所以直線l與直線a，b，c共面．【精關鍵點評】證實幾條線共面方法：①先由相關元素確定一個基本平面，再證其它點(或線)在這個平面內；②先由部分點線確定平面，再由其它點線確定平面，然后證實這些平面重合．(例2)

19/35 如圖，A∈l，B∈l，C∈l，D?l，求證：直線AD，BD，CD共面．【解答】因為D?l，所以過點D及直線l可確定一個平面α.因為A∈l，B∈l，C∈l，所以A，B，C∈α，所以直線AD，BD，CD共面于α.變式(變式)

20/35 如圖(1)，在棱長為a正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1中點，過D，M，N三點平面與正方體下底面相交于直線l.(1)畫出直線l位置；【解答】如圖(2)，延長DM和D1A1交于點O，則點O同時在所求兩個平面內．連接NO，則直線NO即為直線l.兩平面交線畫法例3(例3(1))

(例3(2))

21/35(2)設l∩A1B1＝P，求PB1長．【解答】因為l∩A1B1＝P，則易知直線NO與A1B1交點即為P.因為A1M∥DD1，且M，N分別是AA1，D1C1中點，所以A1也是D1O中點．22/35【精關鍵點評】(1)畫兩條直線交點時，輕易因為視覺上錯誤造成把兩條異面直線畫出交點來，因而要記住在同一平面兩條相交直線才有交點．(2)題目所給模型中會出現兩個平面只有一個公共點，此時依據公理2對平面進行延展即可得到另一個交點，進而畫出交線．23/35 如圖(1)，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別為CC1，AA1中點，畫出平面BED1F與平面ABCD交線．【解答】如圖(2)，在平面AA1D1D內，延長D1F，因為D1F與DA不平行，所以D1F與DA必相交于一點，設為P，則P∈D1F，P∈DA.又因為D1F?平面BED1F，所以點P∈平面BED1F.變式(變式(1))

(變式(2))

24/35因為AD?平面ABCD，所以點P∈平面ABCD，所以P為平面ABCD與平面BED1F公共點．又B為平面ABCD與平面BED1F公共點，所以連接PB，PB即為平面BED1F與平面ABCD交線．25/35 如圖，在正方體ABCDA′B′C′D′中．(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？【思維引導】找異面直線要嚴格依據定義，而要求角，先找角；要找角，先找平行．依據異面直線所成角定義找到平面角，然后再借助解三角形求角大小．求異面直線所成角例1(例4)

26/35【解答】由異面直線判定方法，可知與直線BA′成異面直線有B′C′，AD，CC′，DD′，DC，D′C′.27/35(2)求異面直線BA′與CC′所成角大小．【解答】由BB′∥CC′，可知∠B′BA′等于異面直線BA′與CC′所成角，所以異面直線BA′與CC′所成角為45°.(3)哪些棱所在直線與直線AA′垂直？【解答】直線AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′與直線AA′都垂直．【精關鍵點評】求異面直線所成角關鍵是借助平行關系找到平面角，然后再放到某個三角形中求解角大小，即“找角—求角”．即使在近幾年高考中求角問題不太常見，但仍需適當關注．28/35 如圖，已知A是△BCD所在平面外一點，E，F分別是BC，AD中點．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；【解答】假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內，這與A是△BCD所在平面外一點相矛盾，故直線EF與BD是異面直線．變式(變式)

29/35(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成角．30/35課堂評價31/351.以下圖形中，不一定是平面圖形是________．(填序號)①三角形；②菱形；③梯形；④四邊相等四邊形．2.若α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，那么直線m與點A位置關系可用集合符號表示為________．3.如圖，若正方體ABCDA′B′C′D′棱長為a，則直線BA′和AD′所成角大小為________．④A∈m

60°(第3題)

32/35【解析】連接BC′，A′C′，易知△A′B

C′是正三角形，且有BC′∥AD′，所以∠A′B

C′就是直線BA′和AD′所成角，又∠A′B

C′＝60°，所以直線BA′和AD′所成角大小為60°.33/354.如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝FC1＝1，求證：E