8.2不等式選講1/26-2-2/26-3-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四絕對值不等式解法【思索】

怎樣解絕對值不等式?例1(全國Ⅲ,理23)已知函數f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m解集非空,求m取值范圍.當x<-1時,f(x)≥1無解;當-1≤x≤2時,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;當x>2時,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1解集為{x|x≥1}.3/26-4-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四4/26-5-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四題后反思絕對值不等式求解方法(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式解法:|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c,然后依據a,b取值求解即可.(2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式解法:①利用絕對值不等式幾何意義求解,表達數形結合思想;②利用“零點分段法”求解,表達分類討論思想;③經過構建函數,利用函數圖象求解,表達函數與方程思想.5/26-6-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四對點訓練1已知函數f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)畫出y=f(x)圖象;(2)求不等式|f(x)|>1解集.6/26-7-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四7/26-8-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四絕對值不等式參數范圍問題【思索】

處理絕對值不等式參數范圍問題慣用方法有哪些?例2已知函數f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)當a=-2時,求不等式f(x)<g(x)解集;(2)設a>-1,且當x∈

時,f(x)≤g(x),求a取值范圍.8/26-9-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四解：(1)當a=-2時,不等式f(x)<g(x)化為|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.設函數y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,其圖象如圖所表示.從圖象可知,當且僅當x∈(0,2)時,y<0.所以原不等式解集是{x|0<x<2}.9/26-10-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四題后反思1.處理絕對值不等式參數范圍問題慣用以下兩種方法:(1)將參數分類討論,將其轉化為分段函數處理;(2)借助于絕對值幾何意義,先求出含參數絕對值表示式最值或取值范圍,再依據題目要求,求解參數取值范圍.2.解答這類問題應熟記以下轉化:f(x)>a恒成立?f(x)min>a;f(x)<a恒成立?f(x)max<a;f(x)>a有解?f(x)max>a;f(x)<a有解?f(x)min<a;f(x)>a無解?f(x)max≤a;f(x)<a無解?f(x)min≥a.10/26-11-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四對點訓練2已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)>5解集為{x|x>2或x<-3}.(1)求a值;(2)若不等式f(x)-f≤k在R上有解,求k取值范圍.解：(1)由|ax+1|>5,得ax>4或ax<-6.又f(x)>5解集為{x|x>2或x<-3},綜上,a=2.11/26-12-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四12/26-13-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四不等式證實【思索】

不等式證實慣用方法有哪些?例3設a,b,c,d均為正數,且a+b=c+d,證實:13/26-14-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四14/26-15-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四題后反思不等式證實慣用方法是:比較法、綜正當與分析法.其中利用綜正當證實不等式時,主要是利用基本不等式證實,與絕對值相關不等式證實慣用絕對值三角不等式.證實過程中首先要注意不等式成立條件,另首先要善于對式子進行恰當轉化、變形.15/26-16-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四對點訓練3(1)設a≥b>0,證實:3a3+2b3≥3a2b+2ab2;(2)證實:a6+8b6+≥2a2b2c2;(3)若a,b,c為正實數,證實:a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc.16/26-17-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四17/26-18-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四不等式綜合應用【思索】

用什么定理或公式處理多變量代數式最值問題?例4已知a,b為正實數.18/26-19-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四題后反思基本不等式在處理多變量代數式最值問題中有著主要應用,利用基本不等式時應注意其條件(一正、二定、三相等).19/26-20-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四對點訓練4(全國Ⅰ,理23)已知函數f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)≥g(x)解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)解集包含[-1,1],求a取值范圍.20/26-21-命題熱點一命題熱點二命題熱點三命題熱點四解:(1)當a=1時,不等式f(x)≥g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①當x<-1時,①式化為x2-3x-4≤0,無解;當-1≤x≤1時,①式化為x2-x-2≤0,從而-1≤x≤1;(2)當x∈[-1,1]時,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)解集包含[-1,1],等價于當x∈[-1,1]時f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]最小值必為f(-1)與f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a取值范圍為[-1,1].21/26-22-規律總結拓展演練1.解絕對值不等式慣用三種解題思緒及應用思想為:(1)利用絕對值不等式幾何意義求解,表達數形結合思想;(2)利用“零點分段法”求解,表達分類討論思想;(3)經過構建函數,利用函數圖象求解,表達函數與方程思想.2.慣用證實不等式方法:(1)比較法,比較法包含作差比較法和作商比較法;(2)綜正當,利用一些已經證實過不等式(比如算術平均數與幾何平均數定理)和不等式性質,推導出所要證實不等式;22/26-23-規律總結拓展演練(3)分析法,證實不等式時,有時能夠從求證不等式出發,分析使這個不等式成立充分條件,把證實不等式轉化為判定這些充分條件是否具備問題,假如能夠必定這些充分條件都已具備,那么就能夠斷定原不等式成立;(4)反證法,能夠從正難則反角度考慮,即要證實不等式A>B,先假設A≤B,由題設及其它性質推出矛盾,從而必定A>B.凡包括證實不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至多”“最少”“不存在”“不可能”等詞語時,能夠考慮用反證法;(5)放縮法,要證實不等式A<B成立,借助一個或多個中間變量經過適當放大或縮小到達證實不等式方法.23/26-24-規律總結拓展演練1.(全國Ⅱ,理23)已知a>0,b>0,a3+b3=2.證實:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.證實:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3所以(a+b)3≤8,所以a+b≤2.24/26-25-規律總結拓展演練2.已知函數f(x)=|2x-a|+a.(1)當a=2時,求不等式f(x)≤6解集;(2)設函數g(x)=|2x-1|,當x∈R時,f(x)+g(x)≥3,求a取值范圍.解：(1)當a=2時,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.所以f(x)≤6解集為{x|-1≤x≤3}.(2)當x∈R時,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,當x=時等號成立,所以當x∈R時,f(x)+g(x)≥3等價于|1-a|+a≥3.①(分類討論)當a≤1時,①等價于1-a+a≥3,無解.當a>1時,①等價于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a取值范圍是[2,+∞).25/26-26-規律總結拓