第第頁浙江省強基聯盟2024-2025學年高三下學期2月聯考數學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A={x||x?1|<2}，B=?1,0,1,2,3，則A∩B=A．?1,0 B．?1,3 C．0,1,2 D．1,2,32．若z?2z=i，則A．?1+i B．?1?i C．1?i D．1+i3．已知向量a=4,0，b=x,3，若A．?1 B．0 C．1 D．24．將半徑為4的半圓面圍成一個圓錐，則該圓錐的體積為（）A．83π B．833π 5．已知sinα+β=1725，A．2425 B．?2425 C．76．已知圓O：x2+y2=2上一點P1,1關于x軸的對稱點為Q，M是圓O上異于P，Q的任意一點，若A．2 B．2 C．22 7．已知函數fx=2ax?lnx,x>0A．12e,12 B．12e,8．現有一排方塊，其中某些方塊間有間隔.從中拿出一個方塊或緊貼的兩個方塊，而不改變其余方塊的位置，稱為一次操作.如圖所示，狀態為3,2的方塊：可以通過一次操作變成以下狀態中的任何一種：3,1，3，2,2，1,2或1,1,2.游戲規定由甲開始，甲、乙輪流對方塊進行操作，拿出最后方塊的人獲勝.對于以下開局狀態，乙有策略可以保證自己獲得游戲勝利的是（）A．3,2,1 B．4,2 C．2,1,1 D．5,3二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的是（）A．數據8,6,4,11,3,7,9,10的上四分位數為9B．若0<PC<1，0<PD<1，且C．根據一組樣本數據的散點圖判斷出兩個變量線性相關，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y=0.4x+a，若其中一個散點坐標為?a,5.4，則D．將兩個具有相關關系的變量x,y的一組數據x1,y1，x2,y2，…，xn,yn調整為x1,y10．設函數fxA．曲線y=fx存在對稱軸 B．曲線y=fC．fx≤211．已知橢圓Γ：x29+y24=1，直線l：2x+3y+12=0.A1，A2是橢圓的左、右頂點，F1，F2是橢圓的左、右焦點，過直線l上任意一點P作橢圓Γ的切線PM，PN，切點分別為M，N，橢圓上任意一點Q（異于AA．直線MN過定點 B．F1，F2，B1C．當MN∥l時，?32,?1是線段MN的三等分點 三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點為F13．在動畫和游戲開發中，相切的曲線可生成平滑的角色路徑和物體表面.若兩條曲線在公共點處有相同的切線，且曲線不重合，則稱兩條曲線相切.設兩拋物線y=x2+a與y214．對7個相鄰的格進行染色，每個格均可從紅、綠、黃三種顏色中選一種，則沒有相鄰紅格的概率為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15．在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a（1）求A.（2）若b=5，c=2，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，（Ⅰ）求AM；（Ⅱ）求cos∠MPN16．已知拋物線C：y2=2px的焦點為F，拋物線C上點M2,（1）求拋物線C的方程；（2）設點D?1,0，過D作直線l交拋物線C于A，B兩點，證明：x=1是∠AFB17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，AD=4，∠BAD=60°，PD⊥CD，E為AB的中點，M為CE的中點.（1）證明：PM⊥AB；（2）若PA=15，N為PC中點，且AN與平面PDM所成角的正弦值為156，求四棱錐18．已知函數fx=3x（1）若函數fx是偶函數，求φ（2）當φ=0時，討論函數fx在0,+（3）若?x≥0，fx≥0，求19．設n≥3，對于數列a1，a2，…，an，若對任意k∈1,2,?,n?1，a1+a2+?+（1）判斷數列sin0，sinπ2，sinπ，sin3π2，sin2π與數列cos0，（2）若存在公比為負數的等比數列a1，a2，…，（3）設a1，a2，…，an為強數列，且數列中正數與負數交替出現（不出現0），證明：一定可以從數列a1，

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：依題意，A=x?1<x<3，

又因為所以A∩B=0,1,2故答案為：C.【分析】解絕對值不等式得出集合A，再利用交集的運算法則得出集合A∩B.2．【答案】D【解析】【解答】解：z?2z又因為21?i=2故答案為：D.【分析】根據已知條件和復數的運算法則得出復數z.3．【答案】C【解析】【解答】解；由a=4,0，b=x,3，由a+2b⊥a?故答案為：C.【分析】根據向量的坐標運算和向量垂直的坐標表示，從而得出x的值.4．【答案】B【解析】【解答】解：由題意知，半圓的周長為4π，

設圓錐底面圓的半徑為r則4π=2πr，解得r=2所以圓錐的高為?=4所以圓錐的體積為V=1故答案為：B.【分析】由題意結合弧長公式和圓的周長公式求出圓錐底面圓的半徑長，再結合母線的長和勾股定理得出圓錐的高，再根據圓錐的體積公式得出該圓錐的體積.5．【答案】D【解析】【解答】解：由sin=2sinαcosβ=25，

則故答案為：D.【分析】根據兩角和、差的正弦公式和已知條件得出sinα?β6．【答案】B【解析】【解答】解：因為Q1,?1，設Mx0,y則直線MP:y?1y0則Ry0?故OR?故答案為：B.【分析】設點M的坐標，寫出點Q的坐標，從而寫出直線MP,MQ方程，進而求出R,S的坐標，再根據兩點距離公式得到OR?7．【答案】A【解析】【解答】解：將fx?f?x≥0等價于2ax?lnx?2x2?2a+3x+2即a≥lnx2xx+1令?x=ln可得?x=lnx2x由?maxx=lne2e=令gx=x+1x，由基本不等式可得當x→+∞，g由a≥lnx2x可得a≥lnx由a≤lnx2x可得a≤lnx2x故a的取值范圍為12e故答案為：A.

【分析】由fx?f?x≥0轉化為2a?ln8．【答案】A【解析】【解答】解：對于A，

3,2,1經過甲操作可以變為3,2，3,1，3,1,1，2,2,1，1,2,1或1,1,2,1，對于3,2，乙操作成2,2；

對于3,1，乙操作成1,1；

對于3,1,1，乙操作成1,1,1,1；

對于2,2,1，乙操作成2,2；對于1,2,1，乙操作成1,1；

對于1,1,2,1，乙操作成1,1,1,1.此時甲操作后，乙可以采取對稱策略，保證自己能拿到最后一個方塊，

無論如何乙都能贏，故A正確；對于B，甲將4,2操作為2,2，此時乙可以操作為2，2,1，1,2，甲必勝，故B錯誤；對于C，甲將2,1,1操作為1,1，甲必勝，故C錯誤；對于D，甲將5,3操作為1,2,3，由選項A知甲必勝，故D錯誤.故答案為：A.【分析】通過舉例列出所有的可行性，在甲操作后，乙采取對稱策略，即可保證自己能贏，則判斷出選項A；通過已知條件和操作驗證，從而得出甲贏，則判斷出選項B、選項C和選項D，進而找出正確的選項.9．【答案】B,D【解析】【解答】解：對于A，我們把數據8,6,4,11,3,7,9,10重新排列，得到3,4,6,7,8,9,10,11，

又因為9+102則數據8,6,4,11,3,7,9,10的上四分位數為9.5，故A錯誤；對于B，因為PD=1?PD由條件概率公式得PD得到PCD=PC對于C，因為散點不一定在回歸直線上，不能直接代入直線方程，故C錯誤，對于D，由于R2=1?i=1ny則y'=y則yi?yi，故答案為：BD.【分析】利用上四分位數的性質判斷出選項A；利用條件概率公式和獨立事件乘法求概率公式判斷出選項B；利用散點圖的性質判斷出選項C；利用決定系數的性質判斷出選項D，從而找出說法正確的選項.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A：因為fx又因為x=1是y=2sin(所以曲線y=fx存在對稱軸x=1對于B：因為fa?x所以曲線y=fx對于C：因為f又因為y=2sin(所以f(x)≤22，當且僅當對于D：當x=0時，2f(0)=0，顯然等號成立；當x≠0時，則fx故答案為：ACD.

【分析】根據二倍角的余弦公式化簡可得fx=2sinπ11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：依題意，如圖所示：對于A，根據橢圓極點、極線定義，直線l關于橢圓Γ存在極點，

即為直線MN的定點（證明后續提供），設極點為Rx0,y0，則直線l的方程為x故直線l關于橢圓Γ的極點（定點）為R?對于B，設Qx1,y1，則Q點處的切線方程為xx19+又因為F1?5,0，故F1B1對于C，當MN∥l時，直線MN的方程為y=?23x?2對于D，由圓的相交弦定理和橢圓的光學性質可知：QB則等號在Q為短軸端點時取到，故D正確.故答案為：ABD.附注：1.定義：任取一點，它可以在圓錐曲線上，也可以在圓錐曲線外或內，過這點作圓錐曲線的割線，產生兩個交點，過這兩個交點作圓錐曲線的切線，兩條切線相交于一點.隨著割線繞任取之點運動，交點將描繪出一條直線，若任取之點稱為極點，則這條直線就稱為極點的極線，反之，任意作一條直線，它可以與圓錐曲線相交、相切或相離，在直線上且位于圓錐曲線外任取一點，過這點作圓錐曲線的兩條切線，連接兩個切點可得一直線.讓任取之點在其所在直線上運動，則連接兩切點的直線也跟著運動，但它將繞著一個不動的點轉動，若開始時的直線稱為極線，則這個不動的點就稱為這條極線的極點.2.結論：設極點坐標為Px0,極點的極線的方程都是xx證明：（1）先證明也就是求出極點在橢圓上時橢圓切線方程為xx設過點Px0,與橢圓聯立方程得：k2因為切線方程只存在一個解，

即Δ=2k化簡得：Δ=4ka2則得出切線方程為y?y0=?（2）極點在橢圓之外的情況.過極點作橢圓的兩條切線，設切點分別為Ax1,由上面的第（1）條，直接寫出兩條切線的方程：xx1由于極點當然在這兩條切線上，所以x0x1這又說明，點Ax1,y1所以上式就是直線AB的方程，即極點P的極線的方程.（3）極點在橢圓之內的情況.過點Px0,y0作由第（1）條，得過點P'的橢圓切線方程為x讓y=0，得切線與x軸的交點也就是切線的橫截距m=a同理可以得到切線與y軸的交點即切線的縱截距n=b則由直線的截距式方程xm+yn=1得切線方程為xa2x0+y12．【答案】3【解析】【解答】解：因為PF1⊥x軸，所以P在RtΔPF1F所以PF2?PF故答案為：3.【分析】利用PF1⊥x13．【答案】3【解析】【解答】解：由題意，如圖所示：因為兩拋物線y=x2+a設兩個拋物線相切于x0,y0，拋物線y2=2函數y=22x所以2x0=12所以，切點為2?32,1故答案為：38.

【分析】由題意得出兩拋物線在第一象限相切，設兩拋物線的公共切點為x0,14．【答案】136【解析】【解答】解：0個紅格，共271個紅格，共C72個紅格，共C63個紅格，共C54個紅格，共C4所以P=2故答案為：136243【分析】通過討論紅格個數，則由分類加法計數原理和古典概率公式，從而得出沒有相鄰紅格的概率.15．【答案】（1）解：由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC?sinB?sinC=0，

???????∵sinB=sinπ?A?C=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC，（2）解：（Ⅰ）∵M是BC的中點，∴AM=12AB+AC，兩邊平方得：

AM2=14AB2+2AB?AC+AC2=14×4+2AB?ACcosA+25

=14×4+2×2×5cosπ3+25=394，

∴AM=392.【解析】【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦公式得到3sinA?cos（2）（Ⅰ）將AM=12（Ⅱ）利用AM與BN的夾角等于∠MPN，其中AM=12從而計算出AM??BN?，BN?（1）由正弦定理得sinA∵sinB=∴3sin∵sinC≠0，∴3∴sinA?又0<A<π，故?π∴A?π6=（2）（Ⅰ）∵M是BC的中點，∴AM=AM=1∴AM=（Ⅱ）∵M，N分別是BC，AC的中點，AM=12所以AM與BN的夾角等于∠MPN，∴cos∠MPN=∵AM==1BN=1又（Ⅰ）中AM=所以cos∠MPN=16．【答案】（1）解：由MF=xM所以拋物線C的方程為y2（2）證明：根據題意，直線AB斜率不為0，

設其方程為：x=my?1，Ax1,由x=my?1y2=4x得y2?4my+4=0，

由Δ由韋達定理得：y1+y則k=2my1y2?2y所以x=1是∠AFB的角平分線.【解析】【分析】（1）根據已知條件和拋物線的定義得出p的值，從而得出拋物線C的方程.（2）根據題意，直線AB斜率不為0，設直線AB的方程為：x=my?1，將直線AB的方程與拋物線方程聯立，再根據韋達定理可得kFA+kFB=0，即直線FA與直線FB（1）由MF=xM所以拋物線C的方程為y2（2）根據題意，直線AB斜率不為0，設其方程為：x=my?1，Ax1,由x=my?1y2=4x得y2?4my+4=0，由Δ由韋達定理得：y1+y則k=2my1y2所以x=1是∠AFB的角平分線.17．【答案】（1）證明：在梯形ABCD中，連接交BD于CE一點，因為BE=CD且BE∥CD，

所以四邊形CDBE為平行四邊形，所以BD與CE的交點即為CE中點M，由已知可得，AB=2，AD=4，∠BAD=60°，

由余弦定理得BD=23所以三角形為直角三角形，所以AB⊥BD，又因為AB∥CD，PD⊥CD，

所以AB⊥PD，且BD∩PD=D，

所以AB⊥平面PBD，又因為PM?平面PBD，所以AB⊥PM.（2）解：由（1）知，CD⊥平面PDM，

如圖，以D為坐標原點，分別以DB，DC為x，y軸，垂直于底面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則A23,?2,0，C0,1,0，

設Px,0,z平面PDM的一個法向量為n=設直線AN與平面PDM所成角為θ，則sinθ=化簡得x?43由PA=15，可得x?232+z2故V=1【解析】【分析】（1）利用勾股定理證出AB⊥BD，再利用題意證出AB⊥PD，從而證出直線AB⊥平面PBD，再根據線面垂直的性質定理證出PM⊥AB.（2）由（1）知，CD⊥平面PDM，從而建立空間直角坐標系，再利用線面所成角的向量求法得出高度h的值，再結合四棱錐的體積公式得出四棱錐P?ABCD???????的體積.（1）證明：在梯形ABCD中，連接交BD于CE一點，因為BE=CD且BE∥CD，所以四邊形CDBE為平行四邊形，所以BD與CE的交點即為CE中點M.由已知可得，AB=2，AD=4，∠BAD=60°，由余弦定理得BD=23所以三角形為直角三角形，所以AB⊥BD，又AB∥CD，PD⊥CD，所以AB⊥PD，且BD∩PD=D，所以AB⊥平面PBD，又PM?平面PBD，所以AB⊥PM.（2）由（1）知，CD⊥平面PDM，如圖，以D為坐標原點，分別以DB，DC為x，y軸，垂直于底面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則A23,?2,0設Px,0,z，則Nx2平面PDM的一個法向量為n=設直線AN與平面PDM所成角為θ，則sinθ=化簡得x?43由PA=15，可得x?232+故V=118．【答案】（1）解：因為函數fx是偶函數，所以f即3x解得：φ=±π（2）解：當φ=0時，fxf0=0，令?x=f當x≥π時，fx當0<x<π時，?'x=6+8又因為f'0=?8<0所以存在x1∈0,π當x∈0,x1，f'x<0，fx單調遞減；

又因為f0=0，fx1<0，f綜上所述，函數fx在0,+（3）解：當x≥23π時，fx>4π則φ∈?π,0（ⅰ）當φ∈?π,?2π3時，

x+φ∈?π,0，（ⅱ）當φ∈?若x∈π2,2π3，

所以fx若x∈0,π2，則x+φ∈?2π（ⅲ）當φ∈?π2,0時，若只要考慮sinx+φ>0，此時令則?'x=6+8sinx+φ>0，f所以，存在x0∈0,若x∈0,x0，則f'x<0，fx遞減；

所以fx≥fx0=3x02?8sinx0+φ綜上所述，φ∈?π,【解析】【分析】（1）由偶函數的定義建立方程，從而求出φ的值.（2）代入φ=0得到f0=0，從而得出f'x，令?x=f'x后再求導，由fx解析式可知當x≥π時，fx>0恒成立；當0<x<π時，（3）當x≥23π時，fx>0恒成立，所以當0≤x<23π時，由f0≥0求出φ的取值范圍，再將（1）因為函數fx是偶函數，所以f即3x解得：φ=±π（2）當φ=0時，fxf0=0，令?x=f當x≥π時，fx當0<x<π時，?'x=6+8又f'0=?8<0所以存在x1∈0,πx∈0,x1，f'x<0，fx而f0=0，fx1<0綜上，函數fx在0,+（3）當x≥23π時，fx>則φ∈?π,0（ⅰ）當φ∈?π,?2π3時，x+φ∈?π,0，（ⅱ）當φ∈?若x∈π2,2π3所以fx若x∈0,π2，則x+φ∈?2π（ⅲ）當φ∈?π2,0時，若只要考慮sinx+φ>0，此時令則?'x=6+8sinx+φ>0，所以存在x0∈0,若x∈0,x0，則f'x<0，fx所以fx≥fx此時cosx0+φ=3綜上，φ∈?π,19．【答案】（1）解：數列0，1，0，?1，0，前兩項和為1，后三項和為?1，不是強數列；數列1，0，?1，0，1，滿足第一項、前兩項、前三項、前四項、后一項、

后兩項、后三項、后四項的和均非負，是強數列.（2）解：（方法一：等比數列求和）

設首項a1=a≠0，公比q<0，

依題意，a1?a2+?+a2025≥0，即a2q+q2+?+q2024≥0，

故q+q2+?+q2024≥0，即q1?q20241?q≥0，故q2024≥1；

另一方面，a1+?+a2024?a2025≥0，

即a21+q+?+q2023q2024≥0，

故1+q+?+q2023≥0，即1?q20241?q≥0，故q2024≤1，

則q2024=1，q=?1，

又因為1，?1，1，…，1，?1，1滿足條件，綜上所述，q=?1.

（方法二：局部分析）

設首項a1=a≠0，公比q<0，（3）證明：注意到若連續三項構成強數列，

則中間項的絕對值最小，取數列中絕對值最小的一項ai（若最小的同時存在正項和負項，取負項）.如果i=1，①若a1>0，則a2<0，a2>