第第頁四川省2024-2025學年高三上學期（新高考二卷地區）第一次適應性考試數學試題一、單選題1．已知集合A={x|x2+3x≤0}，集合A．{?1,1} B．{1,3}C．{?3,?1} D．{?3,?1,1,3}2．已知等差數列{an}的公差為2，若a1，a3A．9 B．3 C．?3 D．?63．方程4cosA．x|x=kπ+?1k?C．x|x=2kπ±π6,k∈Z4．已知平面上四個點A,B,C,D，其中任意三個不共線．若AB?AD=AC?A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心5．已知橢圓r:x2a2+y2A．設c是半焦距O到Γ的其中一個焦點的距離，那么必然有cB．O到直線AB的距離dO?ABC．Γ和x2D．三角形OAB面積的取值范圍是1,+6．設復數z=1+0.2i，w=zA．w<1.16 B．wC．若fx=5x?42，那么7．設拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F，點N6,y0（y0>p2）是C上一點．已知以N為圓心的圓與x軸相切，與線段NF相交于點A，A．y=?12 B．y=?32 C．8．數列是密碼設置的常用手段，幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件．為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5項構成公差為2的等差數列，第5至10項構成公差為3的等差數列，第10至15項構成公差為4的等差數列，依此類推，求滿足如下條件的最小整數N，N>66且該數列的第N項為2的整數冪減1，那么該款軟件的激活碼是（）A．87 B．94 C．101 D．108二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯得0分．9．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列結論中正確的是（）A．aB．a1+a，b1+b，C．若a3+bD．若a，b，c均為有理數，則cosA?B10．已知曲線C上的點P(x，y)滿足方程x|x?1|+y|y?1|=0，則下列結論中正確的是（）A．當x∈[?1，2]時，曲線C的長度為2B．當x∈[?1，2]時，y?1x+2的最大值為1，最小值為C．曲線C與x軸、y軸所圍成的封閉圖形的面積和為πD．若平行于x軸的直線與曲線C交于A，B，C三個不同的點，其橫坐標分別為x1，x2，x3，則11．在三棱錐A?BCD中，BD⊥AC，BD=2AC=4，且ABADA．當△ACD為等邊三角形時，AB⊥CD，AD⊥BCB．當AD⊥BD，CD⊥BD時，平面ABD⊥平面BCDC．△ABD的周長等于△BCD的周長D．三棱錐A?BCD體積最大為4三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分15分．12．二項式3?2x6中展開式中x313．四面體ABCD體積為6，AB⊥BC，BC⊥CD，AB=BC=CD=23，則異面直線AD與BC的夾角為14．從1，2，…，2024中任取兩數a，b（可以相同），則3a+四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程及步驟．15．某品牌汽車制造廠引進了一條小型家用汽車裝配流水線，本年度第一季度統計數據如下表月份1月2月3月小型汽車數量x（輛）306080創造的收益y（元）480060004800（1）根據上表數據，從下列三個函數模型中：①y=ax+b，②y=ax2+bx+c，③y=ax（2）利用上述你選取的函數關系式計算，若這家工廠希望在一周內利用這條流水線創收6020元以上，那么它在一周內大約應生產多少輛小型汽車？16．已知數列{an}（1）求{a（2）若數列{bn}滿足，b17．如圖所示，正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，MB//AN，NA=AB=2，BM=4，CN=23（1）證明：MB⊥平面ABCD；（2）在線段CM（不含端點）上是否存在一點E，使得二面角E?BN?M的余弦值為33，若存在求出的CE18．設f（1）若a=0，求fx（2）討論fx19．定義若橢圓x2a2+y2b2=1（a2>b2>0）的兩個焦點和兩個頂點四點共圓，則稱該橢圓為“完美曲線”．已知Γ：（1）求Γ的表達式和離心率（2）已知動點P在Γ的第一象限上運動，lP和P相切，和l1交于C，和l2交于D．設Γ右焦點為F

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：依題意，集合A=[?3,0]，集合B為奇數集，其中集合A中的奇數為{?3,?1}，

所以，A∩B=?3，?1.

故答案為：C.

【分析】利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再結合集合B為奇數集，由交集的運算法則得出集合A∩B2．【答案】D【解析】【解答】解：等差數列{an}的公差為2，因為a1，a3，a解得a1=?8，故故答案為：D.【分析】根據已知條件結合等比數列的性質列式求得a1，再求得a3．【答案】C【解析】【解答】解：將原方程化為(2cosx?3)2=0故答案為：C.【分析】將原方程配方得出(2cosx?3)24．【答案】D【解析】【解答】解：因為AB?AD=AC?所以AD⊥CB，即直線AD一定經過三角形ABC的BC邊上的高，

即直線AD一定經過三角形ABC的垂心.故答案為：D.【分析】由題意結合數量積的運算法則，從而得出AD⊥CB，即BC邊上的高所在直線為AD，由此判斷出直線AD一定經過三角形ABC的垂心，進而找出正確的選項.5．【答案】C【解析】【解答】解：因為橢圓r:x2a所以1a2+1b2=1，不妨設a>0對于A，注意到當b=3時，a=324對于B，因為直線AB是xa+y對于C，因為x+y22=3顯然曲線x2+y因為橢圓r:x2a因為1a2+對于D，因為a≠b，所以1a2+故答案為：C.【分析】將點代入橢圓方程中，得到1a2+1b6．【答案】A【解析】【解答】解：對于A，注意到w令fx=1+x4?1?4x所以，函數fx在0,1上遞增，故fx>f0=0，

對于B，因為z2=0.96+0.4i，設z4=a+ai+bi，則z8又因為a>0,b>0,所以復數w在第二象限，則B正確；對于C，代入z=1+0.2i到函數fx=5x?4對于D，化簡得出w?1ww=1?故答案為：A.【分析】利用復數的運算法則和復數求模公式，從而判斷選項A；根據復數乘法運算法則和復數的幾何意義，從而判斷選項B；利用代入法和函數的解析式，化簡判斷出選項C；利用共軛復數的定義和復數的混合運算法則，再利用元素與集合的關系，則判斷出選項D，從而找出說法錯誤的選項.7．【答案】B【解析】【解答】解：由已知可得，點N6,y0在拋物線上，

則6=2py0如圖所示，過N作直線y=p2的垂線，

設圓N與直線y=p2相交于點E（D左側），易知DN=y0?p2因為圓N被直線y=p2截得的弦長為3NA，

由NA=NE=r，在Rt△NDE中，

由①②解得：p=3，拋物線C的準線方程為：y=?故答案為：B．【分析】由題意得py0=3，過N作直線y=p2的垂線，D為垂足，設圓N與直線y=p2相交于點E，從而求得NA8．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知：aa10a15a?a5n所以a5n所以當n=17時，a85=848，此時后5項和848構成公差為所以a87當n=18時，a90=943，此時后5項和943構成公差為20的等差數列，

所以當n=20時，a100=1148，此時后5項和1148構成公差為22的等差數列，

所以當n=21時，a105=1258，此時此時后5項和1258構成公差為23的等差數列，

所以故答案為：B.【分析】由題意結合歸納推理的方法和數列求和的方法，從而確定數列a5n9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A，由于a?b<c,b?c<a,a?c<b，

平方可得a2+b2?2bc<對于B，取a=b=c，則a1+a，b1+b，對于C，由a3+b3=c3可知c>a,c>b故C為銳角，可得△ABC為銳角三角形，故C正確；對于D，若a，b，c均為有理數，則a2則cosB=c2+a2?b22ac為有理數，過C作CE⊥AB，故∠DCA=∠A?∠B，由于AD=2BE?AB=2BC?cos故AD為有理數，所以AD,AC=b,CD=a均為有理數，因此cosA?B故答案為：ACD.【分析】根據三角形三邊的關系，由平方法和不等式的基本性質，從而判斷出選項A；利用a=b=c進而三角形的判斷方法，則可判斷選項B；利用余弦定理和不等式的基本性質以及三角形中邊角關系，再根據角C是三角形中最大內角，從而判斷出三角形的形狀，則判斷出選項C；利用余弦定理和有理數的定義，結合圖形關系，則判斷出選項D，進而找出結論正確的選項.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】對于方程x|x?1|+y|y?1|=0，①當x≤1，y≤1時，方程變為x?x2+y?y2②當x>1，y<1時，方程變為x2?x+y?y2=0?③當x>1，y>1時，方程變為x2?x+y2?y=0?④當x<1，y>1時，方程變為x?x2+y2綜上可知，曲線C由三段構成：射線EM，半圓弧EOF和射線FN.對于A，當x∈[?1，2]時，曲線C由三段構成：線段EM，半圓弧EOF和線段FN.其長度為2+對于B，令k=y?1x+2，其表示曲線C上的動點(x，y)與定點P(?2，1)由圖可知，kmax=kPM=2?1(?1)?(?2)對于C，由圖可知，曲線C與x軸、y軸圍成的封閉圖形為兩個相同的弓形，其面積和為2×[1對于D，設平行于x軸的直線為y=m，要使y=m與曲線C有三個交點，則m∈(12?22，0)，不妨設y=m與半圓弧EOF的交點為A，B，顯然，A，B兩點橫坐標之和x1+x2=1，y=m故答案為：ACD.

【分析】對于方程x|x?1|+y|y?1|=0，再利用分類討論的方法結合絕對值的定義，再利用配方法結合半圓弧EOF、射線FN、圓不在x>1，y>1范圍內、射線EM的軌跡，綜上可知，曲線C由三段構成：射線EM，半圓弧EOF和射線FN。當x∈[?1，2]時，曲線C由三段構成：線段EM，半圓弧EOF和線段FN，其長度為2+2π2+2=22+2π2；令k=y?1x+2，再利用兩點求斜率公式，得出其表示曲線C上的動點(x，y)與定點P(?2，1)連線的斜率，再利用幾何法結合兩點求斜率公式可知，kmax=kPM=1，但其最小值是過點P(?2，1)且與半圓弧EOF相切的切線斜率，顯然，結合兩點求斜率公式，得出kmin<kPN=?12；利用幾何法可知，曲線C與x軸、y軸圍成的封閉圖形為兩個相同的弓形，再利用弓形面積求解方法結合求和法，從而求出其面積和；設平行于x軸的直線為y=m，要使y=m與曲線C有三個交點，則m∈(111．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于選項A：分別取AB,BC,CD,AD,BD的中點E,F,H,G,M，連接EF,FH,GH,EG,EM,FM,HM,GM,EH,GF，

可知：EF//AC//GH,EG//BD//FH，且EF=GH=12因為BD⊥AC，可知EFHG為矩形，可得EH=GF=5若△ACD為等邊三角形，則AC=AD=CD=2，因為ABAD=CB又因為E,M,H為對應棱的中點，則EM//AD,MH//BC,EM=1,MH=2，可得EM2+MH2同理可證：AB⊥CD，故A正確；對于選項B：若AD⊥BD，ABAD=2,BD=4，可得

同理可得BC=2CD=433，且AC=4，

則AD2+C反證法：假設平面ABD⊥平面BCD，則存在直線l?平面ABD，使得l⊥平面BCD，由BD,CD?平面BCD，可得l⊥BD,l⊥CD，因為l,AD?平面ABD，且l⊥BD,AD⊥BD，可知l//AD，所以AD⊥CD，這與AD與CD不相互垂直相矛盾，所以假設不成立，故B錯誤；對于選項C：如圖，以BD的中點M建立空間直角坐標系，則B2,0,0

若PB=2PD，設Px,y,z，則x?22整理得x+1032+y2+所以點A,C均在以點O?103,0,0為球心，半徑為因為BD⊥AC，則A,C在與直徑A1A2因為O1A=O可知BA=BC，且ABAD=CB即BA+AD+BD=BC+CD+BD，所以△ABD的周長等于△BCD的周長，故C正確；對于選項D：取AC的中點N，連接O1則O1可得O1所以三棱錐A?BCD體積為：V=1當且僅當O1O=0時，等號成立，所以三棱錐A?BCD體積最大為故答案為：ACD.【分析】取相應的中點，根據題意結合平行關系和勾股定理分析，從而判斷出選項A；根據題中長度關系可知AD與CD不相互垂直，再利用反證法證明平面ABD與平面BCD不垂直，則判斷出選項B；利用空間直角坐標系分析可知，點A,C均在以點O?103,0,0為球心，半徑為83的球面上（不與B,D共線）且BD⊥AC，再結合球的性質可知A,C在與直徑A1A12．【答案】?4320【解析】【解答】解：因為二項式的展開式的通項公式為Tr+1令r=3，所以T4所以二項式3?2x6中展開式中x項的系數為?4320故答案為：?4320.【分析】利用二項式定理求出展開式的通項公式為Tr+1=C6r13．【答案】π4或【解析】【解答】解：由題意，BC⊥CD，AB=BC=CD=2以C為原點，以CD,CB所在直線為x,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則C0,0,0，D23,0,0又因為AB⊥BC，設Ax,y,2則AB2=x2此時AD=23因此AD?BC=12AD=則AD=43或26，則cos所以異面直線AD與BC的夾角為π4或π故答案為：π4或π【分析】由題意得出BC⊥CD，AB=BC=CD=2314．【答案】3【解析】【解答】解：從1，2，?，2024中任取兩數a，b(可以相同)，共有2024×2024種取法，因為3a的個位數字隨著a從1開始，依次是3,9,7,1,7b的個位數字隨著b從1開始，則依次是7,9,3,1,7,故它們的周期均為4，

所以，1~2024中，共有4k+1,4k+2,4k+3,4k+40≤k≤505,k∈N且每種數型的個數是均等的，都是506個，3a和7b的尾數中只有9+9,7+1,1+7三種情形中個位數字是即a=4k+2,b=4l+2；a=4k+3,b=4l+4；a=4k+4,b=4l+1時，3a所以滿足3a+7b的個位數字是則所求概率為506×506×32024×2024=316，即3a故答案為：316【分析】先研究3a和7b的個位數字的規律，從而確定它們的周期，再借助古典概型求概率公式，從而得出15．【答案】（1）解：選取②y=ax2+bx+c，

由題表可知，隨著x的增大，y的值先增大后減小，

又因為函數y=ax+b及y=ax+b均為單調函數，故不符合題意，

所以選取②y=ax2+bx+c，

將30,4800，60,6000，80,4800三點分別代入函數解析式y=ax2+bx+c，

可得二次函數對稱軸為x=30+802=55，

故可將函數解析式設為y=a(x?55)2+?，（2）解：設在一周內大約應生產x輛小型汽車，

根據題意，可得?2x即?2x2+220x?6020>0，

因為Δ=110所以方程x2?110x+2800=0有兩個實數根x1由二次函數y=x2?110x+3010因為x只能取整數值，

所以當這條流水線在一周內生產的小型汽車數量53≤x≤58且x∈N這家工廠能夠獲得6020元以上的收益.【解析】【分析】（1）根據表格中數據的單調性，從而選取②y=ax2+bx+c，再根據二次函數的對稱性得出二次函數的對稱軸，再設函數的頂點式，從而代入坐標，進而求出二次函數的解析式，即得出描述這條流水線生產的小型汽車數量x（2）在（1）的基礎上，得到?2x2+220x>6020（1）選取②y=ax由題表可知，隨著x的增大，y的值先增大后減小，而函數y=ax+b及y=a所以選取②y=ax將30,4800，60,6000，80,4800三點分別代入函數解析式y=ax可得二次函數對稱軸為x=30+802=55即得到52a+?=600025∴y=?2(x?55)∴a=?2，b=220，c=0；（2）設在一周內大約應生產x輛小型汽車，根據題意，可得?2x即?2x2+220x?6020>0因為Δ=110所以方程x2?110x+2800=0有兩個實數根x1由二次函數y=x2?110x+3010因為x只能取整數值，所以當這條流水線在一周內生產的小型汽車數量53≤x≤58且x∈N這家工廠能夠獲得6020元以上的收益.16．【答案】（1）解：由an?an+1?anan+1因為a1≠0，所以由an?an+1?故{1an}是首項為2，公差為1的等差數列，所以（2）解：由b2n?b2n?1由b2n+1?b2n①+②可得b2n當n=1時，b2?b所以b=(2×2+1)+(2×3+1)+(2×4+1)+?+(2n+1)=2×(2+3+4+?+n)+(n?1)=2×(2+n)(n?1)所以b2n當n=1時，b2=3也滿足上式，所以由上可知，1b所以1=1即1b【解析】【分析】（1）由題意，構造新數列{1an}，根據數列為等差數列，通過求數列（2）由b2n?b2n?1=17．【答案】（1）證明：正方形ABCD中，BC⊥AB，

因為平面ABCD⊥平面ABMN，平面ABCD∩平面ABMN=AB，BC?平面ABCD，

所以BC⊥平面ABMN，

又因為BM,BN?平面ABMN，所以BC⊥BM，BC⊥BN，

又因為BC=AB=2，CN=23，所以BN=CN2?BC2=22，

又因為AB=AN=2，所以BN2=AB2+AN2，所以AN⊥AB，

（2）解：假設存在點E，滿足題意，由（1）知，BM⊥平面ABCD，BC⊥AB，

以B為坐標原點，BA，BM，BC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則B0,0,0，A2,0,0，C0,0,2，D2,0,2，N2,2,0，M0,4,0，

設點Ex,y,z，CE=λCM0<λ<1，則x,y,z?2=λ0,4,?2，

即x=0y=4λz=2?2λ，E0,4λ,2?2λ，BN=2,2,0，BE=0,4λ,2?2λ，

設平面BEN的法向量為m=x,y,z，則BN?m=2x+2y=0BE?m=4λy+2?2λz=0，

令x=1，則y=?1，z=2λ1?λ，即【解析】【分析】（1）先由面面垂直的性質證得BC⊥平面ABMN，求得BN，利用勾股定理證得AN⊥AB，再利用線面垂直的性質證明即可；（2）結合（1）中條件，建議空間直角坐標系，分別求得平面BEN與平面BMN的法向量，從而得到關于λ的方程求解即可.（1）正方形ABCD中，BC⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABMN，平面ABCD∩平面ABMN=AB，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面ABMN，又BM,BN?平面ABMN，∴BC⊥BM，BC⊥BN，又BC=AB=2，CN=23，∴BN=又∵AB=AN=2，∴BN2=AB又MB//AN，∴BM⊥AB，又BC∩BA=B，BC,BA?平面ABCD，∴BM⊥平面ABCD.（2）假設存在點E，滿足題意，由（1）知，BM⊥平面ABCD，BC⊥AB，故以B為坐標原點，BA，BM，BC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則B0,0,0，A2,0,0，C0,0,2，D2,0,2，設點Ex,y,z，CE=λCM0<λ<1∴x=0y=4λz=2?2λ，∴E0,4λ,2?2λ，∴BN設平面BEN的法向量為m=x,y,z，∴令x=1，∴y=?1，z=2λ1?λ，∴由（1）知平面BMN的法向量為BC=∴cosBC,m即23λ=6λ2?4λ+2所以存在一點E，使得CE=1318．【答案】（1）解：當a=0時，fx注意到ex3?x>0，從而???33f+0—0+f↗e↘e↗則fx的單調遞增區間是?∞,?33（2）解：當a=0時，注意到ex當a≠0時，注意到所求可以化為x3設gx=x3?x，?x=ln??1?1,???0g+++0——g↗0↗2↘000,3311,+g——0+++g0↘?↗0↗當a<0時，x<0，注意到gx注意到3x2+?1則gx則函數gx設x1=max?設x2=min?2,在x2當a>0時，我們考慮kx=3x3?x?1???1111,+k+0—0+++k↗?↘?↗1↗則其在13,1之間有一個零點，

設其為α，則考慮gx??x'=kxx，其極小值點就是最小值點，在x=α處取到，注意到α3=1當a<b=1αe當a=b時，gx當a>b時，gx??x在x1=min1則gx??x設ux=ln所以，函數ux在1,+則ux=ln當x≥2時，gx則在x2=max2,則在α,x所以，此時共有兩個零點，綜上所述，當0≤a<b=1αe當a<0或者a=b時，fx【解析】【分析】（1）利用a的值得出函數的解析式，再利用求導的方法判斷函數的單調性，從而得出函數fx（2）利用分類討論的方法和函數的零點與方程的根的等價關系，結合求導的方法判斷函數的單調性，從而得出函數的極值，進而得出函數的最值，再結合零點存在性定理，從而討論出函數fx（1）當a=0時，fx注意到ex3?x>0，從而???33f+0—0+f↗e↘e↗從而fx的單調遞增區間是?∞,?（2）當a=0時注意到ex當a≠0時，注意到所求可以化為x3設gx=x3?x，???1?1,???0g+++0——g↗0↗2↘000,3311,+g——0+++g0↘?↗0↗當a<0時，x<0，注意到gx注意到3x2+則gx從而gx注意到設x1=max?12,1設x2=min?2,ea從而在x2當a>0時，我們考慮kx=3x???1111,+k+0—0+++k↗?↘?↗1↗從而其在13,1之間有一個零點，設其為α，從而考慮其在0,+∞上的正負性和kx一樣，從而其極小值點就是最小值