第第頁上海市虹口區2024-2025學年高三上學期期終學生學習能力診斷測試數學試卷（一模）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果．1．已知集合A=xx<2,B=2．函數y=lnxx?1的定義域是3．若tanα=5，則tan2α=．4．在x?26的二項展開式中，x3項的系數為5．設a>0且a≠1，則函數y=2+logax6．若某圓錐的底面半徑為1，高為1，則該圓錐的側面積為．（結果保留π）7．已知非零復數z滿足z?1=1,z?i=1，則8．已知f(x)=x2?x,x≥0f(?x),x<0，則9．如圖，已知正三角形ABC和正方形BCDE的邊長均為2，且二面角A?BC?D的大小為π6，則AC?10．雙曲線C1:x2a2?y2b2=1的左、右焦點分別為F1和F11．2024年10月30日“神舟十九號”載人飛船發射成功，標志著中國空間站建設進入新階段．在飛船豎直升空過程中，某位記者用照相機在同一位置以同一姿勢連續拍照兩次．已知“神舟十九號”飛船船體實際長度為H，且在照片上飛船船體長度為h，比較兩張照片，相對于照片中的同一固定參照物飛船上升了m．假設該記者連按拍照鍵間的反應時間為t，并忽略相機曝光時長，若用平均速度估算瞬時速度，則拍照時飛船的瞬時速度為．（用含有H、h、m、t的式子表示）12．已知項數為10的數列an中任一項均為集合{x|1≤x≤10,x∈N}中的元素，且相鄰兩項滿足an<an+1+3,n=1,2,?,9．若二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置上，將所選答案的代號涂黑．13．已知α∈0,π，則“sinπ?α=A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要14．已知事件A和事件B滿足A∩B=?，則下列說法正確的是（）．A．事件A和事件B獨立 B．事件A和事件B互斥C．事件A和事件B對立 D．事件A和事件B互斥15．已知邊長為2的正四面體A?BCD的內切球（球面與四面體四個面都相切的球）的球心為O，若空間中的動點P滿足OP=xA．2 B．23 C．．23 16．設數列an的前四項分別為a①存在等比數列an以及銳角α，使sinα,cosα,tanα②對任意等差數列an以及銳角α，均不能使sinα,cosα,tanα,cotαA．①是真命題，②是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①是假命題，②是假命題三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應位置寫出必要步驟．17．設fx（1）當函數y=fx的最小正周期為2π時，求y=fx+cosx（2）若ω=2，且在△ABC中，角A、B、C所對的邊長為a、b、c，銳角A滿足fA+π6=0，18．如圖，已知在四棱柱ABCD?EFGH中，EA⊥平面ABCD，N、M分別是EF、HD的中點．（1）求證：HN//平面AFM；（2）若底面ABCD為梯形，AB//CD,AB=EA=2,AD=DC=1，異面直線AB與EH所成角為π2．求直線AN與平面AFM19．2024年法國奧運會落下帷幕．某平臺為了解觀眾對本次奧運會的滿意度，隨機調查了本市1000名觀眾，得到他們對本屆奧運會的滿意度評分（滿分100分），平臺將評分分為50,60、60,70、（1）求圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數；（2）若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概率；（3）已知這1000名觀眾的評分位于50,80上的均值為67，方差為64.7，位于50,100上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評分位于80,100上的均值與方差．20．已知橢圓Γ:x24+y2=1的左、右焦點分別為F1（1）當PF1⊥（2）若P點坐標為1,32，則在Γ上是否存在點Q使△APQ的面積為3+1（3）已知D點坐標為0,m，過點P和點D的直線l與橢圓Γ交于另一點T，當直線l與x軸和y軸均不平行時，有PT?BP+21．設a∈R,Fax=fx?fax?a（1）判斷y=sinx是否具有性質P0（2）設fx=ex?x（3）設函數y=fx的定義域為R，且對任意a∈R以及t∈0,1，都有Faa?1<Faa+1．若當

答案解析部分1．【答案】1【解析】【解答】解：由A=xx<2故答案為：1.【分析】利用絕對值不等式求解方法，從而求出集合A，再根據交集的運算法則，從而得出集合A和集合B的交集.2．【答案】?【解析】【解答】解：因為函數y=lnxx?1的定義域是所以xx?1>0，解得：x>1或所以，函數的定義域為：?∞故答案為：?∞【分析】由對數型函數的定義域求解方法，從而可得xx?1>0，再解分式不等式，從而得出函數3．【答案】?【解析】【解答】解：因為tanα=5，所以tan2α=2tanα故答案為：?5【分析】利用已知條件和二倍角的正切公式，從而得出tan2α的值.4．【答案】?160【解析】【解答】解：因為二項式x?26的通項公式為T令6?r=3，可得r=3，所以C6故答案為：?160.【分析】利用二項式定理求出x?26的通項公式，再由已知條件和賦值法，從而得出x5．【答案】(1,2)???????6．【答案】2【解析】【解答】解：因為圓錐的底面半徑r=1，高?=1，

設母線為ll>0，則l=所以，該圓錐的側面積為πrl=2故答案為：2π【分析】利用已知條件結合勾股定理求出母線的長，再由圓錐的側面積公式，從而得出該圓錐的側面積.7．【答案】?1【解析】【解答】解：設z=a+biab≠0，則z因為z?1=1，z?i=1，所以a?12+b2所以z=1?i，則z的虛部為?1.故答案為：?1.【分析】設z=a+biab≠08．【答案】?3,3【解析】【解答】解：因為f(x)=x設x<0，則?x>0，所以fx所以f(x)=x不等式fx≤6，即x2?x≤6x≥0或x2+x≤6綜上可得fx≤6的解集故答案為：?3,3.【分析】首先求出當x<0時的解析式，再根據分段函數的解析式，從而分段得到不等式組，再解不等式組得出fx9．【答案】?110．【答案】2【解析】【解答】解：如圖過P作拋物線準線的垂線，垂足為M，設PF

因為F2是拋物線的焦點，∴PM∵∠PF1F2在△PF1F∴t2即F1F2又∵F1和F∴2c=F1F∴雙曲線C1的離心率為：e=故答案為：2+1【分析】過點P作拋物線準線的垂線，垂足為M，設PF2=t，由F2是拋物線的焦點，可得PM，由∠PF1F2=11．【答案】Hm【解析】【解答】解：設第二次拍照飛船的實際上升了x，所以H?=x所以拍照時飛船的瞬時速度為：v=x故答案為：Hm?t【分析】先求出第二次拍照飛船的實際上升的高度，再由實際上升的高度除以該記者連按拍照鍵間的反應時間t，即可求出拍照時飛船的瞬時速度.12．【答案】13122【解析】【解答】解：由于an<a再將4插入該數列，但不能在1的左邊且與1相鄰，共有3A再將5插入該數列，同樣5不能在1和2的左邊且與1，2相鄰，共有2×3再將6插入該數列，同樣6不能在1，2和3的左邊且與1,2,3相鄰，共有2×3以此類推，將10插入該數列，共有2×3故答案為：13122.【分析】先將1,2,3任意排列，依次將4到10插入該數列，再考慮滿足條件an<a13．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可得，α∈0,π由sinπ?α=12，即sinα=12，由cosα=32，則所以“sinπ?α=1故答案為：C.【分析】利用誘導公式和特殊角的三角函數值，從而求出兩個條件的α的值，再結合充分條件、必要條件的判斷方法，從而得出答案.14．【答案】B【解析】【解答】解：因為事件A和事件B滿足A∩B=?，

則一定可以得到事件A和事件B互斥，但不一定對立，故B正確，C錯誤；因為PAB=0，當PA，PB不為0時，事件拋擲一枚骰子，記出現1點為事件A，出現2點為事件B，則A=2,3,4,5,6，B=1,3,4,5,6，顯然事件故答案為：B.【分析】根據互斥事件、對立事件和相互獨立事件的定義，從而判斷各選項，進而找出正確的選項.15．【答案】A【解析】【解答】解：因為空間中的動點P滿足OP=x則點P的軌跡是以OC,將正四面體A?BCD放入如圖所示的正方體A1則正四面體A?BCD的內切球心O為正方體的中心，設正方體的棱長為a，所以a2=2，所以以D1

所以D0,0,2，B2,2,2，所以OB=OB=OC=BC=所以cos∠BOC=所以sin∠BOC=所以以OC,S=2×1設平面BOC的法向量為n=則n?取x=1，可得y=0,z=?1，所以n=1,0,?1，又因為點D到平面BOC距離為d=n以OC,OB,故答案為：A.【分析】利用已知條件得出點P的軌跡是以OC,OB,OD為鄰邊的平行六面體，將正四面體A?BCD放入如圖所示的正方體A1BC1D?AB1CD1中，則正四面體A?BCD的內切球心O為正方體的中心，設正方體的棱長為16．【答案】A【解析】【解答】解：對于①，若sinα，tanα，cosα成等比數列，即tan2則sin2αcos2α在同一坐標系內作y=tanx和可知方程tanα=1+cos2α所以存在等比數列an以及銳角α，使sinα,cosα,tanα=a對于②，假設存在等差數列an使sinα,cosα,tanα,cotα=a1當α=π當α∈0,π4時，min所以a1+a所以sinα+則sinα?1=sinα+cosαcos因為α∈0,π4，所以0<1?不存在這樣的α∈0,當α∈π4,π2所以a1+a所以sinα+同理1?cos因為α∈π4,π2不存在這樣的α∈0,所以②是真命題.故答案為：A.【分析】假設sinα，tanα，cosα成等比數列，可得tanα=1+cos2α2，在同一坐標系內作y=tanx和y=1+cos2x2的圖象，即可判斷命題①的真假；分17．【答案】（1）解：因為fx=sinωx(ω>0)且函數所以T=2πω=2π，解得ω=1則y=fx由x∈0,π2所以當x+π4=π2，即x=（2）解：當ω=2時，fx=sin因為0<A<π2，所以π3<2A+π3<因為AB?AC=bc由余弦定理a2所以a2=b2+c2故a的最小值為22【解析】【分析】（1）根據正弦型函數的最小正周期公式求出ω的值，從而得出函數y=fx的解析式，進而由輔助角公式得到函數y=fx+cosx的解析式，再根據x的取值范圍和不等式的基本性質以及正弦型函數的圖象求最值的方法，從而得出函數y=f（2）利用ω=2的值得出函數y=fx的解析式，再由代入法和已知條件以及銳角三角形中角A的取值范圍，從而得出角A的值，再根據數量積的定義求出bc的值，從而由余弦定理和基本不等式求最值的方法，進而得出a（1）因為fx=sinωx(ω>0)且函數所以T=2πω=2π，解得ω=1則y=fx由x∈0,π2所以當x+π4=π2，即x=（2）當ω=2時，fx=sin因為0<A<π2，所以π3<2A+π因為AB?AC=bc由余弦定理a2所以a2=b2+故a的最小值為2218．【答案】（1）證明：連接BE交AF于點O，連接ON，OM，

在四棱柱ABCD?EFGH中，四邊形ABFE，ADHE為平行四邊形，

所以O為AF的中點，又因為N、M分別是EF、HD的中點，所以ON//AE且ON=12AE，HM//AE所以ON//HM且ON=HM，所以四邊形ONHM為平行四邊形，所以HN//OM，

又因為HN?平面AFM，OM?平面AFM，

所以HN//平面AFM.（2）解：因為異面直線AB與EH所成角為π2，又因為AD//EH所以∠BAD即為異面直線AB與EH所成角，即∠BAD=π2，即又因為EA⊥平面ABCD，如圖建立空間直角坐標系，

則A0,0,0，N1,0,2，F2,0,2，所以AN=1,0,2，AF=設平面AFM的法向量為n=x,y,z，則n?AF=2x+2z=0n?AM=y+z=0，

取n=1,1,?1所以直線AN與平面AFM所成角的正弦值為1515【解析】【分析】（1）連接BE交AF于點O，連接ON，OM，根據四棱柱的結構特征和中點作中位線的方法，再根據中位線的性質得出線線平行和線段相等，從而判斷出四邊形ONHM為平行四邊形，進而得出HN//OM，再根據線線平行證出線面平行，即證出直線HN//平面AFM.（2）由AD//EH和已知條件，從而可得∠BAD為異面直線AB與EH所成角，則AB⊥AD，再利用EA⊥平面ABCD，從而建立空間直角坐標系，得出平面AFM的法向量，再利用數量積求向量夾角公式和誘導公式，從而得出直線AN與平面AFM所成角的正弦值.（1）連接BE交AF于點O，連接ON，OM，在四棱柱ABCD?EFGH中，四邊形ABFE，ADHE為平行四邊形，所以O為AF的中點，又N、M分別是EF、HD的中點，所以ON//AE且ON=12AE，HM//AE所以ON//HM且ON=HM，所以四邊形ONHM為平行四邊形，所以HN//OM，又HN?平面AFM，OM?平面AFM，所以HN//平面AFM；（2）因為異面直線AB與EH所成角為π2，又AD//EH所以∠BAD即為異面直線AB與EH所成角，即∠BAD=π2，即又EA⊥平面ABCD，如圖建立空間直角坐標系，則A0,0,0，N1,0,2，F2,0,2所以AN=1,0,2，AF=設平面AFM的法向量為n=x,y,z，則n?設直線AN與平面AFM所成角為θ，則sinθ=所以直線AN與平面AFM所成角的正弦值為151519．【答案】（1）解：∵20×0.35=7，

∴第35百分位數為第7,8兩個數的平方數65+712（2）解：由圖1可知，圖2中90,100有2人，所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，

其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分設為事件A，所以PA（3）解：由題意可知：落在50,80的頻率為0.1+0.25+0.35=0.7，

落在80,100的頻率為0.3，因為這1000名觀眾的評分位于50,80上的均值為67，方差為64.7，位于50,100上的均值為73，方差為134.6，所以x1設這1000名觀眾的評分位于80,100上的均值與方差分別為x2所以x=73=0.70.7+0.3s2解得：s2所以這1000名觀眾的評分位于80,100上的均值與方差分別為87，17.7.【解析】【分析】（1）根據百分位數的求法，從而得出圖2中這20名觀眾的滿意度評分的第35百分位數.（2）利用頻率分布直方圖中各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，再利用頻數等于頻率乘以樣本容量的方法，從而求出90,100的人數，根據對立事件求概率公式和古典概型求概率公式，從而得出其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分的概率.（3）根據題意結合頻率分布直方圖中各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，再根據平均數公式和方差公式，從而得出這1000名觀眾的評分位于80,100上的均值與方差．（1）∵20×0.35=7，∴第35百分位數為第7,8兩個數的平方數65+71（2）由圖1可知，圖2中90,100有2人，所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評分大于等于90分設為事件A，所以PA（3）由題意可知：落在50,80的頻率為0.1+0.25+0.35=0.7，落在80,100的頻率為0.3，因為這1000名觀眾的評分位于50,80上的均值為67，方差為64.7，位于50,100上的均值為73，方差為134.6，所以x1設這1000名觀眾的評分位于80,100上的均值與方差分別為x2所以x=73=0.70.7+0.3s2解得：s2這1000名觀眾的評分位于80,100上的均值與方差分別為87，17.7.20．【答案】（1）解：由橢圓方程知：a=2，b=1，c=3，則F設P?3,yP，∴34由橢圓定義知：PF（2）解：由（1）知：A2,0∵P1,32若存在點Q，使△APQ的面積為3+1

則點Q到直線AP的距離d=3+1∵kAP=32?01?2=?32設平行于直線AP且到直線AP的距離為221+27∴q+237=2當q=2時，直線方程為3x+2y+2=0由3x+2y+2=0x24+y2=1得：∴y=?1或y=12，

∴點Q0,?1當q=?2?43時，直線方程為3由3x+2y?2?43=0即直線3x+2y?2?43=0與橢圓Γ綜上所述：存在滿足條件的點Q，Q點坐標為0,?1或?3（3）解：由題意，可設直線l:y=kx+m，Px1,

由y=kx+mx24+∴Δ=161+4k2?m2設線段PT中點為G，則BP+BT=2BG，

∴PT?BP+BT=PT∵B0,1，∴x1?02+y∵直線l與x軸和y軸均不平行，∴x2?∴?8km1+k∵k2>m2即實數m的取值范圍為?3,0.【解析】【分析】（1）由橢圓方程得出a，b的值，再由橢圓中a，b，c三者的關系式，從而得出c的值，則得出點F1的坐標，進而設出點P的坐標，由代入法得出點P的坐標，從而得出PF1（2）由（1）得出點A的坐標，根據兩點距離公式和三角形面積公式，從而得出點Q到直線AP的距離，再利用點斜式方程得出直線AP的方程，利用兩直線平行斜率相等設出平行直線AP且到直線AP的距離為221+27（3）由題意，可設直線l:y=kx+m，Px1,y1（1）由橢圓方程知：a=2，b=1，c=3，則F設P?3,yP，∴由橢圓定義知：PF（2）由（1）知：A2,0∵P1,32若存在點Q，使△APQ的面積為3+1則點Q到直線AP的距離d=3∵kAP=32?01?2=?3設平行于直線AP且到直線AP的距離為221+27∴q+237=2當q=2時，直線方程為3x+2y+2=0由3x+2y+2=0x24+y2∴y=?1或y=12，∴點Q0,?1當q=?2?43時，直線方程為3由3x+2y?2?43=0即直線3x+2y?2?43=0與橢圓Γ綜上所述：存在滿足條件的點Q，Q點坐標為0,?1或?3（3）由題意可設直線l:y=kx+m，Px1,由y=kx+mx24∴Δ=161+4k2?m設線段PT中點為G，則BP+BT=2∴PT⊥BG，又G為PT中點，∴BP∵B0,1，∴x1?02∵直線l與x軸和y軸均不平行，∴x2?∴?8km1+k∵k2>m2即實數m的取值范圍為?3,0.21．【答案】（1）解：記F0顯然F0當x∈(0,1)時，sinx>0，故F所以F0(x)>0對x∈(?1,0)∪(0,1)恒成立，y=sin（2）解：因為fx=ex?x，所以f'(x)=ex?1，

當x>0時，f'(x)>0,y=f(x)嚴格單調遞增；

當x<0時，f'(x)<0,y=f(x)嚴格單調遞減，

若a≥1，則a?1≥0，

函數y=f(x)在(a?1,+∞)上嚴格單調遞增，Fa(x)>0恒成立，

此時函數y=f(x)具有性質P(a)；

若a≤0，則函數y=f(x)在[a?1,a]上嚴格單調遞減，

Faa?12=fa?12?f(a)?12<0，故函數y=f(x)不具有性質P(a)；

若0<a<1，則函數y=f(x)在[a,a+1]上嚴格單調遞增，

“Fa（3）證明：對任意a∈R及t∈(0,1)，都有Fa即對任意t∈(0,1),x∈R都有f(x)?f(x?t)<f(x+t)?f(x)?假設存在b∈R使得y=f(x)不具有性質P(b)，則存在x0∈(b?1,b)∪(b,b+1)使得若x0∈(b?1,b)，則當fx0>f(b)時，則在?對任意n≥1,n∈N，

有f(b?(n?1)t)?f(b?nt)<?<f(b?t)?f(b?2t)<f(b)?fx于是f(b)?f(b?nt)<nf(b)?f即f(b?nt)?f(b)>nf當n>maxbt故有f(b?nt)?f(b)<?f(b)<nf當fx0=f(b)時，記x1=