第第頁2025屆廣東省深圳一模深圳市高三年級第一次調研考試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．集合M=xx<2A．0,1 B．1,2 C．0,1,2 D．?1,0,1,22．已知z=1+2i2?i（i為虛數單位），則A．1 B．2 C．2 D．43．已知向量a=?1,1,b=A．?2 B．?1 C．1 D．24．已知sinα+βsinα?βA．13 B．12 C．25．已知函數fx的周期為2，且在0,1上單調遞增，則fA．fx=sinπx B．fx=sinπ6．已知雙曲線E的中心為原點，焦點在x軸上，兩條漸近線夾角為60°，且點1,1在E上，則E的離心率為（）A．3 B．233 C．2 D．7．已知曲線y=ex?1與曲線y=alnx+a(a>0)只有一個公共點，則A．1e B．1 C．e D．8．如圖，已知圓臺形水杯盛有水（不計厚度），杯口的半徑為4，杯底的半徑為3，高為6.5，當杯底水平放置時，水面的高度為水杯高度的一半，若放入一個半徑為r的球（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則r=（）A．1.5 B．2 C．3 D．3.25二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．一組樣本數據xi,yi,i∈1,2,3,?,100．其中xi>1895，i=1100xi=2×105，i=1100yi=970，求得其經驗回歸方程為：A．樣本xi,yiC．σ1210．已知函數fxA．fx為周期函數 B．存在t∈R，使得y=fx的圖象關于C．fx在區間π3,3π4上單調遞減 11．已知O0,0,Aa,0,Ba,1,C0,1,D0,?1，其中a≠0．點M,N分別滿足AMA．當λ=12時，直線CM與直線DNB．當a=?1時，存在點P，使得DPC．當a=2時，△PAC面積最大值為2D．若存在λ，使得DP>2，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．2x+1x213．在等比數列an中，已知a1a314．某次考試共5道試題，均為判斷題．計分的方法是：每道題答對的給2分，答錯或不答的扣1分，每個人的基本分為10分．已知趙，錢，孫，李，周，吳6人的作答情況及前5個人的得分情況如下表，則吳的得分為．人題號趙錢孫李周吳1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,c（1）求B；（2）若b=1，求△ABC的面積．16．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=23,∠BAC=120°，（1）證明：DE⊥平面B1（2）若BB1=6，求直線A17．甲參加圍棋比賽，采用三局兩勝制，若每局比賽甲獲勝的概率為p(0<p<1)，輸的概率為1?p，每局比賽的結果是獨立的．（1）當p=2（2）為了增加比賽的趣味性，設置兩種積分獎勵方案．方案一：最終獲勝者得3分，失敗者得?2分；方案二：最終獲勝者得1分，失敗者得0分，請討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數學期望更大．18．已知拋物線y2=2x，過點N2,0作兩條直線l1,l2分別交拋物線于A,B（1）當l1垂直于x軸，且四邊形ACBD的面積為45，求直線（2）當l1,l2傾斜角互補時，直線AC與直線BD交于點19．已知無窮數列an滿足，a1,（1）若a1=1,a（2）證明：“存在k∈N?，使得ak（3）若a1≠a2，是否存在數列an

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：解不等式x<2，可得0≤x<4，即集合M=又因為N=?2,?1,0,1,2，所以M∩N=故答案為：C.【分析】先解不等式求得集合M，再根據集合的交集運算求M∩N即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：z=(1+2i)(2+i)(2?i)(2+i)=故答案為：A.【分析】根據復數代數形式的除法求復數z，再求復數模即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：易知a+λ若a⊥a+λb，則故答案為：B.【分析】根據向量垂直的坐標表示列式求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：sinα+βsinα?β=sin即4cosαsinβ=2sinαcosβ，同除以cosαcosβ故答案為：C．【分析】根據兩角和與差的正弦公式，結合同角三角函數基本關系的商關系求值即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、函數fx=sinπx周期為T=2ππ=2，但f14B、函數sinπ2x的周期為T=2π當0<x<1時，fx=sinπ2x=sinπ2x，因為0<π2C、函數fx=cos2πx的周期為D、函數fx=tanπ故答案為：B.【分析】求函數fx=sinπ6．【答案】C【解析】【解答】解：因為雙曲線E的兩條漸近線夾角為60°，所以ba=33或ba若e=2，設雙曲線方程為：x2m2?y23m2=1，由點1,1在若e=233，設雙曲線方程為：x23m2?y2m故答案為：C．【分析】由題意可得ba=33或ba=3，根據離心率公式求得e=27．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得：方程ex?1=alnx+1只有一個實數解，

因為a>0，所以只考慮ln分離參數可得：a=ex?1lnx+1，令f令ux=1+lnx?1x，易知ux則x∈1e,1時，fx∈1,+∞時，f'而x→1e時，fx→+∞；x→+故答案為：B.【分析】將轉化為方程ex?1=alnx+1只有一個實數解，分離參數a=ex?18．【答案】D【解析】【解答】解：圓臺水杯的截面圖，如圖所示：

易知O1M=4,O2N=3,OH=72，

圓臺O1O的體積V=13故答案為：D.【分析】由題意，利用圓臺的體積公式求圓臺O1O體積，再根據小球的體積恰好等于9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、樣本數據xi,yi的經驗回歸方程y=?0.02x+B、由i=1100xi=2×105，i=1100C、由圖一的數據波動較大可得ui比ei更集中，則D、由圖一的殘差平方和較圖二的殘差平方和大可知，處理后擬合效果更好，決定系數變大，故D正確．故答案為：ABD.【分析】根據樣本數據的回歸方程即可判斷A；計算樣本點中心，根據回歸方程過樣本中心點即可判斷B；根據圖象由波動性即可判斷C；根據圖象的波動性即可判斷D.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、fx+2π=sinx+2π+sin2x+4π=sinx+sin2x=fxB、函數fx=sinx+sin2x的定義域為假設y=fx圖象關于x=t對稱，則函數f即ft?x=ft+xf4t+x=?f2t+x=fx，因為f所以fπ+x=fx，但所以fx≠fπ+x與fπ+xC、因為f'x=cosx+2cos2x當x∈π3,函數y=4t2+t?2若?22<t<所以當x∈π3,3π4時，D、因為fx≤2，當且僅當sinx=1sin2x=1時取等號，但當sinx=1，即x=π2故答案為：AC.【分析】證明fx+2π=fx，結合周期函數定義即可判斷A；證明函數fx為奇函數，結合周期性證明若函數f11．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、當λ=12時，由O0,0，Aa,0,Ba,1，可得AB→=0,1，OA→=B、由A可知，當a=?1時，kCP設點Px,y，則y?1x·y+1x=?1，即x2+y2=1x<0,y>0，點C、直線CM:y=λ?1ax+1，直線DN:y=設x=2a1?λ1+(1?λ)2若a=2，則點P的軌跡方程為x2設點P2cosθ,sinθ,θ∈0,則點P到直線AC的距離d=2cosθ+2sinθ?2因為22<sinθ+π4≤1，所以當θ=π4時，D、由C可知，點P的軌跡方程為x2設Pacosθ,sinθ，θ∈0,π即a2則a2>2，即故答案為：AD.【分析】由題意求得點M,N的坐標，結合兩點斜率公式求kCMkDN即可判斷A；結合A的判斷知，kCPkCD=?1，利用關系求點P的軌跡即可判斷B；寫出直線CM與直線DN的方程，聯立CM，DN，求點P的坐標，消參求點P的軌跡方程，結合三角換元求△PAC的面積的最值即可判斷C；結合C可得P12．【答案】240【解析】【解答】解：二項式2x+1x2令6?3k=0，解得k=2，則2x+1x2故答案為：240．【分析】寫出二項展開式的通項，令x的指數為0，求得k，再求常數項即可.13．【答案】6【解析】【解答】解：設等比數列an的公比為q，因為a1a3=9若a2=?3，由a2+a4=9若a2=3，由a2+a4=9，可得a4=6故答案為：6.【分析】設數列an的公比為q，由已知條件結合等比數列性質求得a14．【答案】14分【解析】【解答】解：易知趙、錢、孫、李四人中，只有錢的得分是11分，則錢答對兩個題，答錯三個題，不妨將錢的答案全部考慮反面，則錢答對三個題，答錯兩個題，共14分；人題號趙錢孫李周吳1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411對于6個人而言，前4個題，6個人的答案都是三個√，三個錯，那前4個題，每個題都是3個人對，3個人錯；前4個題的總分為：60+3×2?3×1現在考慮第5題，共5個√，一個×，若第5題正確答案是“×”，那么第5個題的得分是：1×2?5×1=?3分，最終5個題的總得分為69分；而從得分來看，14+14+14+14+11=67分，于是吳得分是2分，矛盾；于是第5題正確答案是“√”，第5題的得分是：5×2?1×1=9分，6個題的總分為：81分，

則吳得14分．故答案為：14分.

【分析】觀察前面4人的作答情況，對比不同人的答案，利用得分情況推斷正確答案，再計算吳的得分即可.15．【答案】（1）解：由c2=a2+b2?ab，根據余弦定理推論又因為cos2B=sinC，B∈0,2π3，所以cos2B=sinC=32（2）解：由（1）可得：A=7π12，且sinB=sinπ若b=1，由正弦定理asinA=b則S=1【解析】【分析】（1）由題意，利用余弦定理的推論可得C=π3，再由cos2B=sinC求（2）由（1）的結論，利用兩角和的正弦公式分別求出角A、B的正弦值，再利用正弦定理可求出a，最后利用三角形面積公式求解即可.（1）由余弦定理推論cosC=a2+b由于C∈0,π，則C=又因為cos2B=sinC=32，且所以2B=π6，則（2）解法1：由（1）可知A=7π且sinB=sinπsinA=sin7π由正弦定理：asinA得a=bsinA所以S=1解法2：由（1）A=π所以sinB=?cosA，由正弦定理：asinA得a=bsinAS=1解法3：如圖，過點A作AD⊥AC交BC于D，由于A=7π12，則所以AD=DB=3,CD=2，所以S=116．【答案】（1）證明：取BC中點M，連接AM,ME，如圖所示：

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=23，因為E為BC1的中點，所以EM為△BCC又因為EM=12CC1又因為AA1⊥平面ABC,AM?平面ABC由于EM,BC?平面B1BCC1,EM∩BC=M又因為DE//AM，所以DE⊥平面B1（2）解：由（1）可知：MA,MC,ME兩兩垂直，

以M為坐標原點，以MC所在直線為x軸，MA所在直線為y軸，ME所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：在△A1B1C則D0,3,3設n=x,y,z⊥則n?BD=0n?BC設直線A1B與平面DBC1所成角為即直線A1B與平面DBC【解析】【分析】（1）取BC中點M，連接AM,ME，根據等腰三角形的性質得到AM⊥BC，再根據中位線的性質得到EM//CC1//AD，即可得到四邊形AMED（2）由（1）可知：MA,MC,ME兩兩垂直，以M為坐標原點，建立空間直角坐標系，在△A1B（1）取BC中點M，連接AM,ME，因為AB=AC，所以AM⊥BC，E為BC1的中點，所以EM為△BCC又EM=12CC1又因為AA1⊥平面ABC,AM?平面ABC由于EM,BC?平面B1BCC1,EM∩BC=M又因為DE//AM，所以DE⊥平面B1（2）解法一：由（1）可知：MA,MC,ME兩兩垂直，如圖，以M為坐標原點，以MC所在直線為x軸，MA所在直線為y軸，ME所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，在△A1B1C于是D0,則BA設n=x,y,z⊥于是n?BD=0令z=1，則n=設直線A1B與平面DBC那么sinθ=cos?即直線A1B與平面DBC解法二：在△A1B1C如圖，連接B1E，由（1），DE⊥平面B1BCC又因為BB1=B1C1，四邊形B由于B1E∩DE=E,B1E,DE?平面B如圖，記A1B∩B1D=N，過點N由于BC1⊥平面B1DE,NH?又因為DE∩BC1=E,DE,BC1?平面所以∠NBH即為直線A1B與平面DBC則B1由于DE⊥B1E，則H為DE于是sin∠NAH=NH即直線A1B與平面DBC解法三：設直線A1B與平面DBC1所成角為θ，點A1到平面DB在Rt△A1B1B過B作BQ⊥CA交CA的延長線于Q，易得BQ=3，且易證BQ⊥平面A1由于S△A1在△DBC1中，DB=DC又VA1?BD【點睛】17．【答案】（1）解：記事件A=“甲最終以2:1獲勝”，記事件B=“甲最終以2:0獲勝”，事件C=“甲最終獲勝”，

則C=A∪B，A與B為互斥事件，

PA=C21?p?p?1?p=8（2）解：由（1）可知，PC若選用方案一，記甲最終獲得積分為X分，則X可取3,?2，PX=3則X的分布列為：X3?2p31?3則EX若選用方案二，記甲最終獲得積分為Y分，則Y可取1，0，PY=1則Y的分布列為：Y10p31?3則EY所以EX由于0<p<1，則2p于是p=1當0<p<12時，當12<p<1時，【解析】【分析】（1）記事件A=“甲最終以2:1獲勝”，記事件B=“甲最終以2:0獲勝”，事件C=“甲最終獲勝”，根據甲最終獲勝有兩種情況：前2局贏、三場輸一場贏兩場，據此求甲最終獲勝的概率接口；（2）由（1）可得甲最終獲勝的概率，分別計算兩種方案下甲獲得積分的數學期望，通過作差比較其大小即可.（1）記“甲最終以2:1獲勝”為事件A，記“甲最終以2:0獲勝”為事件B，“甲最終獲勝”為事件C，于是C=A∪B，A與B為互斥事件，由于PA=C則PC即甲最終獲勝的概率為2027（2）由（1）可知，PC若選用方案一，記甲最終獲得積分為X分，則X可取3,?2，PX=3則X的分布列為：X3?2p31?3則EX若選用方案二，記甲最終獲得積分為Y分，則Y可取1，0，PY=1則Y的分布列為：Y10p31?3則EY所以EX由于0<p<1，則2p于是p=1當0<p<12時，當12<p<1時，18．【答案】（1）解：由題意，設l2:x=ty+2，傾斜角為α，由對稱性知l2不妨設0<α<π2，那么則S=12×4×聯立y2=2xx=ty+2，消元整理可得y則CD=CDcosα=2t則t=1,x=y+2由對稱性，另一條直線：x=?y+2，即直線l2的方程為x+y?2=0或x?y?2=0（2）解：設點Ax因為kAB=y所以AB:y?y1=同理可得：CD:y3+BD:y又因為kAB=?kCD，直線AB和直線所以2y1+y2y1?4y1=?y則y1+4y1由于y4=?y1，則x4=x設△MAB的內切圓圓心Qn,0,?2<n<2，則Q到MA的距離點Q到AB的距離r=4?2n4+y化簡可得：2+n2?n由于y12+16y則0<n<3?5或由4+2n4+y1令z=y12則n=(12+z??4+z)28則fz在8,+∞單調遞減，【解析】【分析】（1）由題意，設l2:x=ty+2，根據三角形的面積求得CD，聯立直線與拋物線方程，消元整理，由韋達定理結合弦長公式求得（2）設點Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4（1）法一：當l1⊥x軸，令x=2，則A設直線l2:y=kx?2k,Cx則x1由于y=kx?2ky2=2x，則kx1則4+2k2所以直線l2的方程為x+y?2=0或x?y?2=0法二：設l2:x=ty+2，傾斜角為α，由對稱性知l2不妨設0<α<π2，那么則S=12×4×由于y2=2xx=ty+2則CD=CDcosα=2t則t=1,x=y+2由對稱性，另一條直線：x=?y+2，所以直線l2的方程為x+y?2=0或x?y?2=0（2）法一：設點Ax因為kAB=y所以AB:y?y1=同理可得：CD:y3+BD:y又因為kAB=?kCD，直線AB和直線所以2y1+y2y1?4y1=?y則y1+4y1由于y4=?y1，則x4=x設△MAB的內切圓圓心Qn,0,?2<n<2，則Q到MA的距離點Q到AB的距離r=4?2n所以4+2n4+化簡可得：2+n2?n由于y12+則1<2+n則0<n<3?5或由4+2n4+y1令z=y12則n=(12+z?f'則fz在8,+∞單調遞減，法二：點M?2,0設△MAB的內切圓圓心Qn,0設定點N2,0，由于MQ=2+n,NQ設∠AMQ=α,∠ANQ=β，于是sinα=rsinπ?β=sinβ=r（或：在△AMN中，由角平分線定理：S△AMQS△ANQ設fx由于x1+4x1則0<n<3?5，則n∈19．【答案】（1）解：無窮數列an滿足，a1,令n=1，則1=a1=a2若a2=1，由a2=a若a2=3，由a2=a由a4=a（2）證明：記a1=x,a2=y，必要性：若an是周期為3的周期數列，a3=a1+a2或a2?a1，

當a3=a1+a2時，數列an前5項為：x,y,x+y,x,y，

由a3=a4?a5得x+y=x?y，該式當且僅當x=0或y=0時成立，與a1,a2為正整數矛盾；

當a3=a2?a1時，數列an（3）解：不存在，理由如下：an=an+1?an+2等價于an+2=an+1?an?或an+2=an+1+an??，

首先