第1頁(yè)/共1頁(yè)浙江培優(yōu)聯(lián)盟2023學(xué)年第二學(xué)期高一4月數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)至必修第二冊(cè)第六、七章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：A2.若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則m的值為（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)在第四象限，可得實(shí)部為正且虛部為負(fù)即得.【詳解】由可得，又m為整數(shù)，所以.故選：B.3.“x，y為無(wú)理數(shù)”是“xy為無(wú)理數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】對(duì)充分性和必要性分別取特殊值進(jìn)行否定即可.【詳解】充分性：取符合“x，y為無(wú)理數(shù)”，但是不符合“xy為無(wú)理數(shù)”，故充分性不滿(mǎn)足；必要性：當(dāng)“xy為無(wú)理數(shù)”時(shí)，可以取，但是不符合“x，y為無(wú)理數(shù)”，故必要性不滿(mǎn)足.故“x，y為無(wú)理數(shù)”是“xy為無(wú)理數(shù)”的既不充分也不必要條件.故選：D4.已知，，且與互相垂直，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式和運(yùn)算律求解即可.【詳解】因?yàn)榕c互相垂直，所以，即，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋欠橇阆蛄?，所以，所以與夾角為，故選：D5.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小正值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)，根據(jù)平移可得平移之后的函數(shù)為，由于該函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，令，即可求解.【詳解】因?yàn)?，將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，因?yàn)樗脠D象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故，即，所以的最小正值為．故選：B．6.已知的重心為O，若向量，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形的重心性質(zhì)，將表示為，對(duì)照系數(shù)即可求得.【詳解】如圖，設(shè)E是的中點(diǎn)，由于O是三角形的重心，所以．則.故選:D．7.近年來(lái)，中國(guó)加大了電動(dòng)汽車(chē)的研究與推廣，新型動(dòng)力電池隨之也迎來(lái)了蓬勃發(fā)展的機(jī)遇．已知蓄電池的容量C（單位：），放電時(shí)間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式為，其中．在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間，則當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得出，利用對(duì)數(shù)恒等式與指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，則，所以，所以，故選：C．8.如圖，某燈光設(shè)計(jì)公司生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形線(xiàn)路板，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為4，沿折疊使點(diǎn)B到點(diǎn)位置，交于點(diǎn)P．研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)用電最少，則用電最少時(shí)，的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理，構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】如圖，設(shè)，由矩形的周長(zhǎng)為4，可知．設(shè)，則．，．在中，由勾股定理得，即，解得，所以．所以的面積．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的面積最大，面積的最大值為，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若與都是單位向量，則 B.只有零向量的模長(zhǎng)等于0C.若與是平行向量，則 D.向量與不共線(xiàn)，則與都是非零向量【答案】BD【解析】【分析】充分理解單位向量和零向量，平行向量的概念后，易于判斷A,B,C項(xiàng)，對(duì)于D，可以運(yùn)用反證法思想說(shuō)明.【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)向量的模長(zhǎng)相等，但是方向不一定相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因模長(zhǎng)等于0的只有零向量，故B正確；對(duì)于C，與是平行向量，但的模不一定相等，且方向也不一定相同，故不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)正確與中至少有一個(gè)為零向量，而零向量與任何非零向量都共線(xiàn)，故假設(shè)不成立，即D正確．故選:BD．10.下面四個(gè)命題中的真命題為（）A.復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是 B.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則C.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足 D.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則【答案】AC【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的類(lèi)型以及充要條件的判斷可判斷A；舉反例判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，由，得得，則z是實(shí)數(shù)；當(dāng)z是實(shí)數(shù)時(shí)，，則，A正確；對(duì)于B，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，但，故B為假命題，B錯(cuò)誤；對(duì)于C．設(shè)，則，則，而，故，C正確；對(duì)于D．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，但，D錯(cuò)誤．故選:AC．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）A. B.為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)是周期函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，從而可得出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及周期性，再逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，令，可得，故A正確；由于為偶函數(shù)，，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；由，所以，所以是周期為8的周期函數(shù)，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度：（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性．（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類(lèi)問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類(lèi)問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上．12.計(jì)算：=____.【答案】【解析】【詳解】，故答案為點(diǎn)睛：（1）復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，不含的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，分別合并即可．（2）復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式．13.在中，角的對(duì)邊分別為，滿(mǎn)足外接圓的半徑為，則_______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)求出，根據(jù)正弦定理即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，，所以，又因?yàn)椋?，從而，又外接圓的半徑為，所以由正弦定理得．故答案為：.14.定義表示中的最小者，設(shè)函數(shù)，若，則x的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由定義表示中的最小者，分類(lèi)討論解不等式即可.【詳解】令，解得或，令，解得，當(dāng)或時(shí)，，由，可得：，所以；當(dāng)時(shí)，，由，可得：或，所以.綜上，由，可得．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.向量，，，．（1）求；（2）若，，向量的夾角為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的四則運(yùn)算、平行和模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示求解即可；（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，又因，所以，解得，所以，，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，，因?yàn)橄蛄康膴A角為，所以，解得，又因?yàn)椋?16.已知向量，函數(shù)．（1）在中，分別為內(nèi)角對(duì)邊，若，求A；（2）在（1）條件下，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示式和三角恒等變換將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，再由解三角方程即得；（2）由余弦定理求得邊，利用三角形面積公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】由向量，函數(shù)，得．由，即，因?yàn)椋?，從而，解得．【小?wèn)2詳解】由余弦定理，得，則，則．所以，所以的面積．17.對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿(mǎn)足，則稱(chēng)為“函數(shù)”．（1）已知函數(shù)，試判斷是否為“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若為定義域在R上的“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）“函數(shù)”，理由見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)“函數(shù)”的定義，對(duì)于函數(shù)求解方程即得；（2）由為定義域在R上的“函數(shù)”可得，利用換元，將其化成在上有解，利用參變分離法即可求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，即，令，則得，解得．從而有解，函數(shù)是“函數(shù)”．【小問(wèn)2詳解】為定義域在R上的“函數(shù)”，由，可得，化簡(jiǎn)得（*）．令，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，又，從而方程（*）可化為：在上有解，即在上有解，令，，則為上的增函數(shù)，所以，從而，即.18.空調(diào)是人們生活水平提高的一個(gè)標(biāo)志，炎熱夏天，空調(diào)使溫度調(diào)節(jié)到適合人們工作、學(xué)習(xí)、生活的舒適環(huán)境內(nèi)，心情好，休息好，工作效率也高，這是社會(huì)進(jìn)步的一個(gè)里程碑．為適應(yīng)市場(chǎng)需求，2024年某企業(yè)擴(kuò)大了某型號(hào)的變頻空調(diào)的生產(chǎn)，全年需投入固定成本200萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千臺(tái)空調(diào)，需另投入成本萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量不足30千臺(tái)時(shí)，，當(dāng)年產(chǎn)量不小于30千臺(tái)時(shí)，．已知每臺(tái)空調(diào)售價(jià)3000元，且生產(chǎn)的空調(diào)能全部銷(xiāo)售完．（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)解析式．（2）年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該廠(chǎng)該型號(hào)的變頻空調(diào)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．【答案】（1）（2）當(dāng)該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為25千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤(rùn)為2925萬(wàn)元【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤(rùn)銷(xiāo)售額成本公式，分類(lèi)討論即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及分段函數(shù)分段處理，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可求解．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值2925萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值2830萬(wàn)元．因?yàn)椋援?dāng)該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為25千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤(rùn)為2925萬(wàn)元．19.被稱(chēng)為“歐拉公式”，之后法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，則我們可以簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)乘法．（1）已知，求；（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上