渝北中學2023-2024學年(下)高三2月月考質量監測數學試題（全卷共四大題19小題總分150分考試時長120分鐘）注意事項：1．答題前，考生務必將姓名、班級填寫清楚．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰．3．請按照題號順序在答題卡相應區域作答，超出答題區域書寫的答案無效；在試卷和草稿紙上答題無效．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，平面，平面．若l滿足，，則下列說法中正確的是（）A. B.C.若，則 D.3.2023年11月30日，重慶市軌道交通新開通6個站點，包括5號線中段忠恕沱、紅巖村、歇臺子3個站點和10號線南湖、萬壽路、蘭花路3個站點，為廣大市民的出行提供了更多便利.某同學從中隨機選擇4個站點實地考察周邊情況，則在紅巖村被選中的條件下，10號線不少于2個站點的概率為（）A. B. C. D.4.被譽為信息論之父的香農提出了一個著名的公式：，其中C為最大數據傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；為信噪比.香農公式在5G技術中發揮著舉足輕重的作用.當，時，最大數據傳輸速率記為；當，時，最大數據傳輸速率記為，則為（）A. B. C. D.35.已知，則的值是（）A. B. C. D.6.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.7.函數在上的圖象大致為（）A. B.C. D.8.已知點為拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，則的最小值為（）A. B.4 C. D.6二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知復數，，則下列結論正確的有（）A. B. C. D.10.已知，的定義域為R，且（），，若為奇函數，則（）A.關于對稱 B.為奇函數C. D.為偶函數11.已知正項數列滿足，，其中，則（）A.為單調遞減數列 B.C. D.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知等差數列滿足，前項和為，則______________________．13.已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為__________.14.如圖，已知正方體的棱長為2，點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，點是球表面上的動點，當點到平面的距離最大時，異面直線與所成角的余弦值的平方為____________．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.設為數列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數列．（1）求通項公式；（2）令，求數列的前項積．16.某面包店的面包師聲稱自己店里所出售的每個面包的質量均服從期望為，標準差為的正態分布．（1）已知如下結論：若，從X的取值中隨機抽取K（，）個數據，記這K個數據的平均值為Y，則隨機變量請利用該結論解決問題；假設面包師的說法是真實的，那么從面包店里隨機購買25個面包，記這25個面包質量的平均值為Y，求；（2）假設有兩箱面包（面包除顏色外，其它都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黃色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黃色面包有3個，現隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黃色面包個數的分布列及數學期望．附：隨機變量服從正態分布，則，，．17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，點分別為棱的中點，且平面.（1）證明：平面；（2）求二面角大小.18.已知雙曲線C中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）經過點直線與雙曲線C交于E，F兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．19.已知（其中為自然對數的底數）.（1）當時，求曲線在點處的切線方程，（2）當時，判斷是否存在極值，并說明理由；（3），求實數的取值范圍.

渝北中學2023-2024學年(下)高三2月月考質量監測數學試題（全卷共四大題19小題總分150分考試時長120分鐘）注意事項：1．答題前，考生務必將姓名、班級填寫清楚．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰．3．請按照題號順序在答題卡相應區域作答，超出答題區域書寫的答案無效；在試卷和草稿紙上答題無效．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解.【詳解】解：因為集合，所以，故選：A2.已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，平面，平面．若l滿足，，則下列說法中正確的是（）A. B.C.若，則 D.【答案】C【解析】【分析】由線面平行的判定定理和線面垂直的性質定理可判定選項A、C，其它易證.【詳解】若，因為平面，，所以，同理，過m上一點做直線n的平行線，則，設由m和確定的平面為，則，而，，同上可知，故，選項C正確；有可能，所以選項A錯誤；由上可知，且，所以，或，選項B錯誤；如上圖，不一定成立，選項D錯誤.故選：C3.2023年11月30日，重慶市軌道交通新開通6個站點，包括5號線中段忠恕沱、紅巖村、歇臺子3個站點和10號線南湖、萬壽路、蘭花路3個站點，為廣大市民的出行提供了更多便利.某同學從中隨機選擇4個站點實地考察周邊情況，則在紅巖村被選中的條件下，10號線不少于2個站點的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出在紅巖村被選中的條件下共有的選法數，再求出10號線不少于2個站點的選法數，根據古典概型的計算公式即可求得答案.【詳解】在紅巖村被選中的條件下，還需從其它5個站點中選擇3個，共有種選法，其中10號線不少于2個站點的選法有種，故在紅巖村被選中的條件下，10號線不少于2個站點的概率為，故選：B4.被譽為信息論之父的香農提出了一個著名的公式：，其中C為最大數據傳輸速率，單位為；W為信道帶寬，單位為；為信噪比.香農公式在5G技術中發揮著舉足輕重的作用.當，時，最大數據傳輸速率記為；當，時，最大數據傳輸速率記為，則為（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】由題意可知，分別將數據代入利用對數運算法則計算出，，即可求得.【詳解】根據題意，將，代入可得；將，代入可得；所以可知.故選：D5.已知，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據差角公式和輔助角公式將題中所給的條件化簡，求得，再利用誘導公式得到結果.【詳解】因為，可得，所以.故選：B.6.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】圓的方程化為，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．【詳解】圓可化為，則圓心，半徑為；設，切線為、，則，中，，所以．故選：A．7.函數在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據函數的奇偶性，結合特殊值，即可排除選項.【詳解】首先，所以函數是奇函數，故排除D，，故排除B，當時，，故排除A，只有C滿足條件.故選：C8.已知點為拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，則的最小值為（）A. B.4 C. D.6【答案】C【解析】【分析】設直線方程為，聯立方程組得出兩點坐標的關系，根據拋物線的性質得出關于兩點坐標的式子，使用基本不等式求出最小值.【詳解】拋物線的焦點，過的斜率為0的直線為，直線與拋物線有且只有一個交點，與條件矛盾，故直線的斜率不為0，故可設直線的方程為，聯立方程組，得，方程的判別式，設，則，，所以，由拋物線的性質得，.當且僅當時，等號成立，故選：C.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知復數，，則下列結論正確的有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據復數的運算性質以及模的運算公式對應各個選項逐個判斷即可求解．【詳解】設，，其中.對于選項A:，所以與不一定相等，故選項A錯誤；對于選項B:因為，所以，因為，所以,故選項B正確；對于選項C:因為,所有因為，所以,故選項C正確；對于選項D:因為，所以，而與不一定相等,故選項D錯誤；故選：BC.10.已知，定義域為R，且（），，若為奇函數，則（）A.關于對稱 B.為奇函數C. D.為偶函數【答案】ACD【解析】【分析】根據函數奇偶性，對稱性定義一一判斷即可.【詳解】因為的定義域為R，且，所以關于對稱，故A正確；但不能確定為奇函數，故B錯誤；根據題意，是定義域為的奇函數，所以，令，得，故C正確；因為，則，結合，則，所以，即為偶函數，故D正確.故選：ACD11.已知正項數列滿足，，其中，則（）A.為單調遞減數列 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用導數判斷單調性，放縮法證明不等式逐個選項分析即可.【詳解】對于AB，由已知得，令，定義域為，，令，，當時，此時恒成立，故在上單調遞減，，也可得，即，故在上單調遞減，當時，，則，故，則，即，故為單調遞減數列，故A正確，顯然，故B錯誤；對于C，欲證，且由題意得，即證，即證，取指數得，又易知，化簡得，故證明恒成立即可，令，，而，故在上單調遞增，且，故，即恒成立，故得證，故C正確，對于D，由C可知，，，，，，上式相加，得，故得證，故D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是利用導數證明數列的單調性，再構造函數結合放縮法證明不等式即可.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知等差數列滿足，前項和為，則______________________．【答案】12【解析】【分析】根據條件，利用等差數列的性質及前項和公式，即可求出結果.【詳解】因為數列是等差數列，又，所以，故答案為：.13.已知向量，為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】令，利用向量模的計算公式把表示成t的函數，求出函數最小值即可.【詳解】因向量與共線，令，則，而向量，為單位向量，且，于是得，當且僅當時取“=”，所以的最小值為.故答案：14.如圖，已知正方體的棱長為2，點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，點是球表面上的動點，當點到平面的距離最大時，異面直線與所成角的余弦值的平方為____________．【答案】【解析】【分析】根據條件，得出球是正方體的棱切球，進而得出圓心和半徑，再利用球的性質得出點的位置，利用幾何關系得出就是異面直線與所成角，再計算出，即可求出結果.【詳解】因為點分別為棱，，，的中點，且點都在球的表面上，則球是正方體的棱切球，球心為對角線的中點，半徑為，取的中點，則點為延長線與球O表面的交點時點到平面的距離最大，此時，，．連接OE，則，就是異面直線與所成角，因為，所以，所以異面直線與所成角余弦值的平方為，故答案為：.【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于，利用點都在球的表面上，得到球為正方體的棱切球，利用球的性質，將球面上的點到平面的最大距離轉化成球心到平面的距離不處理，再利用幾何關系來解決問題.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.設為數列的前項和，已知是首項為、公差為的等差數列．（1）求的通項公式；（2）令，求數列的前項積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再由求出，驗證，從而求解.（2）由（1）可得，從而可求解.【小問1詳解】由是首項為、公差為的等差數列，故，即，當時，，故，當時，，符合上式，故；【小問2詳解】由，，故，則.16.某面包店的面包師聲稱自己店里所出售的每個面包的質量均服從期望為，標準差為的正態分布．（1）已知如下結論：若，從X的取值中隨機抽取K（，）個數據，記這K個數據的平均值為Y，則隨機變量請利用該結論解決問題；假設面包師的說法是真實的，那么從面包店里隨機購買25個面包，記這25個面包質量的平均值為Y，求；（2）假設有兩箱面包（面包除顏色外，其它都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黃色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黃色面包有3個，現隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黃色面包個數的分布列及數學期望．附：隨機變量服從正態分布，則，，．【答案】（1）（2）分布列見解析，數學期望為【解析】【分析】（1）根據題設求得隨機變量的期望和標準差，由條件算出，利用正態分布圖的對稱性性質即可求得；（2）根據題意，得出隨機變量的可能值，結合條件可得概率，從而可得分布列及數學期望.【小問1詳解】由題意則，所以，于是隨機變量的期望為，標準差為，因，故.【小問2詳解】設取出黃色面包個數為隨機變量，則的可能取值為0，1，2．則故隨機變量的分布列為：012p所以數學期望為：17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，且，點分別為棱的中點，且平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，可證，進而平面；（2）根據已知可證平面，取中點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由兩平面夾角的向量公式可解.【小問1詳解】取中點，連接點為中點，.底面是邊長為2的正方形，為中點，.四邊形是平行四邊形.,平面平面平面.【小問2詳解】平面平面.又底面是邊長為2的正方形，平面，平面，平面.平面.又平面..底面是邊長為2的正方形，，為中點，.又平面，平面，平面.取中點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以，設平面法向量為，則設平面法向量為，則，，所以向量的夾角為，結合圖形可知二面角為銳角，所以二面角的大小為.18.已知雙曲線C的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．（1）求雙曲線C的標準方程；（2）經過點的直線與雙曲線C交于E，F兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意知雙曲線焦點在軸上，設雙曲線方程為，將代入雙曲線方程，然后根據直線斜率公式即可得到關于的兩個方程，即可求解.（2）由題意設直線方程為，，，與雙曲線聯立后根據根與系數關系可以表示出與，分直線的斜率是否存在兩種情況進行討論，通過直線的方程表示出點的坐標，由已知條件可知點為中點，進而可將點坐標及直線斜率用表示，通過之前求得的與即可進行求解.【小問1詳解】第一步：根據點P在雙曲線上得a，b的關系式由題意設雙曲線C的方程為()，由點在C上，得．①第二步：根據直線的斜率公式得a，b的關系式設C的上、下焦點分別為，，則，解得，所以．②第三步：聯立方程解得，的值由①②得，，第四步：得雙曲線C的標準方程故雙曲線C的標準方程為．【小問2詳解】第一步：設直線方程，聯立方程得根與系數的關系由題意可知，直線EF的斜率不為0，設直線EF的方程為，，，聯立，得方程組整理得所以，，解得，所以，，則．第二步：用，表示點D的坐標當直線PE的斜率不存在時，易得，，，，此時直線AB的斜率為．當直線PE的斜率存在時，直線PE的方程為，所以點D的坐標為，由，可得，第三步：用，表示點B的坐標由，得點B為DF的中點，所以，則，第四步：根據斜率的計算公式求直線AB的斜率．所以．故直線AB的斜率為．【點睛】解決直線與雙曲線的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、雙曲線的條件；（2）強化有關直線與雙曲線聯立得出一元二次方程