最全歸納平面向量中的范圍與最值問題目錄方法技巧總結技巧一．平面向量范圍與最值問題常用方法：(1)定義法(2)坐標法(3)基底法(4)幾何意義法技巧二．極化恒等式(1)平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：·1·|+b|+|-b|=2(||+|b|)=,=b=+b=-bAB+2?b+b=+bAC=AC2①=-2?b+b=-bDB=DB2②①②兩式相加得：+bAC+DB+AD2=2=2AB2(2極化恒等式：1+b--b2----極化恒等式4①平行四邊形模式：?b=1AC-DB24的1．4②三角形模式：?b=AMDB(M為BD的中點)4技巧三．矩形大法矩形所在平面內任一點到其對角線端點距離的平方和相等已知點O是矩形ABCD與所在平面內任一點，證明：+OC=OB+OD．(坐標法設AB=a,AD=bAB所在直線為軸建立平面直角坐標系xoy，則B(a,0D(0,bC(a,bO(x,y+OC=(x+y[(x-a+(y-b]OB+OD=[(x-a+y]+[x+(y-b]∴+OC=OB+OD2技巧四．等和線(1平面向量共線定理已知OA=λOB+μOCλ+μ=1A,B,C(2等和線·2·平面內一組基底OA,OB及任一向量OPOP=λOA+μOB(λ,μ∈R)點P在直線AB上或者在平行于ABλ+μ=k(定值)AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線．①當等和線恰為直線AB時，k=1；②當等和線在O點和直線AB之間時，k∈(0,1)；③當直線AB在點O和等和線之間時，k∈(1,+∞)；④當等和線過O點時，k=0；⑤若兩等和線關于Ok互為相反數；技巧五．平行四邊形大法1.中線長定理2AO=AB+AD-12DB22.P2POAC=PA+PC-1222PODB22兩式相減：PA+PC-PD+PB2=AC-BD22=2AB?AD技巧六．向量對角線定理+BC+CD))-(AB

(ADAC?BD=2必考題型歸納·3·題型一:三角不等式1(2023·全國·高三專題練習)已知向量,b,滿足||=2,|b|=1,|--b|=1(-)2+()≤11?b的取值范圍是.-b2(2023·全國·高三專題練習)已知平面向量,b,滿足：||=1,b?=-1b|-b|≥|-|cos+,的最小值是．3已知向量,b,滿足=b==2?b=0t的方程ta+b-=2夾角為θsinθ的取值范圍是.12,的1.已知e,e,e3e,e2λ∈R均有e3+λe1

的最小值為e3-e2e1+3e2-e3+e3-e2

的最小值為．=2=e2.已知平面向量e1,e2滿足2e2-e1+4e2,b11≤?b≤2||的取=e1+e2值范圍為．3.(2023·浙江金華·統考一模)已知平面向量b滿足?b=74-2的取值范圍是．|-b|=3(-)(b-)=·4·題型二:定義法1已知向量b的夾角為π?b=3量滿足=λa+1-λb0<λ<1?=b?x=3??by=x+y-xy的最大值為.b2(2023·四川成都·高二校聯考期中已知向量b滿足=1=2?b=-1b量-與向量-b的夾角為π的最大值為．43(2023·浙江紹興·高二校考學業考試)已知向量b滿足=1=3⊥bb滿足--b=2-b的最大值是．1.已知向量b滿足=1=3?b=-3b2-與b-的夾角為30°||的最大值是.2.已知向量b=2b=3=6b表示成=λa+μb

(λμ為實數有λ+μ≤1?b的最小值為3.已知向量b滿足：-b=4=2b.設-b與+b的夾角為θsinθ的最大值為.·5·題型三:基底法1.已知菱形ABCD的邊長為2∠BAD=120°EF分在邊BCCD上，BEμDCAE?AF．若λ+μ=2的最小值為．3=λBCDF=2.(2023·天津·高三校聯考階段練習)已知菱形ABCD的邊長為2∠BAD=120°EF分別在邊BCCD上，BE=λBCDF=μDCAE?AF2λ+μ=5的最小值．23.ABCD的邊長為4∠BAD=30°M為DCN為菱形內任意一點(含邊界)AM?AN的最大值為．4.菱形ABCD的邊長為4∠BAD=30°N為菱形內任意一點(含邊界)AB?AN的最大值為．5.ABCD的邊長為4,∠BAD=60°,M為DCN為菱形內任意一點(含邊界)AM?AN的最大值為.·6·6.平面四邊形ABCD是邊長為2∠A=120°N是DCDN點M是四邊形ABCDAM?AN的最大值為.=3NC，7.(2023·全國·高三專題練習)已知向量b滿足+b=3?b=0．若=λa+1-λb?=?b的最大值為．8.已知平面向量b滿足=2-與b-的夾角為πb=1?b=-14的最大值為．9.已知平面向量b滿足=4--b-2最大值為.=3=2b?=3，b-b2-210.在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AMAN=λAB+μACλ2+μ2的最小值為.·7·題型四:幾何意義法1(2023·全國·模擬預測)已知b-b=+b=2b=2+-b=5

則向量在向量上的投影的數量的最小值是.，2(2023·上海浦東新·上海市建平中學校考三模)已知非零平面向量b滿足：b的夾角為π4與-b的夾角為3π-b=2-b=1b?的取值范圍是.4-3(2023·全國·高三專題練習)已知平面向量,b夾角為π滿足-=-b=1,-3?-b1,記m為ft=ta+1-tb(t∈R)m的最大值是．21.(2023·全國·高三專題練習)已知平面向量b滿足?b=-3-b=4-與-b的夾角為π--b的最大值為．32.(2023·四川內江·高二四川省內江市第六中學校考開學考試)已知非零平面向量b滿足：b的夾角為π-與-b的夾角為2π-b=23-b=2b?的取值范圍是．33·8·∈π63.已知非零平面向量b滿足-b=2(-)?(-b0與b的夾角為θθ,π||的最大值是.34.(2023·全國·高三專題練習平面向量,b,滿足：,b的夾角為π3=23b?的最大值為.|-b|=|b-|=|-|5.(2023·廣東陽江·高二統考期中)已知非零平面向量b滿足-b=4-b與b-的夾角為θθ∈π,π的模取值范圍是.

1a326.(2023·浙江·高三專題練習)已知平面向量b=b=-b=12-++=23-的取值范圍是.

2b7.(2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考期末已知向量b滿足=b=1?b

=0滿足++b=1的最大值為.3π48.(2023·浙江·模擬預測)已知向量b滿足-b+=2b=2的最大值為．b-與的夾角為·9·π39.(2023·全國·高三專題練習)已知平面向量,b,滿足：-b=5量與向量b的夾角為-=23量-與向量b-的夾角為2π+2的最大值為.3題型五:坐標法1(2023·全國·高三專題練習)已知向量b滿足2+b=3=1+2+b，b的最大值為.2(2023·江蘇常州·高三統考期中)已知平面向量,b,滿足||=2|b|=4b的夾角為π3(b-)=2||的最大值是.(-)?3設平面向量b滿足=b=2與b的夾角為2π3．-b-0則的最大值為-b1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量b滿足||=1|b|=3?b=0-與的夾角是π?b-的最大值為.6·10·2.(2023·河北·統考模擬預測)2的正方形ABCD中．以C為圓心，1為半徑的圓分別交CDBC于點EF．當點P在劣弧EF上運動時，BP?DP的最小值為．3.(2023·山東·山東省實驗中學校考一模)若平面向量b滿足=1b=-1b+的最小值為．?=0?b=1?4.(2023·四川眉山·仁壽一中校考一模)ABCD中，∠CDA=∠CBA=90°，∠BAD=120°AB=AD=1點E為CDAE?BE的最小值為．5.(2023·安徽滁州·校考模擬預測)已知=1b++b-=4b-1的最小值是4.6.(2023·浙江·模擬預測)已知向量b滿足=3

的最小值為1(λ為實數)b-λa-,b,-bb?b最大值為.αaβcosα+β·11·7.在矩形ABCD中，AB=4AD=3MN分別是ABAD2AM+AN=1AC=xAM+yAN2x+3y的最小值為()A.48B.49C.5051題型六:極化恒等式1(2023·山東師范大學附中模擬預測)邊長為1的正方形內有一內切圓，MNP為MN的長度最大時，PM?PN的取值范圍是．2(2023·湖北省仙桃中學模擬預測)如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長為6的可移動的線段，AD=4AB=83BC=12BE?BF的取值范圍為．3(2023·陜西榆林·三模)四邊形ABCD為菱形，∠BAC=30°AB=6P是菱形ABCD所在平面的任意PA?PC的最小值為．λAB1.(2023·福建莆田·模擬預測)已知P是邊長為4的正三角形ABCAP+(2-2λ)AC(λ∈R)PA?PC的最小值為()=A.16B.12C.54·12·2.(2023·重慶八中模擬預測)△ABC中，AB=3BC=4AC=5PQ為△ABC內切圓的一條直徑，M為△ABCMP?MQ的取值范圍為()A.0,4B.1,4C.0,91,9題型七:矩形大法1已知圓C1:x2+y2=9與C2:x2+y2=36P(2,0)AB分別在圓C1和圓C2PA⊥PB線段AB的取值范圍是．2AB1()⊥AB2OB1=OB2=1AP=AB1+AB2|OP|<12|OA|的取值范圍是A.0,52B.52,72C.52,272,23(2023·全國·高三專題練習)已知圓Q:x2+y2=16P1,2MN為圓OPMPN=0若PQ=PM+PNPQ的最小值為．?1.設向量b滿足||=|b|=1?b=12(-)?(b-)=0||的最小值是()A.3+12B.3-12C.31·13·題型八:等和線12的等邊三角形的外接圓為圓OP為圓OAP最大值為()=xAB+yAC2x+2y的A.83B.2C.4312在△ABC中，M為BC邊上任意一點，N為線段AMAN+μ的取值范圍是()=λAB+μAC(λμ∈R)λA.0,13B.13,12C.[0,1][1,2]3(2023·全國·高三專題練習)如圖,OM∥ABP在由射線OMOB及AB的延長線圍成的區域內(不含邊界)運動,且OP=xOA+yOB時，y的取值范圍是().當x=-12A.0+∞B.13C.22113+∞-+∞-2221.(2023·全國·高三專題練習)在扇形OAB中，∠AOB=60°C為弧ABOCxOA+yOB3x+y的取值范圍是．=·14·

2.(2023·江西上饒·統考三模)在扇形OAB中，∠AOB=60°C為弧AB上的一個動點.若OC

=xOA+yOB2x+y的取值范圍是.3.(2023·全國·高三專題練習)在扇形OAB中，OA=1∠AOB=π3OC=xOA+yOBx+3y的取值范圍是.C為弧AB上的一個動4.(2023·福建三明·高二三明一中校考開學考試)OAB中，∠AOB=π3ABOC=xOA+yOBx+4y的取值范圍是.C為弧5.(2023·全國·高三專題練習)如圖，OM?ABP由射線OM段OB及AB的延長線圍成的陰影區域內(不含邊界).且OP=xOA+yOBx,y可以是()A.-1,7,31B.-C.44551,2,-12-4233·15·6.如圖，B是AC的中點，BE=2OBP是平行四邊形BCDE內(含邊界)OPxOA+yOBx,y∈R()=①當x=0時，y∈2,3②當P是線段CE的中點時，x=-1y=522③若x+y為定值1P的軌跡是一條線段④x-y的最大值為-1A.1B.2C.347.(2023·全國·高三專題練習)在△ABC中，AB=AC=AB?AC=2Q在線段BC(含端

點)P是以Q為圓心，1AP=λAB+μACλ+μ的最大值為()A.1B.33C.3+33328.在△ABC中，AD為BC上的中線，G為AD的中點，MN分別為線段ABAC上的動點(不包括端點ABC)MNGAM=λABAN=μACλ+4μ的最小值為()A.32B.52C.2949.(2023·全國·高三專題練習)在ΔABC中，AC=2,AB=2,∠BAC=120°,AEμACM為線段EFAM=1λ+μ的最大值為()=λAB,AF=A.73B.273C.2213·16·10.在扇形OAB中，∠AOB=60oOA=1C為弧ABOC=xOA+yOB．則x+4y的取值范圍為()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)[2,3]11.(2023·