高中PAGE1試題2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷02（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)+數(shù)列。5．難度系數(shù)：0.75。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．2．如圖，三棱錐中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知直線是雙曲線的一條漸近線，則的離心率等于（

）A． B． C． D．或4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，又2，，，，8成等比數(shù)列，則的值是（

）A．4 B． C．4或 D．25．已知直線的方向向量為，且過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．66．已知圓，圓，若圓平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．97．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形8．記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，已知，若，則的最小值是（

）A．999 B．1000 C．1001 D．1002二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線，直線，則下列說(shuō)法正確的為（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．若，則C．若兩條平行直線與間的距離為，則D．點(diǎn)到直線距離的最大值為10．在正方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得與所成角為11．已知數(shù)列滿足，則（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列B．C．D．?dāng)?shù)列的前2n項(xiàng)和為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知空間向量且與互相平行，則實(shí)數(shù)的值．13．已知為橢圓上一點(diǎn)，，分別為上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．14．將數(shù)據(jù)，，，…排成如圖的三角形數(shù)陣，（第一行一個(gè)，第二行兩個(gè)，?，最下面一行有個(gè)，）則數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知等差數(shù)列中，，前n項(xiàng)和為，bn為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，．(1)求與；(2)定義新數(shù)列滿足，，求前20項(xiàng)的和．16．（15分）已知圓．(1)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與圓相切,求直線的方程；(2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)在圓上,為線段的中點(diǎn),求的軌跡的長(zhǎng)度．17．（15分）如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是正方形，，平面(1)證明：平面(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)棱BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（17分）如圖，已知橢圓：（）上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大矩離和最小距離分別為和，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若，求直線的方程；(3)當(dāng)直線，均不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.19．（17分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為若對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，則稱(chēng)是“H數(shù)列”.(1)已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列是“H數(shù)列”;(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：數(shù)列不是“H數(shù)列”;(3)設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差若是“H數(shù)列”，求d的值.2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷02（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)+數(shù)列。5．難度系數(shù)：0.75。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】若直線與垂直，則其斜率為，又該直線過(guò)，根據(jù)點(diǎn)斜式有，整理得.故選：C2．如圖，三棱錐中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，

連接，所以，因?yàn)椋裕裕蔬x：B.3．已知直線是雙曲線的一條漸近線，則的離心率等于（

）A． B． C． D．或【答案】B【詳解】直線是雙曲線的一條漸近線，則有，得，故的離心率為.故選：B.4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，又2，，，，8成等比數(shù)列，則的值是（

）A．4 B． C．4或 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，所以，解得，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，因?yàn)?，，，，8成等比數(shù)列，所以，解得，又，所以，所以，所以.故選：A.5．已知直線的方向向量為，且過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．6【答案】B【詳解】，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)時(shí)，距離有最小值為.故選：B6．已知圓，圓，若圓平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【詳解】∵方程表示圓，∴，即．圓，圓，兩圓的方程相減，可得兩圓的公共弦所在直線的方程：．若圓平分圓的周長(zhǎng)，則圓的圓心在直線上，∵圓的圓心為，∴，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，取最小值9．故選：D．7．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形【答案】C【詳解】對(duì)于A，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，拋物線方程為：，與交于兩點(diǎn)，直線方程代入拋物線方程可得，，所以，所以，故B不正確；對(duì)于C，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，所以以為直徑的圓與相切，故C正確；對(duì)于D，由B得，，解得或，不妨設(shè)，則，所以，，所以不是等腰三角形，故D錯(cuò)誤；故選：C8．記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，已知，若，則的最小值是（

）A．999 B．1000 C．1001 D．1002【答案】C【詳解】∵為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，，∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，又，∴，即，∴是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，且.由，得若，則，∴所以，正整數(shù)的最小值為1001.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線，直線，則下列說(shuō)法正確的為（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．若，則C．若兩條平行直線與間的距離為，則D．點(diǎn)到直線距離的最大值為【答案】ABD【詳解】由，令，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A對(duì)；若，所以，故B對(duì)；若，則，即，此時(shí)，即，，因?yàn)橹本€與間的距離為，所以或15，故C錯(cuò)；由C知，直線過(guò)定點(diǎn)，要使點(diǎn)到直線距離最大，則，則點(diǎn)到直線距離的最大值為，故D對(duì)；故選：ABD10．在正方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得與所成角為【答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時(shí)P在線段上，由于在正方體中，平面，平面，所以，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，如圖所示，

由平面向量基本定理，此時(shí)P在線段上，由圖可知，三棱錐當(dāng)以平面為底面時(shí)為定值，但因?yàn)轫旤c(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，所以P到底面的高不確定，故三棱錐的體積不是定值，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，由平面向量基本定理，取AB與中點(diǎn)M，N，則P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，由圖可知，過(guò)B點(diǎn)且與平面平行的平面為平面，平面，所以此時(shí)平面，又P是MN與交點(diǎn)，即當(dāng)且僅當(dāng)P是MN中點(diǎn)時(shí)，有平面，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖所示，

以D為原點(diǎn)，DC，DA，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)椋瑒t有，又，所以，所以.于是，，所以的夾角為時(shí)有，，解得或，即或都可以使得的夾角為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知數(shù)列滿足，則（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列B．C．D．?dāng)?shù)列的前2n項(xiàng)和為【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，式子①-②得，故，其中滿足，綜上，，，所以，，故，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，C正確；D選項(xiàng)，，數(shù)列的前2n項(xiàng)和，D正確.故選：ACD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知空間向量且與互相平行，則實(shí)數(shù)的值．【答案】2【詳解】由條件可知，因?yàn)榕c互相平行，所以，解之得.故答案為：213．已知為橢圓上一點(diǎn)，，分別為上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，由在橢圓上，得，解得，，則橢圓的焦點(diǎn)，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)分別為線段的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)，所以的最大值為.故答案為：14．將數(shù)據(jù)，，，…排成如圖的三角形數(shù)陣，（第一行一個(gè)，第二行兩個(gè)，?，最下面一行有個(gè)，）則數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為．

【答案】【詳解】由題意，設(shè)數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為，則①，②，由①-②得：，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知等差數(shù)列中，，前n項(xiàng)和為，bn為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，．(1)求與；(2)定義新數(shù)列滿足，，求前20項(xiàng)的和．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列bn的公比為，則由可得，，（2分）解得：（4分）故（6分）（2）由（1）得，，，（8分）則（13分）16．（15分）已知圓．(1)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與圓相切,求直線的方程；(2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)在圓上,為線段的中點(diǎn),求的軌跡的長(zhǎng)度．【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,點(diǎn)在圓外,故過(guò)點(diǎn)A且與圓C相切的直線有2條，（2分）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),圓心到直線的距離直線與圓C相切（4分）(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線,即（5分）圓心C到直線的距離,由題意,解得,（7分）此時(shí),即,終上所述,直線的方程為x=?1或（8分）（2）設(shè)因?yàn)闉镈E的中點(diǎn),所以,（10分）點(diǎn)E在圓C上,即，即，（13分）所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,32為半徑的圓,（14分）的軌跡的長(zhǎng)度為（15分）17．（15分）如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是正方形，，平面(1)證明：平面(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)棱BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以（1分）又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以（2分）因?yàn)椋遥矫妫云矫妫?分）（2）因?yàn)槠矫妫矫妫裕值酌鍭BCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，（4分）以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，（6分）設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故（7分）設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為（9分）（3）若存在點(diǎn)P滿足題意，則可設(shè)點(diǎn)，其中，則，（10分）設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故（12分）易得平面的一個(gè)法向量為，所以，解得或舍去)，（14分）故棱BC上存在一點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為（15分）18．（17分）如圖，已知橢圓：（）上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大矩離和最小距離分別為和，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；(2)若，求直線的方程；(3)當(dāng)直線，均不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.【詳解】（1）解：由橢圓：上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離和最小距離分別為和，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，得，（2分）解得，則，（4分）故橢圓的方程為（5分）（2）解：設(shè)直線的方程為，，.由消去，整理得（7分）由，得，（8分）則，（9分），（10分）解得或（11分）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)；（12分）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，滿足題目條件所以直線的方程為（13分）（3）證明：因?yàn)橹本€，均不與軸垂直，所以直線：不經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則且，（14分）由（2）可知，，，為定值（17分）19．（17分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為若對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，則稱(chēng)是“H數(shù)列”.(1)已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列是“H數(shù)列”;(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：數(shù)列不是“H數(shù)列”;(3)設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差若是“H數(shù)列”，求d的值.【詳解】（1）因?yàn)椋O(shè)公差為d，所以，令，則，這時(shí)，（2分）即對(duì)任意正自然數(shù)n，存在正自然數(shù)m，使得，.所以，數(shù)列是“H數(shù)列”（4分）（2）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)n=1時(shí)，，所以，（5分）當(dāng)n2時(shí)，，所以，（6分）所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（7分）所以，（8分）假設(shè)數(shù)列是“H數(shù)列”，則對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，當(dāng)m=1時(shí)，有，則n=1；（9分）當(dāng)m2時(shí)，有，左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，該方程無(wú)解（11分）所以對(duì)任意正整數(shù)n，不存在正整數(shù)m，使得，所以數(shù)列不是“H數(shù)列”（12分）（3）依題意，，，（13分）若是“H數(shù)列”，則對(duì)任意的，都存在使得，即，所以，（15分）又因?yàn)椋詫?duì)任意的，，且d<0，則（17分）2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷02參考答案第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678CBBABDCC二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011ABDACACD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列bn的公比為，則由可得，，（2分）解得：（4分）故（6分）（2）由（1）得，，，（2分）則（13分）16．（15分）【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,點(diǎn)在圓外,故過(guò)點(diǎn)A且與圓C相切的直線有2條，（2分）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),圓心到直線的距離直線與圓C相切（4分）(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線,即（5分）圓心C到直線的距離,由題意,解得,（7分）此時(shí),即,終上所述,直線的方程為x=?1或（8分）（2）設(shè)因?yàn)闉镈E的中點(diǎn),所以,（10分）點(diǎn)E在圓C上,即，即，（13分）所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,32為半徑的圓,（14分）的軌跡的長(zhǎng)度為（15分）17．（15分）【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以（1分）又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以（2分）因?yàn)椋遥矫妫云矫妫?分）（2）因?yàn)槠矫妫矫妫裕值酌鍭BCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，（4分）以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，（