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文檔簡介

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多元函數微分法及其應用**第一節多元函數基本概念一問題的提出三多元函數的概念四多元函數的極限五多元函數的連續性六小結與思考判斷題二平面點集(Conceptionoffunctionsofseveralvariables)**一問題的提出觀察幾個例子

例1理想氣體的體積V與溫度T成正比，而與壓強P成反比，它們之間的關系，由下面的公式給出（其中R是比例常數）

例2三角形的面積A依賴于三角形的兩條邊b和c,以及這兩邊的夾角C，它們之間的關系，由下面的公式給出這兩個例子的實質是依賴于多個變量的函數關系。**1鄰域二平面點集(Planepointset)**2區域(Domain)（1）內點**（3）邊界點**（4）聚點內點一定是聚點；說明：

邊界點可能是聚點；例(0,0)既是邊界點也是聚點．**例如，即為開集．（5）開集(6）閉集例如，**連通的開集稱為區域或開區域．例如，例如，**（7）連通集連通的開集稱為區域或開區域．例如，例如，**有界閉區域；無界開區域．例如，（8）有界點集、無界點集**3n維空間(Spacen)設兩點為比如：

當時，便為數軸、平面、空間兩點間的距離．**三多元函數的概念類似地可定義三元及三元以上函數．**例1

求的定義域解所求定義域為例2

求的定義域。解所求定義域為**

二元函數的圖形**說明：二元函數的圖形通常是一張曲面.**例如例如**四多元函數的極限**注意：（2）定義中的方式是任意的；（3）二元函數的極限也叫二重極限（1）二元函數的極限運算法則與一元函數類似．（4）二重極限不同于二次極限**例3

求證證當時，所以結論成立．**例4

求極限解其中多元函數的極限可以應用一元函數求極限的法則**例4

證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．**確定極限不存在的方法：**五多元函數的連續性1定義**例5

討論函數在(0,0)處的連續性．解當時，**故函數在(0,0)處連續.**2間斷點函數的間斷點的判定（只要滿足下列一條）：**例6

討論函數在(0,0)的連續性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數在(0,0)處不連續．**3閉區域上連續函數的性質

在有界閉區域D上的多元連續函數，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界閉區域D上的多元連續函數，如果在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理**多元初等函數：由多元多項式及基本初等函數經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數叫多元初等函數一切多元初等函數在其定義區域內是連續的．定義區域是指包含在

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