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數學參考答案及評分標準數學參考答案及評分標準第③得：== 14分令，則， 15分令，則在區間[6，10)上單調遞增，∴， 16分故當，時，的最小值為． 17分方法二：（當且僅當，時，等號成立）， 16分∴的最小值為． 17分

19．解：（1）當n=3時，巴士從(0，0)行駛到(2，1)時，共有種行駛路線；從(2，1)行駛到(3，3)時，共有種行駛路線； 2分因此經過(2，1)的行駛路線共有種； 4分（2）（i）方法一： 除去起點A與終點B外，巴士一定會經過7個格點，若游客恰好游覽了7個景點，說明巴士一定不經過AB對角線上的格點． ∴巴士第一步必然到達(1，0)或(0，1)格點，且必然從(4，3)或(3，4)到達終點．在這個過程中既不會穿過AB對角線，也不會到達對角線上的格點． 5分 考慮對稱性，不妨先計算從格點(1，0)到達格點(4，3)，且不經過(1，0)與(4，3)連線上方格點的路線總數． 6分 假設向右行駛記為1，向上行駛記為?1，那么每條行駛路線實際唯一對應一個含3個1與3個?1的序列a1，a2，…，a6．行駛路線不經過(1，0)與(4，3)連線上方格點，等價于對任意前k段，向右行駛的段數都不小于向上行駛的段數，即．根據題意，滿足條件的路線總數應為種． 8分從而從格點(0，1)到達格點(3，4)，且不經過(0，1)與(3，4)連線上方格點的路線總數也為5種．因此游客游覽了7個景點的路線總數為10種． 9分方法二：當n=4時，巴士總共有種行駛路線， 5分除去起點A與終點B外，巴士一定會經過7個格點，若游客恰好游覽了7個景點，說明巴士一定不經過AB對角線上的格點，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，設經過格點C(1，1)，D(2，2)，E(3，3)分別為事件C，D，E，則經過格點C的路線總數為種，經過格點D的路線總數為種，經過格點E的路線總數為種，經過格點C與格點D的路線總數為種，同理種，種，經過格點C，D，E的路線總數為種， 7分因此經過格點C或格點D或格點E的路線總數為：， 8分用韋恩圖可如上圖表示，故游客恰好游覽了7個景點的路線總數為種； 9分（ii）要保證游客能夠分別瀏覽兩個景區至少1個景點，即行駛路線必須穿過對角線AB．不妨先考慮只經過AB及其右下方格點的行駛路線，設總數為R(n)， 假設向右行駛記為1，向上行駛記為?1，那么每條行駛路線實際唯一對應一個含n個1與n個?1的序列a1，a2，…，a2n．行駛路線不經過AB左上方的格點，等價于對任意前k段，向右行駛的段數都不小于向上行駛的段數，即， 10分由題意 11分 12分∴行駛路線不經過AB右下方格點的種數也應為，∴行駛路線穿過對角線AB的種數為，故．只需證：，n≥5． 13分當n=5時，，上式顯然成立．當n≥6時，令，顯然，． 14分且，∵()

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