天津市靜海區第六中學2023?2024學年高一下學期第三次質量檢測數學試題一、單選題（本大題共9小題）1．已知復數，若是純虛數，則實數（

）A． B． C． D．2．若，向量與向量的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．在中，則（

）A． B．C． D．4．如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，則四邊形的周長為（

）A．20 B．12 C． D．5．某校高一年級15個班參加慶祝建黨100周年的合唱比賽，得分如下：85

87

88

89

89

90

91

9192

93

93

93

94

96

98，則這組數據的40%分位數，90%分位數分別為（

）A．90.5，96 B．91.5，96 C．92.5，95 D．90，966．已知m，n表示兩條不同的直線，，表示兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，則7．如圖，正方體中，E，F分別是，DB的中點，則異面直線EF與所成角的正切值為（

）

A． B． C． D．8．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則是（

）A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形9．已知等邊三角形的邊長為，為邊的中點，是邊上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．復數滿足，則．11．已知向量，的夾角為，且，，則．12．已知平面內三個向量，，，若，則k=.13．若的內角A，B，C所對的邊a，b，c滿足，且，則的值為.14．正四棱錐的底面積為3，外接球的表面積為，則正四棱錐的體積為.15．如圖，在平面四邊形中，，，，.若點為邊上的動點（不與，重合），則的取值范圍為.三、解答題（本大題共4小題）16．當實數取什么值時，復數分別滿足下列條件？(1)復數實數；(2)復數純虛數；(3)復平面內，復數對應的點位于直線上.17．已知，，且與的夾角為，求：(1)；(2)與的夾角；(3)若向量與平行，求實數的值.18．某校為了解全校高中學生五一假期參加實踐活動的情況，抽查了100名學生，統計他們假期參加實踐活動的時間，繪成的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這100名學生中參加實踐活動時間在6～10小時的人數；(2)估計這100名學生參加實踐活動時間的眾數、中位數和平均數.19．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求的值；(2)若，（i）求a的值；（ii）求的值．

參考答案1．【答案】C【分析】化簡，解方程組即得解.【詳解】是純虛數，則，解得.故選C.2．【答案】C【分析】根據投影向量定義計算即可.【詳解】由投影向量定義可知，在上的投影向量為.故選C.3．【答案】C【分析】根據點所在位置，結合平面向量的線性運算，即可求得結果.【詳解】因為，所以為線段上靠近的三等分點，如下圖所示：

故．故選C．4．【答案】A【分析】根據斜二測法求得且，進而求出，即可得結果.【詳解】由題設，則原四邊形中，又，故，且，所以四邊形的周長為.故選A.5．【答案】A【分析】根據分位數及分位數的計算規則計算可得；【詳解】因為一個15個數據，所以，則分位數為從小到大排列的第個和第7個數據的平均數，即為，，則分位數為從小到大排列的第個數據為，故選A.6．【答案】D【分析】由平行于同一平面的兩直線的位置關系判定A；由面面垂直、線面垂直判定線面關系判斷B；由兩平行平面內兩直線的位置關系判斷C；由平面與平面垂直的判定定理判斷D．【詳解】若，，則或m與n相交或m與n異面，故A錯誤；若，，則或，故B錯誤；若，，，則或m與n異面，故C錯誤；若，，由平面與平面垂直的判定可得，故D正確.故選D.7．【答案】B【分析】根據異面直線的夾角的求法和線面位置關系即可求解.【詳解】如圖所示，連接直線，因為分別為直線和直線的中點，所以為的中位線，所以，則異面直線EF與所成角的正切值即為直線與所成角的正切值，因為,所以平面,平面,所以,所以為直角三角形，所以.故選B.8．【答案】B【分析】由和正弦定理可得，即，又得，即可判斷是等邊三角形.【詳解】由及正弦定理可得，得，故（舍去）或，即，又，所以，因，，得，故，故是等邊三角形，故選B.9．【答案】D【分析】取線段的中點，連接，以點為原點，，所在的直線分別為，軸建立平面直角坐標系，設點，則，利用二次函數的基本性質結合平面向量數量積的坐標運算可求得的取值范圍.【詳解】取線段的中點，連接，則，以點為原點，，所在的直線分別為，軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，

則，，設點，則，，，所以，，因為函數在上為減函數，在上為增函數，所以，，又因為，，所以，，因此，的取值范圍是.故選D.10．【答案】【分析】利用復數的模和除法運算即可求解.【詳解】因為復數滿足，所以，故答案為：.11．【答案】【分析】根據向量模的計算公式，即可求解.【詳解】.故答案為：.12．【答案】【分析】先表示出，再由平行向量的坐標表示求解即可.【詳解】因為，，，，，因為，所以，所以，解得：.故答案為：.13．【答案】【分析】利用余弦定理可得答案.【詳解】由，得，由余弦定理得，則，所以.故答案為：.14．【答案】或【分析】設底面中心為，連接，，，由四棱錐的外接球的表面積為，可得外接球半徑，利用球的截面性質求出的值，再根據體積公式求解即可.【詳解】設正四棱錐的底面中心為，外接球球心為，顯然球心在直線上，由四棱錐的外接球的表面積為，得球半徑，由正方形面積為3，得.球心到面的距離為，正方形的外接圓半徑，于是，即，解得或，所以或，故答案為：或.

15．【答案】【分析】設，根據條件找出，，且與的夾角為，與的夾角為，從而根據向量的加法法則和減法的定義寫出，然后表示為關于的二次函數，通過求二次函數的最小值即可解決問題.【詳解】延長交于點，因為，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨設，則，且與的夾角為，與的夾角為，則，設，，所以時，.，則的范圍是.故答案為：.16．【答案】(1)或；(2)；(3)或.【解析】(1)由虛部為0，求解值；(2)由實部為0且虛部不為0，列式求解值；(3)由實部與虛部的和為0，列式求解值．【詳解】由題可知，復數，(1)當為實數時，則虛部為0，由，解得：或；(2)當純虛數時，實部為0且虛部不為0，由，解得：；(3)當對應的點位于直線上時，則，即：實部與虛部的和為0，由，解得：或．17．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)代入向量模的公式，即可求解；(2)代入向量夾角的余弦公式，即可求解；(3)代入向量共線定理，即可求解.【詳解】(1)，(2)，即，所以與的夾角為；(3)若向量與平行，則，，得或，所以的值為.18．【答案】(1)58；(2)眾數7，中位數2，平均數7.16.【解析】(1)求出參加實踐活動時間在6～10小時的人所占的頻率,再求解人數即可.(2)根據最高矩形底邊中點的橫坐標計算眾數,利用中位數左右兩邊的頻率均為0.5以及平均數的算法求解即可.【詳解】(1)，即這100名學生中參加實踐活動時間在6～10小時的人數為58.(2)由頻率分布直方圖可以看出，最高矩形底邊中點的橫坐標為7，故這100名學生參加實踐活動時間的眾數的估計值為7小時.；，中位數t滿足.由，得，即這100名學生參加實踐活動時間的中位數的估計值為2小時.由，解得.這100名學生參加實踐活動時間的平均數的估計值為（小時）.19．【答案】(1)；(2)（i）