致遠高一數學3月月考卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知非零向量與共線，下列說法正確的是（）A.與共線 B.與不共線C.若，則 D.若，則是一個單位向量【答案】D【解析】【分析】根據向量共線，向量相等及單位向量的定義分別判斷各選項.【詳解】當，，，四點在一條直線上時，與共線，否則與可能不共線，所以AB選項錯誤；若，無法確定向量方向，不能確定向量相等，C選項錯誤；根據單位向量定義可知若，則是一個單位向量，D選項正確；故選：D.2.已知復數滿足（虛數單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據復數的除法運算即可.【詳解】．故選：B．3.下列命題中，正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】根據向量是具有大小和方向的量以及零向量的含義，一一判斷各選項，即得答案.【詳解】對于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A錯誤；對于B，若，即的模相等，方向相同，則，B正確；對于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比較大小，即，不能得出，C錯誤；對于D，若，則，D錯誤，故選：B4.在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理得到，由同角三角函數關系得到，由三角形面積公式求出答案.【詳解】因為，，，所以，因為，所以，所以.故選：A5.在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（）A.或 B.或3 C.或3 D.3【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求得，由可得或，分別求即得.【詳解】由題意及正弦定理，得，解得.又，故，于是或，均符合題意.當時，，由正弦定理，得，解得；當時，，此時是等腰三角形，.故選：A6.已知向量滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求，結合向量的夾角公式可求答案.【詳解】由模長公式，由夾角公式.故選：A7.已知OB是平行四邊形OABC的一條對角線，為坐標原點，，若點滿足，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運算和坐標運算，即可求解.【詳解】由向量的減法得：，則，，設，則，，由，得，解得，所以.故選：A.8.已知復數（為虛數單位）在復平面內對應點在第三象限，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部與虛部均小于0列不等式組求解.【詳解】因為，在復平面內對應的點在第三象限，

，解得.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但選不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，若，則實數m的值可以為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】ABC【解析】【分析】根據向量垂直列出方程，求出實數m的值.【詳解】因為，所以，解得或0或．故選：ABC10.有下面四個命題，真命題的是（）A.B.若，且，則C.，則D.兩個虛數不能比較大小【答案】AD【解析】【分析】根據復數的定義和復數的乘方，直接計算和判斷各個選項即可.【詳解】對于A，因為，所以，，故A正確；對于B，兩個虛數不能比較大小，故B錯；對于C，當，時，，故C錯；按照復數的定義，兩個虛數不能比較大小，D正確.故選：AD11.已知的內角所對的邊分別為，下列四個命題中，正確的命題是（

）A.在中，若，則B.若，則是等腰三角形C.若在線段上，且，則的面積為8D.若，動點在所在平面內且，則動點的軌跡的長度為【答案】ACD【解析】【詳解】利用正弦定理結合三角形中大邊對大角，可判斷A；化簡條件得到，求得或，可判定B；設，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，結合面積公式，可判定C；根據題意得到點在以為弦的一個圓上，結合正弦定理和圓的性質，以及弧長公式，可判定D．【分析】對于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正確；對于B中，由，可得，整理得，由正弦定理得，可得，因為，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，由在線段上，且，，，，則，設，在中，利用余弦定理，整理得，解得或（舍去），所以，在中，可得，則，所以的面積為，故C正確；對于D，在中，因為，，則點在以為弦的一個圓上，由正弦定理可得外接圓的直徑為，即，當點在外部時，如圖所示，因為，可得，所以，所以的長度為，同理，當點在內部時，可得對應的弧長也是，所以動點的軌跡的長度為，故D正確．故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________【答案】【解析】【分析】對于坐標法表示向量,向量的模為,代入計算即可【詳解】由題,故答案為：【點睛】本題考查向量的模,屬于基礎題13.已知向量是單位向量，且夾角為，則_______．【答案】【解析】【分析】根據向量的模的性質和數量積的定義求解即可.【詳解】由已知，，所以，所以，故答案為：.14.已知，，則在方向上的投影的坐標為____.【答案】【解析】【分析】首先求出，，再根據投影的定義計算可得.【詳解】因為，，所以，，所以在方向上的投影的坐標為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.15.如圖，某人從點A出發，向西走了200m后到達點B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到達點C，最后向東走了200m后到達點D，發現點D在點B的正北方．（1）作出，，，；（2）求的模．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）利用給定條件確定點的位置，再標注向量即可.（2）利用兩點間距離公式結合向量模的定義求解模長即可.【小問1詳解】根據題意可知，點在坐標系中的坐標為．因為點在點的正北方，點在點的正西方，所以，．又，，所以，即兩點在坐標系中的坐標分別為，．作出，，，如圖所示．【小問2詳解】由兩點間距離公式得，則．16.已知分別為三個內角的對邊，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得，由此即可得解；（2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解.【小問1詳解】由正弦定理邊化角可得，即，所以，因為，所以，又，解得；【小問2詳解】若，則，這里是三角形外接圓的半徑，解得，由余弦定理可得.17.已知向量，．（1）若，求實數的值（2）求與的夾角；【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）應用向量垂直數量積為0，即可求；（2）利用數量積的夾角公式結合條件即得.【小問1詳解】當時，，∴，則，∴．小問2詳解】∵，，∴，，∴；又∵，、∴.18.．已知中是直角，，點是的中點，為上一點．（1）設，，當，請用來表示，.（2）當時，判斷是否垂直.若成立，給出證明，若不成立，說明理由.【答案】（1），；（2）不垂直，理由見解析.【解析】【分析】（1）直接利用平面向量的線性運算求解；（2）求出，，再求出，又，即得證.【詳解】解：（1），因為，所以.（2）與不垂直.證明如下：由可得，，，又因為，所以，，所以與不垂直.19.在中，內角，，的對邊分別為，，，滿足．