臨川一中2024-2025學年度高一下學期第一次月考考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.把化成度的結果為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據弧度和角度的轉化關系可得正確的選項.【詳解】.故選：C.2.若是第三象限角，則是（）A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角C.第二或第四象限角 D.第三或第四象限角【答案】C【解析】【分析】首先利用不等式寫出的范圍，即可求解.【詳解】由題意可知，所以，所以是第二或第四象限角.故選：C.3.已知函數是偶函數，則的值為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正余弦函數的奇偶性，結合誘導公式易得．【詳解】因為函數為偶函數，所以.又，所以，解得，代入檢驗，得到，顯然符合題意.故選：B.4.“點在第二象限”是“角為第三象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據三角函數值在各象限的符號及充分條件與必要條件的概念判斷.【詳解】若點在第二象限，則，則角為第三象限角，故充分性成立，若角為第三象限角，則，則點在第二象限，故必要性成立，∴“點在第二象限”是“角為第三象限角”充要條件.故選：C.5.已知，且，則（）A. B. C. D.12【答案】B【解析】【分析】根據指對互化，結合換底公式，即可求解.【詳解】由可得，由，故，故，由于，故，故選；B6.如圖，將含角的直角三角板繞頂點順時針旋轉后得到，點經過的路徑為弧，若，則圖中陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，計算，則陰影部分的面積為.【詳解】由題意，扇形的圓心角為，且所以,所以，且,所以陰影部分的面積為.故選：C.7.納皮爾精確的對數定義來源于一個運動的幾何模型：假設有兩個沿兩平行直線運動的動點C和F，其中點C從線段的端點A向B運動，點F從射線的端點D出發向E運動，其中的長為a，的長無限大．若的長度滿足在第t秒時，的長度滿足在第t秒時，記，，則x是關于y的一個對數函數．根據以上定義，當時，則（）A.15 B.18 C.21 D.24【答案】B【解析】【分析】由題意得，代入的值，結合指對互換以及對數運算即可求解.【詳解】由題意得，所以當時，，解得.故選：B.8.一個表面被涂上紅色的棱長為ncm（n≥3，n∈N*）的立方體，將其適當分割成棱長為1cm的小立方體，從中任取一塊，則恰好有兩個面是紅色的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先確定共分割的塊數，以及滿足條件的塊數，再求概率.【詳解】由條件可知，共有塊，兩個面的交界處的中間部分是兩個面是紅色，每一個交界處有塊，共有12個交界，則兩個面是紅色的有塊，所以概率.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】先判斷角終邊所在位置，在判斷其三角函數的符號，逐項判斷即可.【詳解】因為，為第二象限角，故，得.故選：BD10.已知，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據正弦函數單調性判斷A，根據余弦函數單調性判斷B，根據誘導公式及同角三角函數關系判斷C，根據誘導公式判斷D.【詳解】因為在上不單調，所以，則不成立，故A錯誤；因為在上單調遞減，所以，則成立，故B正確；因為，所以，故C正確；因為，，所以或，即或，故D錯誤.故選：BC11.已知函數的定義域均為，是偶函數，且，若，則（）A. B.的圖象關于點中心對稱C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據題意，先得，再利用賦值法求，進一步求，判斷A；再推得，，可得對稱性和周期性，判斷BC；由以上分析可知，再結合周期性判斷D.【詳解】因為是偶函數，所以，所以．當時，，又，所以，所以，所以，故A正確；由，得，兩式相減得，所以，又，所以，即，所以的圖象關于點中心對稱，故B正確；，所以是以6為周期周期函數，所以，故C正確；由以上分析可知，，D不正確．故選：ABC．【點睛】方法點睛：（1）涉及抽象函數的求值問題，往往采用賦值法，即令x取特殊值；（2）涉及到抽象函數的奇偶性、對稱性以及周期性問題，往往要結合賦值和相應的定義去解決.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數的最小正周期是__________.【答案】【解析】【分析】畫出的圖象,根據圖象即可判斷出最小正周期.【詳解】的圖象如下圖所示:由圖像可知由是由的圖象保留x軸上方部分,并將下方部分翻折到x軸上方得到的所以其最小正周期也為故答案為:【點睛】本題考查了正切函數的圖象與性質的應用,正切函數的最小正周期,屬于基礎題.13.若角的終邊逆時針旋轉后經過點，則______．【答案】##0.6【解析】【分析】由題意，利用三角函數的定義，結合誘導公式，即可求得結果.【詳解】由題意，角的終邊逆時針旋轉后經過點，可得，所以.故答案為：.14.已知，順次連接函數與圖象的任意三個相鄰的交點都可以構成一個等邊三角形，則的值為______．【答案】##【解析】【分析】取兩函數相鄰的三個交點、、，計算出等邊三角形的邊上的高以及，結合銳角三角函數的定義可得出關于的等式，解之即可.【詳解】由可得或，如下圖所示，取兩函數相鄰的三個交點、、，由圖可知，等邊三角形的邊上的高為，為函數的最小正周期，即，所以，，所以，，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.化簡求值：（1）已知，計算：．（2）已知，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件得出，再利用弦化切可求得所求代數式的值；（2）利用同角三角函數的基本關系求出的值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.【小問1詳解】因為，則，所以．【小問2詳解】因為，則，，則，所以，，.16.已知函數為偶函數．（1）求的值；（2）若恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由偶函數的性質可得出，求出的值，然后驗證函數為偶函數即可；（2）利用基本不等式可求出函數的最大值，即可得出關于實數的不等式，解之即可.【小問1詳解】因為函數的定義域為，且為偶函數．則，即，解得，此時，，則，即函數為偶函數，故.【小問2詳解】因為，當且僅當時，即當時，等號成立，故函數的最大值為，因為恒成立，則，即，解得或，即實數的取值范圍是.17.如圖，玉溪匯龍歡樂世界摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為，摩天輪做逆時針勻速轉動，每轉一圈，摩天輪上的點的起始位置在最低點處．（1）已知在時刻（單位：）時點距離地面的高度是關于的函數（其中，，），求函數解析式及時點距離地面的高度；（2）當點距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，求游客在游玩一圈的過程中共有多長時間可以看到公園的全貌．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）根據題意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，進而得到函數解析式；（2）結合題意可得從最低處開始到達高度為剛好能看著全貌，經過最高點再下降至時又能看著全貌，只需讓，求解即可.【小問1詳解】由題意可知：，，，所以又，，得到，即，又摩天輪上的點p的起始位置在最低點處，即，所以，即，又，所以，故，當時，，所以時點P距離地面高度為．【小問2詳解】因為從最低處開始到達高度為剛好能看著全貌，經過最高點再下降至時又能看著全貌，由（1）知，得到，即，得到，，所以在每個周期內，，，又，所以游客在游玩過程中共有可以看到公園的全貌．18.若函數的部分圖象如圖所示．（1）求函數的解析式；（2）若當時，，求實數t的取值范圍．（3）已知，若存在非零常數λ，對任意，有成立，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據圖象可知，，即可得，再結合最值可得，即可得函數解析式；（2）利用周期得，以為整體，結合正弦函數圖象分析求解即可；（3）根據題意結合正項函數值域可得，分類討論，結合周期性和誘導公式運算求解.小問1詳解】設的最小正周期為T，且，由題圖可得，且，即，則，可得，又因為，即，且，則，可得，即，所以，小問2詳解】當時，利用周期等價于，則，若，即，則，解得，所以實數t的取值范圍為.【小問3詳解】由題意可知：，若存在非零常數λ，對任意，有成立，因為在R上的值域為，則在R上的值域為，可知，即，當時，則，可知1為的一個周期，即1為最小正周期的整數倍，可得，則（且），當時，則，可得，由誘導公式可得，可得綜上所述：當時，且；當時，．19.如圖，成都天府新區的標志性懸索橋——云龍灣大橋，其懸索形態宛如平面幾何中的懸鏈線．歷史上，萊布尼茲等人曾研究并得出了懸鏈線的一般方程，其中雙曲余弦函數尤為特殊．類似的有雙曲正弦函數，雙曲正切函數．已知函數和滿足以下條件：①；②.（1）請基于以上信息求函數和的初等函數表達式．（2）設．證明：有唯一的正零點，并比較和的大小．（3）關于x不等式對任意恒成立，求實數m取值范圍．【答案】（1），；（2）證明見解析，；（3）.【解析】【分析】（1）利用雙曲正弦函數、雙曲余弦函數的定義，結合指數運算即可；（2）化簡函數，然后由函數的單調性及零點存在定理確定零點的范圍，根據零點滿足滿足的等式變形，都化為對數函數的形式，然后由對數運算化簡函數式.即可.（3）確定函數的奇偶性和單調性，然后化簡不等式為，由由函數單調性求出的范圍，問題轉化為一元二次不等式在某個區間上恒成立，通過分類討論，求函數的最值，解不等式求范圍.【小問1詳解】根據雙曲正弦函數和雙曲余弦函數的概念，可得：，解得，；【小問2詳解】證覭由（1）知，所以，顯然在上為增函數，且g(0)=?1<0，g12=e?32>0，則在上存在唯一的實數，使，所以有唯一的正零點由，得，兩邊同時取對數得，于是，而在上是增函數，則