2024-2025學年第二學期3月六校聯合調研試題高一數學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，，若向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據平面向量共線的坐標運算求解即可.【詳解】因為，所以，解得.故選：C2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由、，結合已知即可求.【詳解】∵，∴.故選：C3.已知向量，滿足，，，夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量計算公式，可得答案.【詳解】在上的投影向量.故選：C.4.在中，若，則是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦兩角和差公式即可判斷三角形的形狀.【詳解】由于，故，從而.所以是直角三角形，故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和差的正弦公式求出，，再結合同角三角函數的基本關系變形求解即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，解得，，由同角三角函數的基本關系得，，故D正確.故選：D6.一艘船在A處，燈塔S在船正北方向，船以100海里/小時的速度向北偏東30°航行，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船南偏西75°方向上．此時燈塔S與船B之間的距離為（）海里A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意作圖，利用正弦和角公式與正弦定理，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：在中，，，，，由正弦定理可得，則.故選：A.7.如圖，在直角，，，點，是邊上兩個三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】因為，,在中，.故選：B8.在中，角所對的邊分別為，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得，由利用正弦定理邊化角結合兩角和的正弦求得，進而得，再根據利用兩角差的正弦公式結合輔助角公式得到并求值域即可.【詳解】在中，因為，所以，，所以因為，由正弦定理得,所以，即，所以,由，解得所以，所以的范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.下列化簡結果是的選項為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】逆用兩角和與差的正弦公式計算可判斷A；逆用二倍角的正弦公式可判斷B；逆用兩角和與差的正弦公式結合誘導公式計算可判斷C；與對比可判斷D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，.對于D，，故D不正確.故選：AB.10.下列命題正確的是（）A.在中，是的充要條件B.在中，角所對的邊分別為，若，則C.在中，角所對的邊分別為，若三角形有兩解，則的取值范圍為D.在中，，則為銳角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理，可得判定A正確；結合正弦定理求得，的有兩種情況可判定B錯誤；由正弦定理可得求得的取值范圍為，可判斷C正確；由正弦定理得，結合余弦定理得，可判斷D錯誤.【詳解】對于A中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，則，所以A正確；對于B中，在中，，由正弦定理知，即，得或.故B不正確；對于C，在中，，若三角形有兩解，則即故C正確；對于D，在中，，由正弦定理得，則，根據余弦定理知,所以是鈍角，故D不正確.故選：AC.11.在中，點分別滿足與相交于點，則下列說法中正確的是（）A.B若，則C.D.若外接圓的半徑為2，且，則的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】對于A，設，以向量為基底表示向量，根據共線求出即可判斷A正確；對于B，由得，再利用數量積求模即可判斷B不正確；對于C，由知分點的位置求出即可判斷C正確；對于D，由題意利用正弦定理求得得或，當時，由此判斷D不正確.【詳解】對于A，設，因為則，，由共線，得解得，所以，故A正確；對于B，由得，所以所以，故B不正確；對于C，由知是的中點，所以，，又，所以，所以，，故C正確；對于D，設的三邊分別為，依題意得，由外接圓的半徑為2，根據正弦定理得，所以，由，得或，當時，，故D不正確.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，滿足，，且，則，夾角的余弦值為________．【答案】【解析】【分析】首先根據得到，再利用夾角公式求解即可.【詳解】，解得，所以.故答案為：13.________．【答案】2【解析】【分析】利用余弦二倍角，輔助角公式和誘導公式化簡求解即可.【詳解】.故答案為：214.如圖所示，已知點是的重心，過點作直線與、兩邊分別交于、兩點，且，，則________；的最小值為________．【答案】①.②.【解析】【分析】由題可知，設，化簡得出，根據平面向量的基本定理可求出的值；由已知得出，可得出，再將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數式的最小值.【詳解】因為為的重心，延長交于點，則為的中點，且，由重心的幾何性質可知，因為、、三點共線，設，即，所以，，因為，，則，，則，因為、不共線，所以，，，則，，故，即，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，且與的夾角為.（1）求；（2）若向量，求實數的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由向量數量積定義與運算律，可得答案；（2）由向量數量積的運算律，根據垂直向量的數量積為零，可得答案.【小問1詳解】，，所以.小問2詳解】由，則，即，，即，或.16.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據給定條件，利用差角的正切公式計算得解.（2）由（1）的結論，利用齊次式法計算得解.（3）由（1）及已知求出，再確定角的范圍即可.【小問1詳解】由，得.【小問2詳解】由（1）得.【小問3詳解】依題意，，由，，得，，而，則，所以.17.如圖，在中，已知，是邊上一點，，，.（1）求的值；（2）求的長；（3）求的面積.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可.（2）首先根據題意得到，從而得到，再利用正弦定理求解即可.（3）首先利用正弦定理得到，從而得到，再利用面積公式求解即可.【小問1詳解】在中，，，，由余弦定理可得：.【小問2詳解】因為，所以，所以，在中，，，，由正弦定理可得.【小問3詳解】在中，，，所以，在中，由正弦定理可得，，所以，.18.已知函數．（1）求的周期及在上的值域；（2）已知銳角中,，且的面積為，，求邊上的中線的長．【答案】（1），（2）2【解析】【分析】（1）根據題意得到，再求周期和值域即可.（2）首先根據題意得到，根據面積公式得到，利用余弦定理得到，再根據求解即可.【小問1詳解】，因為，所以，所以，所以在上的值域.【小問2詳解】因為為銳角三角形，所以，，又，所以，即，因，所以，在中，由余弦定理得，所以，因為為邊上的中線，所以，所以，所以.即邊上的中線的長為19.我們知道，三角形中存在諸多特殊位置的點，并且這些特殊點都具備一定的特殊性質.意大利學者托里拆利在研究時發現：在三角形的三邊分別向其外側作等邊三角形，這三個等邊三角形的外接圓交于一點，該點即稱為托里拆利點（以下簡稱“點”）.通過研究發現三角形中的“點”滿足到三角形三個頂點的距離和最小.當的三個內角均小于時，使得的點即為“點”；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為“點”.試用以上知識解決下面問題:已知的內角所對的邊分別為.（1）若，則①求；②若，設點為的“點”，求；（2）若，設點為的“點”，，求實數的最小值.【答案】（1）①；②；（2）.【解析】【分析】（1）①由正弦定理，邊化角，利用兩角和的正弦公式化簡，即可求解；②由三角形面積公式及向量數量積求解；（2）由三角恒等變換可知，再設，，，，得到，結合三個余弦定理表示，和，勾股定理確定等量關系，再結合基本不