北大新世紀貴陽實驗學校2024-2025學年第二學期高一年級4月月考一、單選題（每小題5分）1.向量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量加法的三角形法則計算.【詳解】根據平面向量加法的三角形法則，可得.故選：A.2.已知復數，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用復數的運算法則化簡復數，進而可求其模長.【詳解】∴故選：3.已知是虛數單位，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復數的四則運算進行化簡，結合復數的幾何意義進行判斷即可．【詳解】.在復平面內對應的點位于第四象限.故選：D.4.已知向量,則的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】因為向量,則，故其充要條件是選D5.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，，那么該三角形解的情況為（）A.無解 B.恰有一解 C.恰有兩解 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】由三角形內角的性質得，結合的大小關系，即可判斷三角形個數.【詳解】中，則，而，，所以，顯然滿足的三角形恰有兩個.故選：C6.在中，已知，，，則的面積S為()A. B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】由已知的等式分解因式，求出b與c的關系，用c表示出b，然后根據余弦定理表示出，把a與的值代入即可得到b與c的關系式，將表示出的含c的式子代入即可得到關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，從而求得c的值，即可求得的面積.【詳解】由，得(舍去).

又根據余弦定理得:，化簡得:，

將代入可得，計算得出:或(舍去)，則，故.

由，且，可得，故的面積為.故選：A7.如圖，在中，，是上的一點，若，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】平面內三點共線的充要條件為：存在實數，使，且.求得，從而可得結果.【詳解】由，可得，所以，又三點共線，由三點共線定理，可得：，，故選C.【點睛】本題主要考查平面向量共線定理的應用，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于基礎題.8.如圖，復數z對應向量為，且|z-i|=5，則向量在向量上的投影向量的坐標為（）A. B. C.(6.5) D.【答案】D【解析】【分析】首先根據復數的幾何意義設出復數，再根據復數模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.【詳解】由題圖可知，，則，解得（舍去），所以，，則向量在向量上的投影向量為，所以其坐標為．故選：D二、多選題（每小題6分）9.在中，角，，所對的邊分別為，，，下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】分析】在選項中，由余弦定理可得正確；在選項中，由正弦定理可得結論，正確；在選項中由余弦定理整理得，可得正確；在選項中，由余弦定理可得錯誤，即可得解.【詳解】由在中，角，，所對的邊分別為，，，知：在選項中，由余弦定理得：，故正確；在選項中，由正弦定理得：，，故正確；在選項中，，由余弦定理得：，整理，得，故正確；在選項中，由余弦定理得：，故錯誤.故選：.【點睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理的應用，利用正弦定理與余弦定理進行邊角轉化，意在考查學生對定理的掌握與應用，屬于基礎題.10.已知i為虛數單位,下列命題中正確的是A.若x,,則的充要條件是B.是純虛數C.若,則D.當時,復數是純虛數【答案】BD【解析】【分析】選項A：取,滿足方程，所以錯誤；選項B：,恒成立，所以正確；選項C：取,,，所以錯誤；選項D：代入，驗證結果是純虛數，所以正確.【詳解】取,,則,但不滿足,故A錯誤；,恒成立,所以是純虛數,故B正確；取,,則,但不成立,故C錯誤;時，復數是純虛數,故D正確.故選:BD【點睛】本題考查復數有關概念的辨析，特別要注意復數的實部和虛部都是實數，解題時要合理取特殊值，屬于中檔題.11.給出下列命題，其中正確的選項有A.非零向量、滿足，則與的夾角為B.若，則為等腰三角形C.若單位向量的、的夾角為，則當取最小值時，D.若，，，為銳角，則實數的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】直接利用向量的線性運算，向量的夾角的運算，向量的模，向量的夾角運算判斷、、、的結論．詳解】解：對于：非零向量、滿足，令：，，則，，由于，如圖所示：所以四邊形為菱形，且為等邊三角形；所以，，則與的夾角為，故正確．對于：由于，所以，所以為等腰三角形，故正確．對于：若單位向量的、的夾角為，則當取最小值時，即，當時，的最小值為，故正確；對于，，，由于為銳角，所以且與不同向，即則且，故不正確．故選：．三、填空題（每小題5分）12.______.【答案】【解析】【分析】直接按向量的運算法則進行計算即可.【詳解】.故答案為：13.若等邊三角形的邊長為，平面內一點滿足，則______.【答案】-2【解析】【詳解】試題分析：以點為原點，以所在直線為軸建立直角坐標系，可得，所以，所以，所以，所以，所以.考點：向量的坐標運算.14.已知正方形的邊長為1，若，其中為實數，則______；設是線段上的動點，為線段的中點，則的最小值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】解法一：以為基底向量，根據向量的線性運算求，即可得，設，求，結合數量積的運算律求的最小值；解法二：建系標點，根據向量的坐標運算求，即可得，設，求，結合數量積的坐標運算求的最小值.【詳解】解法一：因為，即，則，可得，所以；由題意可知：，因為為線段上的動點，設，則，又因為為中點，則，可得，又因為，可知：當時，取到最小值；解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，則，可得，因為，則，所以；因為點在線段上，設，且為中點，則，可得，則，且，所以當時，取到最小值為；故答案為：；.三、解答題15.計算:(1)；(2).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根據復數的四則運算法則計算即可得到結果.【詳解】(1)(2)【點睛】本題考查復數的四則運算，屬于基礎題.16.已知平面向量，，，且.（1）求；（2）若，，求及與的夾角的大小.【答案】（1）12（2），與的夾角的大小為【解析】【分析】（1）根據的坐標運算可得答案；（2）由坐標計算出與，由向量數量積的坐標表示及向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】，，，，解得.【小問2詳解】由（1）知，，，，，，，，.，，即與的夾角的大小為.17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且．（1）求B；（2）若，且的面積為，求b.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出，從而求出；（2）由三角形面積公式求出，結合，求出，由余弦定理求出答案.【小問1詳解】，由正弦定理得，即，由余弦定理，得.因為，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以的面積為，得，由及正弦定理，得，所以.由余弦定理，得，所以.18.如圖，四邊形的三邊，對角線AC交BD于O．（1）若，求的值；（2）求的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過建系，求出的坐標，代入等式列出方程組求解即得；（2）將理解為，利用兩向量夾角的坐標公式即可求得.【小問1詳解】如圖，以為坐標原點，為軸，為軸建立直角坐標系，由題意，易得，,過點作軸于點，則,故,則又，則故得，，解得，故．【小問2詳解】由圖知，，即的余弦值為.19.在中，角的對邊分別為，已知向量與向