2017-2018學年高中數學全一冊學案湘教版選修2-2

4.1.1問題探索一一求自由落體的瞬時速度

聲預習導學J挑戰自我，點點落實

［學習目標］

1.理解并掌握平均速度的概念.

2.通過實例的分析，經歷平均速度過渡到瞬時速度的過程.

［知識鏈接］

1.一物體的位移s與時間t滿足函數關系s=F,則在時間段［1,2］內的平均速度丁=

_22-I2

答案，=n=3.

2.質點運動規律s=5+3,則在時間(3,3+中中，相應的平均速度等于

+d2+3-32-3,

答案~+d-3-6+d

［預習導引］

1.伽利略通過實驗得到的自由落體的下落距離s和時間才有近似的函數關系，其關系是三

4.9?.

2.瞬時速度

(1)在友時刻的瞬時速度即指在時刻t?+d,當d趨于0時，時間段［航益+H內的平均速度.

(2)若物體的運動方程為s=f1),則物體在任意時刻t的瞬時速度”￡)就是平均速度v(t,

cb=/」+”―/一—在d趨于o時的極限.

歹課堂講義J重點難點，個個擊破___________________________________________________________

要點一求平均速度

例1已知一物體做自由落體運動，運動的方程為4位移單位：m,時間單位：s),求：

(1)物體在力。到必+d這段時間內的平均速度

(2)物體在i=10s到1=10.1s這段時間內的平均速度.

解⑴s(1+6—s(。=(g(￡o+42—城

=gUd+-gcf,

在備到必+d這段時間內，物體平均速度為

,12

gtod~\~書d］

*￡o,d)=------------=gU+~^gd.

(2)由(1)知:to=10s,d=0.1s,

平均速度為10吐;gXO.1=10.05g(m/s).

規律方法物體的運動方程是s(t),則從r=G到的平均速度是K(r,也=

S方2—S3

tL、t\,

跟蹤演練1已知物體運動方程為sC)=2"+2力(位移單位：m,時間單位：s),求：

(1)物體在運動前3s內的平均速度；

(2)物體在2s到3s內的平均速度.

解(1)物體在前3s內的位移為：

s—s24

s(3)-s(0)=2X32+2X3-0=24(m),故前3s內的平均速度為:------------=彳=

OO

8(m/s).

(2)物體在2s到3s內的位移為

s(3)-s(2)=24-(2X22+2X2)=12(m).

c—S

故物體在2s到3s這段時間內的平均速度為1——=-----=12(m/s).

0-幺

要點二求瞬時速度

例2已知一物體做自由落體運動，s=ggd(位移單位：時間單位：s,

^=9.8m/s2).

(1)計算1從3s到3.1s,3.01s,3.001s各段時間內平均速度；

(2)求￡=3s時的瞬時速度.

解⑴當方在區間［3,3.1］時，rf=3.1-3=0.l(s),

s(3.1)—s(3)=^X3.I2—^X32=2.989(m),

-s-s2,989

］=-=29.89(m/s).

V~d-0.1

同理,當方在區間［3,3.01］時，v2=29.449(m/s),

2

當2在區間［3,3.001］時，v3=29.4049(m/s).

(2)物體在［3,3+M上的平均速度是：

\g+d2-1^X3~

s+d-s

~d~~-------------?-------------=/g(6+4

當d-C時，上式表達式值為3g,即物體在3s時的瞬時速度為3g=29.4(m/s).

規律方法平均速度即位移增量與時間增量之比

ctd—st

:,-----,而瞬時速度為平均速度在40時的極限值，二者有本質區別.

d

跟蹤演練2槍彈在槍筒中運動可以看作勻加速運動，如果它的加速度是5.0X10,m/l,槍

彈從槍口中射出時所用的時間為1.6X103s,求槍彈射出槍口時的瞬時速度.

解運動方程為5=1ar.

1,1

5at+d2一談

v[t,d)----------------

d

1￡

-ad-\~atd

d~\~Qt.

=d3=7/7d

當，趨于0時，^ad+at的極限為at.

a=5.OX105m/s2,t=l.6XIO-3s,

，槍彈射出槍口時的瞬時速度為5X1()5XL6X1()Tm/s,

即800m/s.

歹當堂檢測/當堂訓練，體驗成功___________________________________________________________

1.一質點的運動方程是s=4—2乙則在時間段［1,1+M內相應的平均速度為

()

A.2d+4B.-2d+4

C.2d—4D.—2d—4

答案D

+d2-4+2X/4d+2t/

解析K(1,d)'d=~2d-4.

2.已知物體位移s與時間力的函數關系為$=『1).下列敘述正確的是()

A.在時間段［友，友+M內的平均速度即是在,時刻的瞬時速度

B.在力=1.1,fe=1.01,益=1.001,tI=1.0001,這四個時刻的速度都與1=1時刻的速

度相等

C.在時間段M—d,詞與to+M(心0)內當，趨于。時，兩時間段的平均速度相等

D.以上三種說法都不正確

答案C

解析兩時間段的平均速度都是在加時刻的瞬時速度.

3.已知s=：g/,從3秒到3.1秒的平均速度與=.

答案3.05g

11,

_5g.3.12一歹3-

解析v=Q-]Q=3.05g

3.1—3

4.如果質點"的運動方程是s=25—2,則在時間段[2,2+M內的平均速度是.

答案8+24

解析“2,小==~2~~-.....=8+24

a

課堂小結

1.平均速度與瞬時速度的區別與聯系

平均速度是運動物體在某一段時間內位移的平均值，即用時間除位移得到，而瞬時速度是物

體在某一時間點的速度，當時間段越來越小的過程中，平均速度就越來越接近一個數值，這

個數值就是瞬時速度，可以說，瞬時速度是平均速度在時間間隔無限趨于。時的“飛躍”.

2.求瞬時速度的一般步驟

設物體運動方程為s=g則求物體在t時刻瞬時速度的步驟為：

fd—ft

(1)從t到t+d這段時間內的平均速度為“，其中Ht+4一f(e)稱為位移

的增量；

⑵對上式化簡，并令，趨于0,得到極限數值即為物體在t時刻的瞬時速

度.

h分層訓練1解疑糾偏，訓練檢測___________________________________________________________

一、基礎達標

1.設物體的運動方程S=f(?,在計算從1到1+d這段時間內的平均速度時，其中時間的

增量"()

A.d>0B.點0

C.d=0D.

4

答案D

2.一物體運動的方程是s=2巴則從2s到（2+協s這段時間內位移的增量為

()

A.8B.8+2d

C.8d+2(fD.4d+24

答案C

解析As=2(2+<y)’-2X22=8d+2d.

3.一物體的運動方程為s=3+*則在時間段［2,2.1］內相應的平均速度為()

A.4.11B.4.01C,4.0D.4.1

答案D

—3+2.12-3-22

解析V==4.1.

0.1

4.一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間I之間的方程為

s=9,則t=2時，此木塊水平方向的瞬時速度為（）

O

11

A.2B.1C.-D.-

答案c

-+At2--X22

△S88Z111、

解析

△t------獲-----=尹於上廿「°)?

5.質點運動規律s=2/+l,則從t=l到t=l+d時間段內運動距離對時間的變化率為

答案4+24

+2+l-2Xl2-l

解析=4+2d

l+d-l

6.已知某個物體走過的路程s（單位：m）是時間t（單位：s）的函數：s=—「+1.

（1）t—2到t—2.1；

⑵t=2到t=2.01；

（3）t—2到t—2.001.

則三個時間段內的平均速度分別為,,，估計該物體在力=2時的

瞬時速度為.

答案一4.1m/s—4.01m/s—4.001m/s

—4m/s

7.某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時，需在2s內完成剎車，其位移

（單位：m）關于時間（單位：s）的函數為：

s(t)=—3t3+?+20,求：

(1)開始剎車后is內的平均速度；

(2)剎車1s到2s之間的平均速度；

(3)剎車1s時的瞬時速度.

解(1)剎車后1s內平均速度

—s-s-3X13+12+-20

=—2(m/s).

(2)剎車后1s到2s內的平均速度為:

—S—S_____

匕=2^1

—3X23+2?+——3x1+12+

1

=-18(m/s).

(3)從方=1s至I」1=(l+由s內平均速度為：

—s+d—s_____

八=萬

一+d4+d2+20-TXl+R

=d

=-ld-8?Td=30)

a

即t=ls時的瞬時速度為一7m/s.

二、能力提升

8.質點材的運動方程為s=2—-2,則在時間段[2,2+△打內的平均速度為()

A.8+2△tB.4+2At

C.7+2AtD.-8+2At

答案A

.△S+△[2_2_2一

斛析=8+2△t.

9.自由落體運動的物體下降的距離力和時間力的關系式為則從t=0至Ur=l時間

段內的平均速度為,在t=l到t=l+△力時間段內的平均速度為________,在t=

1時刻的瞬時速度為.

答案5gg+^gAtg

6

I^xi2-^xo2

解析-----匚不----=]g

消+At2

—二吟gAt.

當AL0時，Q由△tfg.

10.自由落體運動的物體下降距離方和時間t的關系式為力=上^2,1=2時的瞬時速度為19.6,

則g=?

答案9.8

1,21c2

5g+△t---^X2]

解析----------t-------書&t.

當At-0時，2g+*Atf2g.

.*.2^=19.6,g=9.8.

11.求函數s=2/+力在區間⑵2+d]內的平均速度.

解,/As=2(2+d)2+(2+^-(2X22+2)=9d+2d,

△s

平均速度為=7=9+2d

a

12.甲、乙二人平時跑步路程與時間的關系以及百米賽跑路程和時間的關系分別如圖①、②

所示.問：

(D甲、乙二人平時跑步哪一個跑得快？

(2)甲、乙二人百米賽跑，快到終點時，誰跑得快(設As為s的增量)？

①②

解(1)由題圖①在(0,“時間段內，甲、乙跑過的路程S，P〈SS故有?〈年即在任一時間段

(0,句內，甲的平均速度小于乙的平均速度，所以乙比甲跑得快.

(2)由題圖②知，在終點附近"一，力)時間段內，路程增量As乙》As%所以當然為即

aa

快到終點時，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快.

三、探究與創新

13.質量為10kg的物體按照s(t)=3t2+t+4的規律做直線運動，求運動開始后4秒時物

體的動能.

s—s

解

△t

t+2++4—2+4+

=3At+25,

△t

當At-0時，3A25-25.

即4秒時刻的瞬時速度為25.

.?.物質的動能為*/=310X252=3125(J)

4.1.2問題探索——求作拋物線的切線

h預習導學挑戰自我，點點落實

［學習目標］

理解并掌握如何求拋物線的切線.

［知識鏈接］

1.設函數尸/Kx),當自變量x由加改變到x0+d時，函數的改變量為.

答案/■(*。+中一/Xx。)

2.函數在％=1處的切線斜率k=.

Ay+△x-—1"

答案—―——L=2+△L2(AL0).

Ax△x

［預習導引］

求曲線上點一處切線斜率的方法

設P(u,/Xu))是函數y=f(x)的曲線上的任一點，則求點。處切線斜率的方法是：

⑴在曲線上取不同于一的點0(u+d,/'(〃+中)，計算直線制的斜率k(u,d)=

fu+d—fu

d?

(2)在所求得的閭的斜率的表達式Hu,近中，讓d趨于0,如果k(u,d)趨于確定的數值k⑺,

則以就是曲線在。處的切線斜率.

尹課堂講義i重點難點，個個擊破___________________________________________________________

要點一有關曲線的割線斜率的探索

8

例1點尸(3,9)為拋物線尸f上的一點，4(1,1),4(2,4),4(4,16),4(5,25)為拋物線

上另外四點.

⑴分別求割線9，PAz,PA?必$的斜率；

(2)若用刖，烯為曲線上異于〃的動點，當4逐漸向P趨近時，說明割線斜率的變化情

況.

1—94—9

解(1)*勺===4,*啊===5,

16-925-916

"啊=口"=7,4飛=缶=^=萬=8.

⑵當力沿曲線趨近于2點時，施的值趨近于3,不妨設刖=3+"(40),當x°f3時，d/0,

2__9

則kpA—T=AO+3=(3+#+3=6+4

xo—3

當“一0時，56,表明隨力點無限趨近于R割線用的斜率無限趨近于6.

規律方法割線向切線逼近的過程是從有限到無限的過程，也是d趨于0的過程，這一過程實

現了從割線到切線質的飛躍.

跟蹤演練1已知點/(小，yi),B〈xz,㈤為函數曲線上兩不同點.

(1)當小=1,及=2時，求七招

(2)求當汨=照，怒=xo+d時，力、占兩點連線斜率左小

q,/、fx-i-fx\23—I3

解(1)岫=—*77~=7?

X2~Xi2—1

/c\zfX2-fX\

k=：

(2)Ali---------X-L--X--\------

照+dB—總

3x：d+3施4+/

d

=3x：+3xod+d.

要點二有關切線方程的探索

例2已知曲線方程為y=f(x)=f+2x,求曲線在點〃(1,3)處的切線方程.

解/、(照+d)-/、(照)=F(1+中一F(l)

=(l+^3+2(l+^-(l3+2Xl)

=3d+3/+/+2d

=5d+3/+/

則雇1,劣=網土"=5+3什/

d

當仆0時，XI)=5,

則切線方程為廠-3=5(x-l)即5x-y-2=0.

規律方法求曲線上點(用，㈤處切線方程的步驟：

(1)求割線斜率；(2)求切線斜率；(3)求切線方程.

跟蹤演練2求y=F(x)=/-1在x=l處的切線斜率及切線方程.

解f(x?+d)—f(xo)=f(l+"-f(l)=(1+而2—1—(f—1)=4+2d,

(f+2d,、

j=d+2f2，

d

即在x=l處切線斜率為2.

；/W=0,

.??切線方程為y=2(x—1),

即2x—y—2=0.

要點三求切點坐標

例3在曲線了=4步上求一點尸使得曲線在該點處的切線分別滿足下列條件：

(1)平行于直線/=犬+1;

⑵垂直于直線2x—16y+1=0；

(3)傾斜角為135°.

解設/10=4x2且P點坐標為(u,〃力).在曲線上取另一點Hu+4)，計算直線

國的斜率

,..fu+d—fu

k{u,d)=--------------------------

在所求得的斜率表達式中讓d趨于0,表達式趨于8u,所以。點處切線斜率為8u.

(1)因為切線與直線y=x+l平行，所以8u=l.

1.,1

即七*'

⑵因為切線與直線2x-16y+l=0垂直，

2

所以8〃?(一一7T)=-1,

-16

?J=-1.

o

.??〃=—1,F(u)=4,即P(—1,4).

(3)因為切線傾斜角為135°,所以8u=tan135°=-1,

10

11

-/力

^7=

U=-0\

16

即*于m

規律方法解答此類題目，切點橫坐標是關鍵信息，因為切線斜率與之密切相關.同時應注

意解析幾何知識的應用，特別是直線平行、垂直、傾斜角與斜率關系等知識.

跟蹤演練3在拋物線上求一點只使點尸到直線5的距離最小.

解設一點坐標為(“，人力)，在拋物線上另取一點0(u+d,f(u+中).

直線產。的斜率

fu+d-fu

k(u,d)—

d

u+d2

'=2u+d,

在所求得的斜率表達式中讓d趨于0,表達式趨于2u,

所求過戶點處切線斜率為2u,當過。點的切線與直線y=4x—5平行時，一點到直線尸4%一

5的距離最小,

所以2u=4,u—2.

?"點在拋物線了=/上，??.f(u)=4,

二所求于點坐標為⑵4).

r當堂檢測J當堂訓練，體驗成功

i.一物體作勻速圓周運動，其運動到圓周4處時()

A.運動方向指向圓心。

B.運動方向所在直線與力垂直

C.速度與在圓周其他點處相同

D.不確定

答案B

2.若已知函數Ax)=2/-1的圖象上的一點(1,1)及鄰近一點(1+41+△_/),則學等于

d

()

A.1B.2+dC.4+2dD.4+d

答案C

△y+d"-1—

解析+=------------[-----------=4+2d

da

3.過曲線尸2'上兩點(0,1),(1,2)的割線的斜率為

答案1

解析由平均變化率的幾何意義知，衣=m=L

4.已知函數f(x)=-/+萬的圖象上一點(一1,—2)及鄰近一點(-1+4-2+Ay),則：

a

解析△y=F(—1+中——1)

=一(-1+近2+(-1+初一(-2)

=—4+34

.Ay一7+34

??~;=~d-v6.

da

答案一d+3

課堂小結

1.求曲線尸f(x)上一點(照,㈤處切線斜率的步驟

(1)作差求函數值增量Xy,即/"(而+"一〃劉).

(2)化簡用M與d表示化簡結果.

d

(3)令公0,求，的極限即所求切線的斜率.

2.過某點的曲線的切線方程

要正確區分曲線“在點(〃，，)處的切線方程”和“過點2,力的切線方程”.前者以點(小

。為切點，后者點可能在曲線上，也可能不在曲線上，即使在曲線上，也不一定是切點.

3.曲線的割線與切線的區別與聯系

曲線的割線的斜率反映了曲線在這一區間上上升或下降的變化趨勢，刻畫了曲線在這一區間

升降的程度，而曲線的切線是割線與曲線的一交點向另一交點逼近時的一種極限狀態，它實

現了由割線向切線質的飛躍.

#分層訓練J解疑糾偏，訓練檢測___________________________________________________________

一、基礎達標

1.已知曲線了=2￡上一點4(1,2),則/處的切線斜率等于()

A.2B.4

C.6+6d+2dD.6

答案B

12

2.已知曲線2上的一點〃(1,-|),則過點尸的切線的傾斜角為()

A.30°B.45°

C.135°D.165°

答案B

3.如果曲線尸2V+x+iO的一條切線與直線尸5x+3平行，則切點坐標為

()

A.(-1,-8)B.(1,13)

C.(1,12)或(-1,8)D.(1,7)或(-1,-1)

答案B

4.曲線/二次芻在點尸(3,1)處的切線斜率為()

11

A.—~B.0C.D.1

答案C

解析+A.-V-2-VE2

△X

“△x+1-l1

當△%-*0時，/1——

[Ax+1+l2

5.若曲線y=f+l在曲線上某點處的斜率為2,則曲線上該切點的坐標為,

答案(1,2)

6.曲線y=f+2在點尸(1,3)處的切線方程為.

答案2A~7+1=0

當ALO時，Ax+2-2.

所以曲線y=x+2在點A1,3)處的切線斜率為2,其方程為了-3=2(>-1).

即為2x—y+l=O.

7.拋物線尸產在點月處的切線與直線2x—y+4=o平行,求點尸的坐標及切線方程.

解設點P(劉，珀，

f照+d-fXo施+d’—武

,——d\2Ab,

ad

0時，d+2x()f2照.

拋物線在點〃處的切線的斜率為2的，

由于切線平行于2x—y+4=0,??.2照=2,照=1,

即一點坐標為（1,1）,

切線方程為y—1=2（*—1）,即為2x—y—1=0.

二、能力提升

8.曲線了=一：在點（1,一1）處的切線方程為（）

A.y=x~2B.y=x

C.y=x+2D.y=-x—2

答案A

------1----——1—1—1

Ax+11Ax+11

解析

△x△xAx+1

當“一0時，77+7-1.

曲線尸—：在點（1,—1）處的切線的斜率為1,切線方程為y+l=lX（x—1）,即y=x-2.

9.曲線/"（x）=x2+3x在點4（2,10）處的切線的斜率為.

答案7

+△x2++Ax-'+

當Ax-0時.，△x+7-7,

所以，/Xx）在/處的切線的斜率為7.

10.曲線/'（x）=f+3x在點力處的切線的斜率為7,則/點坐標為—

答案（2,10）

解析設｛點坐標為（新，必+3照）,

?.f%o+△X—fXQ

則--------------------

照+△x'+施+△x——+3十

卜X

=△矛+（2冊+3）,

當Ax-＞。時，Ax+（2施+3）f2照+3,

，2弱+3=7,???施=2.

/+3照=10./點坐標為（2,10）.

11.已知拋物線尸V+i,求過點以0,0）的曲線的切線方程.

解設拋物線過點〃的切線的切點為。（照，/+1）.

14

XQ+△X2+1—■+

則.—△X+2XQ.

bx

△xf0時，△x+2x°f2xo.

.總+1—0

=2施,??.施=1或照=—1.

Ab—0

即切點為（1,2）或（一1,2）.

所以，過AO,0）的切線方程為y=2x或y=-2x.即2x一尸=0或2%+尸0.

三、探究與創新

12.直線/：y=x+a（aW0）和曲線Gy=f-/+］相切，求切點的坐標及8的值.

解設切點力（即，㈤，

Ab+dAb+d"+1-Ab-總+

d

3總d+3的d(f—2x()d-(f

d

=3右—2照+(3選—1)d+/f3/一2照(d~*0).

故曲線上點A處切線斜率為3/-2照，???3'一2胸=1,

.,.Ab=l或Xo=—代入。的方程得

o

1

照=1,為=一不

或代入直線7,

Jb=123

|/。=近

1

施=1,32

當時，a=0（舍去）,當《時，a=—,

乂）=123

即切點坐標為（一；，a=||.

力乙/乙/

4.1.3導數的概念和幾何意義

，預習導學J挑戰自我，點點落實

［學習目標］

1.理解并掌握導數的概念，掌握求函數在一點上的導數的方法.

2.理解導數的幾何意義.

［知識鏈接］

曲線y=F（x）在點P（x。,以施））的切線與導數的關系.

答函數/Xx）在點刖處有導數，則在該點處函數/"（X）的曲線必有切線，且導數值是該切線

的斜率；但函數Hx）的曲線在點X。處有切線，而函數f（x）在該點處不一定可導，如f{x）=,

在x=0處有切線，但它不可導.即若曲線y=f（x）在點。（粉f（劉））處的導數f（揚）不存

在，但有切線，則切線與x軸垂直.若產（施）存在，且F（旗）＞0,則切線與x軸正向夾角

為銳角；f'UXO,切線與x軸正向夾角為鈍角；f（的）=0,切線與x軸平行.

［預習導引］

1.函數在自變量的某個區間上的平均變化率

函數Ax）在x=〃處步長為d的差分為f（〃+中一代力，差商為/”+?”一?U，它表示

函數在自變量的某個區間上的平均變化率,它反映了自變量在某個范圍內變化時，函數值變

化的總體的快慢.

2.導數的概念

設函數f（x）在包含刖的某個區間上有定義，如果比值/劉+”丁劉在d趨于0時（小0）

趨于確定的極限值,則稱此極限值為函數/'（王）在入=而處的導數或微通，記作f（加,上述

定義可簡述為/照+d_/x。__y（荀）（.0）,

d

當劉是f（x）的定義區間中的任意一點，所以也可以就是X,而f（x）也是X的函數，叫作

/Xx）的導函數或一階導數.

limfx+d_fx

有時也可記作f(%)=df()~d

3.導數的幾何意義

函數Hx）在照處的導數（圍）的幾何意義是曲線Mx）在點（照，Hx。））處的切線的斜率.

聲課堂講義J重點難點，個個擊破

要點一導數的概念

例1設函數/"（x）（xeR）可導，則當d趨于0時，~乜F——趨于（）

3（7

A.f（1）B.3r（1）C.（1）D.f（3）

o

答案c

解析原式「——，當d趨于OB寸，f+"?―,'——趨于F（l）.

oda

16

故原式趨于(1),故選c.

規律方法在利用導數定義求函數在某點處導數值時，往往采用湊項的方法湊成定義的形式

再解決.

跟蹤演練1已知/'(x)在XGR時處處可導，若F(1)=1,則M0時，工~——

a

的值為()

A.1B.2C.f(2)D.f(1)

答案B

耍點二求函數某一點處的導數

例2已知f{x)求f(1).

X

1___

1+d1—-d—1

AZ,f+d

解--------T~~d-+drf=T+?

-1

由于…。時;故f(1)=-1.

1-ra

規律方法差分式化成分子和分母極限都在的情形(但分母極限不能為0),如果分母極限為

0,則從分母中分離出導致分母趨于0的因式，與分子約分消去，便可得出正確結論.

跟蹤演練2己知f(x)=F(x>0),求F(1).

f+d_fW+d-1________d1

dddyjl+d+'yjl+d+1'

當公。時'/瓦rT故F⑴+

要點三求函數的導函數

4

例3求函數“*)="7的導函數/(x),并求/(2).

X

44

fx+d-fx______x+d-I_4dx+d_—x+d

dd殳x+d2/x+d

d

x+d

當公0時,

x+d

o

即/(x)=--3.：.f'(2)=-l.

x

規律方法求某一點劉處的導數值一(加)，可先求出導函數F(*),再賦值求解￡(劉).

跟蹤演練3求函數4)=出的導函數/(x)及尸(1).

-7~x+d—~~X

x-\~ax

=d

—d,

xx+d1

d1xx+d'

當d-*0時，1--------1—3,

xx+dx

:(x)=l-:?f(1)=1—p=0.

要點四利用導數求切線方程

例4已知曲線Gy=x,

⑴求曲線C在點(1,1)處的切線方程，

⑵求過點(1,0)且與曲線。相切的直線的方程.

,、fx+d-fxx+d=殳八

解⑴--------7------------=---------7--------=2才+d.

aa

當d-0時，2x+M2x,

：.f(x)=2x,f(1)=2,

???曲線尸?在(i,i)處的切線方程為

p—l=2(x—1),即2x—y—1=0.

(2)點(1,0)不在曲線上.

設過點(1,0)與曲線C相切的直線其切點為(照，者)，

則切點處的斜率為2照.切線方程為y—/=2照(王一照)(*)

又因為此切線過點(1,0).

*'?-Ao=2Ab(1—Ab)>解得旗=0或即=2,

代入(*)式得過點(1,0)與曲線c：p=V相切的直線方程為尸：0或4x—y—4=0.

規律方法本題主要考查了導數的幾何意義以及直線方程的知識，若求某點處的切線方程，

此點即為切點，否則除求過二次曲線上的點的切線方程外，不論點是否在曲線上，均需設出

切點.

9

跟蹤演練4求曲線f(x)=-在點(-2,—1)處的切線的方程.

x

9

解由于點(一2,—1)恰好在曲線/'(x)=-上，

x

18

2

所以曲線在點(一2,—1)處的切線的斜率就等于函數/*(x)=］在點(-2,—1)處的導數.

2

lim-2+產limii

=""d—=""-2+-=~29

故曲線在點(一2,—1)處的切線方程為y+l=-](x+2),

整理得x+2y+4=0.

歹當堂檢測I當堂訓練，體驗成功___________________________________________________________

1.f(x)在x=x。處可導,則融//'"()

A.與施、方都有關

B.僅與及有關，而與//無關

C.僅與人有關，而與的無關

D.與施、均無關

答案B

2.若/'(xo)一『(加一"=2揚"+(/,下列選項正確的是()

A.f(x)=2B.f(x)=2x°

C.f'(屈)=2加D.f(x°)=d+2的

答案C

3.己知函數『/"(x)圖象如圖,則/(必)與f(弱)的大小關系是()

A.f(xi)>f(xtf)

B.f(x^<f(x)

C.f3=f(XB)

D.不能確定

答案A

4.在曲線Ax)=f+x上取一點P(l,2),則在區間［1,1+M上的平均變化率為—

在點以1,2)處的導數f(1)=.

答案3+d3

課堂小結

1.求導數的步驟主要有三步:

(1)求函數值的增量：△曠=汽加+中一”和)；

Ayf-+d-f蜀

⑵求平均變化率:

lim△Y

⑶取極限:f(加)=，…w

2.導數的幾何意義

(D對于函數y=f(x)在X。處的導數是表示在的處函數值變化快慢的一個量，其幾何意義為

在*=加處的切線的斜率.

(2)/(x)是指隨x變化，過曲線上的點(x,/"(X))的切線斜率與自變量x之間的函數.

h分層訓練1解疑糾偏，訓練檢測__________________________________________________

一、基礎達標

1.設f(選)=0,則曲線y=f(x)在點(施，F(x。))處的切線()

A.不存在B.與x軸平行或重合

C.與x軸垂直D.與x軸斜交

答案B

2.己知函數尸f(x)的圖象如圖，則￡(的)與F(X,)的大小關系是()

XBXAX

(^)>/(a)B.f(x〃)

C.f(Xl)=f(xjD.不能確定

答案B

解析分別作出/、8兩點的切線，由題圖可知即，(煬＞￡(也).

3.已知曲線了=2/上一點加2,8),則在點4處的切線斜率為()

A.4B.16C.8D.2

解析在點｛處的切線的斜率即為曲線y=2f在x=2時的導數，由導數定義可求V=4x,

：.f(2)=8.

答案C

4.已知函數/Xx)在x=l處的導數為3,則/'(x)的解析式可能為()

A.f(x)=(x—l)'+3(x—1)

B.f(x)=2(x—1)

C.Ax)=2(x-1)2

20

D.f{x)=x~1

答案A

解析分別求四個選項的導函數分別為，(x)=2(x-l)+3；f(x)=2；f(入)=45—1)；

f(x)=L

5.拋物線尸f+x+2上點(1,4)處的切線的斜率是,該切線方程為..

答案33LF+1=0

解析△/=(1+由'+(1+功+2—(1'+1+2)=3d+d,故y'L=i=lijjo-

lrfi-*mO(3+1=3.

???切線的方程為y-4=3(x-l),

即3x—y+1=0.

6.若曲線尸步一1的一條切線平行于直線p=4x—3,則這條切線方程為.

答案4x—y—5=0

2

,/、limyx+d-fxlimx+d-l-

解析t(x)=d>>'-----------------=d*0----------------------

lin12xd+dlim,k

=d>0---;—=d>0(2x+a)=2x.

d

設切點坐標為(旗，㈤，則由題意知/(照)=4,即2照=4,?，.照=2,代入曲線方程得為=3,

故該切線過點(2,3)且斜率為4.所以這條切線方程為y-3=4(x—2),即4%-y-5=0.

7.求曲線在點(3,27)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積.

limf+d—f

解??"，(3)=八。--_--

lim+，3-3：ilim*,、

=d------------=d,(/+9