高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)經(jīng)典易錯題會診與試題預(yù)測

（上）

目錄

考點(diǎn)1集合與簡易邏輯

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1集合的概念與性質(zhì)

命題角度2集合與不等式

命題角度3集合的應(yīng)用

命題角度4簡易邏輯

命題角度5充要條件

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1集合的運(yùn)算

預(yù)測角度2邏輯在集合中的運(yùn)用

預(yù)測角度3集合的工具性

預(yù)測角度4真假命題的判斷

預(yù)測角度5充要條件的應(yīng)用

考點(diǎn)2函數(shù)（一）經(jīng)典易錯題會診

命題角度1函數(shù)的定義域和值域

命題角度2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

命題角度3函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用

命題角度4反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式

預(yù)測角度2綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)進(jìn)行命題

預(yù)測角度3反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合

考點(diǎn)3函數(shù)（二）

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用

命題角度2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用

命題角度3函數(shù)的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的問題

預(yù)測角度2三個“二次”的綜合問題

預(yù)測角度3含參數(shù)的對數(shù)函數(shù)與不等式的綜合問題

考點(diǎn)4數(shù)列

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1數(shù)列的概念

命題角度2等差數(shù)列

命題角度3等比數(shù)列

命題角度4等差與等比數(shù)列的綜合

命題角度5數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合

命題角度6數(shù)列的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1數(shù)列的概念

預(yù)測角度2等差數(shù)列與等比數(shù)列

預(yù)測角度3數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和

預(yù)測角度4遞推數(shù)列與不等式的證明

預(yù)測角度5有關(guān)數(shù)列的綜合性問題

預(yù)測角度6數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

預(yù)測角度7數(shù)列與圖形

考點(diǎn)5三角函數(shù)

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

命題角度2三角函數(shù)的恒等變形

命題角度3三角函數(shù)的綜合應(yīng)用探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

預(yù)測角度2運(yùn)用三角恒等變形求值

預(yù)測角度3向量與三角函數(shù)的綜合

考點(diǎn)6平面向量

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1向量及其運(yùn)算

命題角度2平面向量與三角、數(shù)列

命題角度3平面向量與平面解析幾何

命題角度4解斜三角形

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1向量與軌跡、直線、圓錐曲線等知識點(diǎn)結(jié)合

預(yù)測角度2平面向量為背景的綜合題

考點(diǎn)7不等式

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1不等式的概念與性質(zhì)

命題角度2均值不等式的應(yīng)用

命題角度3不等式的證明

命題角度4不等式的解法

命題角度5不等式的綜合應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1不等式的概念與性質(zhì)

預(yù)測角度2不等式的解法

預(yù)測角度3不等式的證明

預(yù)測角度4不等式的工具性

預(yù)測角度5不等式的實(shí)際應(yīng)用

考點(diǎn)8直線和圓

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1直線的方程

命題角度2兩直線的位置關(guān)系

命題角度3簡單線性規(guī)劃

命題角度4圓的方程

命題角度5直線與圓

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1直線的方程

預(yù)測角度2兩直線的位置關(guān)系

預(yù)測角度3線性規(guī)劃

預(yù)測角度4直線與圓

預(yù)測角度5有關(guān)圓的綜合問題

考點(diǎn)9圓錐曲線

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1對橢圓相關(guān)知識的考查

命題角度2對雙曲線相關(guān)知識的考查

命題角度3對拋物線相關(guān)知識的考查

命題角度4對直線與圓錐曲線相關(guān)知識的考查

命題角度5對軌跡問題的考查

命題角度6考察圓錐曲線中的定值與最值問題

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1橢圓

預(yù)測角度2雙曲線

預(yù)測角度3拋物線

預(yù)測角度4直線與圓錐曲線

預(yù)測角度5軌跡問題

預(yù)測角度6圓錐曲線中的定值與最值問題

考點(diǎn)10空間直線與平面

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1空間直線與平面的位置關(guān)系

命題角度2空間角

命題角度3空間距離

命題角度4簡單幾何體

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1利用三垂線定理作二面角的平面角

預(yù)測角度2求點(diǎn)到面的距離

預(yù)測角度3折疊問題

考點(diǎn)11空間向量

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1求異面直線所成的角

命題角度2求直線與平面所成的角

命題角度3求二面角的大小

命題角度4求距離

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1利用空間向量解立體兒何中的探索問題

預(yù)測角度2利用空間向量求角和距離

考點(diǎn)12排列、組合、二項(xiàng)式定理經(jīng)典易錯題會診

命題角度1正確運(yùn)用兩個基本原理

命題角度2排列組合

命題角度3二項(xiàng)式定理

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1在等可能性事件的概率中考查排列、組合

預(yù)測角度2利用二項(xiàng)式定理解決三項(xiàng)以上的展開式問題

預(yù)測角度3利用二項(xiàng)式定理證明不等式

考點(diǎn)13概率與統(tǒng)計

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1求某事件的概率

命題角度2離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

命題角度3統(tǒng)計探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1與比賽有關(guān)的概率問題

預(yù)測角度2以概率與統(tǒng)計為背景的數(shù)列題

預(yù)測角度3利用期望與方差解決實(shí)際問題

考點(diǎn)14極限

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1數(shù)學(xué)歸納法

命題角度2數(shù)列的極限

命題角度3函數(shù)的極限

命題角度4函數(shù)的連續(xù)性

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

預(yù)測角度2數(shù)列的極限

預(yù)測角度3函數(shù)的極限

預(yù)測角度4函數(shù)的連續(xù)性

考點(diǎn)15導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

命題角度2導(dǎo)數(shù)兒何意義的運(yùn)用

命題角度3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義

預(yù)測角度2利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性

預(yù)測角度3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最

考點(diǎn)16復(fù)數(shù)

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1復(fù)數(shù)的概念

命題角度2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用

預(yù)測角度2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及運(yùn)算

答案與解析

答案與解析

考點(diǎn)-1

集合與簡易邏輯

YTCUOTITANJIUTIKAIFANGTI

集合的概念與性質(zhì)集合與不等式

集合的應(yīng)用簡易邏輯

充要條件集合的運(yùn)算

邏輯在集合中的運(yùn)用集合的工具性

真假命題的判斷充要條件的應(yīng)用

經(jīng)典易錯題會診

命題角度1集合的概念與性質(zhì)

1.（典型例題）設(shè)全集U=R,集合M={xlx>l},P={xlx2>l）,則下列關(guān)系中正確的是（）

A.M=PB.PcM

C.MuPD.CuMAP=0

［考場錯解］D

【專家把脈］忽視集合P中，x<-l部分.

［對癥下藥］C；x2>l；.X>1或xV-1.故MuP.

2.（典型例題）設(shè)P、Q為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a+blaeP,beQ）,若P{0,2,5）,Q=

{1,2,6},則P+Q中元素的個數(shù)是（）

A.9B.8

C.7D.6

［考場錯解］AP中元素與Q中元素之和共有9個.

［專家把脈］忽視元素的互異性，即和相等的只能算一個.

［對癥下藥］BP中元素分別與Q中元素相加和分別為1,2,3,4,6,7,8,11共8個.

3.(典型例題)設(shè)f(n)=2n+l(neN),P={1,2,3,4,5),Q={3,4,5,6,7},記戶={neNlf(n)eP),Q=

(neNlf(n)e

貝I」（戶CCN。）UCOCCN戶）等于（）

A.{0,3}B.{1,7}

C.{3,4,5}D.{1,2,6,7）

［考場錯解］DPCCNQ={6,7}.QPCNP={1,2}.故選D.

［專家把脈］未理解集合戶的意義.

［對癥下藥］B?.*p={1,3,5）.Q={3,5,7）.pncNg={i}.pncNe=⑺.故選B.

4.（典型例題）設(shè)A、B為兩個集合，下列四個命題：

①A8=對任意*日4有*任B；②AB=ADB=。;③AB<=>AB;④AB=存在xeA,使得x任B.

其中真命題的序號是.

［考場錯解］VAB,即A不是B的子集，對于xwA,有x紀(jì)B;AHB=0,故①②④正確.

［專家把脈］對集合的概念理解不清.YAB,即A不是B的子集，但是A,B可以有公共部分，即存

在xeA,使得x任B.不是對任意xeA^XeB,故④正確."AB"是"任意xeA,有x《B”的必

要非充分條件.②同①.

［對癥下藥］畫出集合A,B的文氏圖或舉例A={1,2},B={2,3,4）,故①、②均不成立，③A{1,

2,3},B={1,2},，AB但BgA,故也錯.只有④正確，符合集合定義.故填④

5.(典型例題I)設(shè)A、B、1均為非空集合，且滿足AaBaL則下列各式中錯誤的是()

A.(GA)UB=I

B.(GA)U(C|B)=I

C.An(CiB)=0

D.(C,A)n(C,B)=C,B

［考場錯解］因?yàn)榧螦與B的補(bǔ)集的交集為A,B的交集的補(bǔ)集.故選D.

［專家把脈］對集合A,B,I滿足AgBsl的條件，即集合之間包含關(guān)系理解不清.

［對癥下藥］如圖是符合題意的韋恩圖.

從圖中可觀察A、C、D均正確，只有B不成立.或運(yùn)用特例法，如人={1,2,3),B={1,2,3.4},

1={1,2,3,4,5).逐個檢驗(yàn)只有B錯誤.

專家會診

1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的

集合{xlxeP},要緊緊抓住豎線前面的代表元素X以及它所具有的性質(zhì)P;要重視發(fā)揮圖示法的作用，充分

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合(數(shù)軸，坐標(biāo)系，文氏圖)或特例法解集合與集合的包含關(guān)系以及集合的運(yùn)算問題，直觀地解

決問題.

2.注意空集。的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AuB,則

有A=0或A#。兩種可能，此時應(yīng)分類討論.

考場思維訓(xùn)練

1全集U=R,集合M={1,2,3,4},集合則Mfl(CuN)等于()

A.{4}B.{3,4}

C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

答案：B解析：由得N=(rlxvVl}+l,aN=klxMV^+lb.Mc(CuN)={3,4}

2設(shè)集合M={xlx=3m+Lm￡Z},N=yly{=3n+2,nGZ},若XoGM,y()GN,則x。4與集合M,N的關(guān)

系是()

A.xoyoGMB.xoyogMMM

C.xoyoeND.xoyogN

答案：C解析：；

X。wM，xo=3ni+1,yowNyo=3n+2,.,.x0yo=(3m+1)(3〃+2)=9mti+6m+3〃+2=3(3""?+2加+〃)+2wM故選C.

3設(shè)M={xlx4a,aeR},N={yly=3x,xER},則()

A.MDN=0B.M=N

C.Mz)ND.MuN

答案：B解析：M=>Ix=4",a￡/?}=M={xIx>0}={yIy>0}=N.選8

4已知集合人={0,2,3},B={xlx=ab,a.b￡A且aWb},則B的子集的個數(shù)是()

A.4B.8C.16D.15

答案：解析：?.,8二{0,6},它的子集的個數(shù)為2?=4。

5設(shè)集合M={(x,y)lx=(y+3)?ly-ll+(y+3),-；WyW3},若(a,b)eM,且對M中的其他元素(c,d),

總有c^a,則a=.

答案：解析：依題可知，本題等價于求函數(shù)不勝數(shù)x二f(y)=(y+3)JyT|+(y+3)在-W3時的最小值.

(1)當(dāng)_g4yK1時=(y+3)(1-y)+(y+3)=-y2-y-6=-(y+^)2+■，所以)，=■時,工巾而=

1WyW3時，

x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y+3y=(y+-y-一，所以當(dāng)),=1時,/加=4.而4a'，因此當(dāng)y=-二時，%有最小值一，即。=

244244

命題角度2集合與不等式

1.(典型例題)集合A={X|￡|YO卜B={xlx-bl〈a=,若"a=l”是“ACBW0”的充分條件，則b

的取值范圍是()

A.-2Wb<2B.-2<bW2

C.-3<b<-lD.-2<b<2

［考場錯解］A當(dāng)a=1時，人=3-1<*<1=且B={xlb-l<x<b+l=.AAB#0bl<1且b+1》-［.故

-2Wb<2....只有A符合.

［專家把脈］AHBW0時，在點(diǎn)-1和1處是空心點(diǎn)，故不含等于.

［對癥下藥］D當(dāng)a=l時，A={xl-l<x<l=.B={xlb-l<x<b+l=.此時ACBW0的充要條件是b-1

VI且b+l>-L即-2Vb<2.故只有D符合.

2.(典型例題)(1)設(shè)集合A={xl4x-129,xGR),B={xl-5=0,xGR},則ACB=.

x+3

［考場錯解］{xlxW-3或x》』}.

2

［專家把脈］—20,x(x+3)20.而此時X+3W0.故不含x=-3.

x+3

［對癥下藥］A={xlxW-3或x22}.B={xlx-3或x20}.二AAB=W-3或x》*}.

22

3.(典型例題)己知f(x)=^a(xGR)在區(qū)間［-1,1］上為增函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a的值所組成的集合A；

(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=L的兩根為"X2,試問：是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+l》lx「X2l對任

X

意adA及恒成立?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

［考場錯解］(1)因?yàn)閒(x)=M*(x￡R),所以f(x)=-2”+2“：+4,依題意f(x)20在［一1,1］上恒成立，

即2x2-2ax-4W0在［?1,1］上恒成立.

當(dāng)x=0時，a￡R;當(dāng)OVxWl時、a2x?2恒成立，又y=x?2在(0,1)上單調(diào)遞增，所以y=x?2的最大

XXX

值為-1,得a2-l,當(dāng)-lWx<0時x-2恒成立，由上知aWl.綜t：a^R(注意應(yīng)對所求出的a的范圍求交集).

X

222

⑵方程f(x)=~!■變形為x-ax-2=0JxrX2l=7?+8，又/lxi-x2l=+8的取大值為3,m+tm4-l

x

2僅|為1對任意a￡A及［-1,1］恒成立等價于m?+tm+l23在［-1,1］恒成立，當(dāng)m=0時，顯然不成

立當(dāng)m>0時，t)”絲■恒成立，所以-12口-,解得m22；當(dāng)m<0時,tW口-恒成立,所以1W，

mmmin

解得mW-2.

綜上：故不存在實(shí)數(shù)m,使得不等式rr^+tm+l2lxrX2l對任意a￡A及t￡［-l,1］恒成立.

［專家把脈］(1)討論x求參數(shù)的范圍，最后應(yīng)求參數(shù)的交集而不是并集.因?yàn)閤￡［-L1］時,f(x)20恒

成立.(2)注意對求出的m的值范圍求并集而不是交集.

［對癥下藥］(1)因?yàn)閒(x)=，(xGR),所以f'(x)=-23+2a:+4,依題意「⑻)。在［一［,1］上恒成

立，即2x2?2ax?4<0在［?1,1］上恒成立.

當(dāng)x=0時，a￡R：當(dāng)0<xWl時，a，x-2恒成立，又y=x-2在(0,1)上單調(diào)遞增，所以y=x?2的最大

XXX

值為-1,得a2-l;當(dāng)-lWx<0時-aWx-2恒成立，由上知aWl.綜上WaW1(注意應(yīng)對所求出的a的范圍求交

X

集).

(2)方法1：方程f(x)=，變形為x2-ax-2=0,lx「X2l=+8，又-IWaWl,所以lx「X2l=+8的最大值

X

為3mXm+l2伙］*1對任意a?A及［-1,1］恒成立等價于n?+tm+l23在t￡［-1,1］恒成立，當(dāng)m=0

222

時，顯然不成立，當(dāng)m>0時，t>乂—恒成立，所以一12”更，解得m》2；當(dāng)m<0時，二恒成

mmrn

o2

立，所以Iv解得mW-2.

m

綜上：存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m'tm+l》lxrX2l對任意a￡A及［?1,1］恒成立，m的取值范圍是

{mlm22或mW-}2(注意對求出的m的取值范圍求并集).

方法2：方程f(x)=，變形為x2-ax-2=0,lx「X2l="？+8，又所以反|*1=+8的最大值為3,

x

n?+tm+l刈x「X2l對任意aGA及1］恒成立等價于m12+3tm+l>3在te［-1,1］恒成立，令g(t)=tm+m2-2,

有g(shù)(-l)=m2+m-220,g(l)=m2-m-25:0,解得{mlm22或mW-2}.(注意對求出的m的取值范圍求交集).

專家會診

討論參數(shù)a的范圍時，對各種情況得出的參數(shù)a的范圍，要分清是“或”還是“且”的關(guān)系，是“或”

只能求并集，是“且”則求交集.

考場思維訓(xùn)練

1設(shè)區(qū)表示不超過x的最大整數(shù)，則不等式［x「5［x］+6W0的解集為()

A.(2,3)B.［2,3|

C.［2,4］D.［2,4］

答案：C解析：由［xf-5［x］+6W0,解得2W［x］W3,由［x］的定義知2Wx<4所選C.

2已知不等式lx-mkl成立的充分非必要條件是」YXYL,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

32

44

A.B.

3,22'3

1

C.00,------D.-,+00

23

答案：B解析:因不等式lx-mkl等價于m?l<xvm+l,依題意有3---<m<3,所以選8.

23

4-1>—

2

3設(shè)A、B是兩個集合，定義A?B={xlx￡A,且x/B}.若M={xlx+l<2},N={xlx=sinQIaW等R},則

M-N等于（）

A.[-3,1]B.[-3,0]

C.[0,1]D.[-3,0]

答案：B

4已知集合A={xl(x-2)[x-(3a+l)J<0=,B={xl—x~^a----<0}.

x-(a2+l)

(1)當(dāng)a=2時，求AAB；

(2)求使BGA的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：(1)當(dāng)a=2時,A=(2,7),B=(4,5)/.AnB=(4,5).

(2)B=(2a,a"+l)，當(dāng)a<工時A=(3a+1,2)要使BuA,必須],，此時a=-1;當(dāng)。=工時,A=0>使

3—a2+l<23

2a>2^、

BcA的a不存在;當(dāng)a>:時,4=(2,3a+1)要使BcA,必須.，此時1WaW3.

a27+1<3a+1

綜上可知，使BgA的實(shí)數(shù)a的取值范圍為［1,3］ul-ll

命題角度3集合的應(yīng)用

1.(典型例題)3是正實(shí)數(shù)，設(shè)S“={0|f(x)=cos［3(x+0)］是奇函數(shù)},若對每個實(shí)數(shù)a,S“n(a,a+l)的元

素不超過2個，且有a使S“C(a,a+1)含2個元素，則3的取值范圍是.

［考場錯解］(*2n)

［專家把脈］；a使S“C(a,a+l)含兩個元素，如果女>1時，則超過2個元素，注意區(qū)間端點(diǎn).

CO

［對癥下藥］由S“C(a,a+1)的元素不超過兩個，二周期且xLl.；.3>71又?.?有a使S.n(a,a+1)

co2

含兩個元素，，殳周期21....3或211.故3d(Jt,2n).

CD

2.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)=—(xGR),區(qū)間M=[a.b|(a<b),集合N={yly=f(x),xGM},則使M=N

1+lxl

成立的實(shí)數(shù)對(a,b)有()

A.O個B.1個

C.2個D.無數(shù)多個

［考場錯解］DDy=f(x)是奇函數(shù),不妨設(shè)x>0.f(x)=-l+」一,；.f(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，即y=f(x)

x+\

在［a,b］上為減函數(shù)，...y=f(x)的值域?yàn)椤干希?「上，二^

\+\b\1+IaIJ［_1+1/?I1+1aI

：M=N,.,.MuN，a2*_,且bW」一,故有無數(shù)組解.

1+lbli+lal

［專家把脈］錯誤地理解了M=N，只是MuN,忽視了M=N,包含MuN和

NuM兩層含義.

-1+—i-(x>0)

x+1

［對癥下藥］：f(x)=.???y=f(x)在［a,b］上為減函數(shù)?'-y=f(x)

-14--!—(XY0)

X-1

的值域?yàn)?b-a

i+1/?ri+i?i

VN={yly=f(x)},AN表示f(x)的值域-b

-b

a---------

AM=N,?'"=a=6,而已知a<b,，滿足題意的a、b不存在，故選A.

b=--------

1+1。I

3.(典型例題)記函數(shù)f(x)=j2-土2的定義域?yàn)锳,g(x)=lg［(x-a-l)(2a-x)］(a<l)的定義域?yàn)锽.

⑴求A；

(2)若BuA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［考場錯解］(1)由2-920,得x<-l或x，l.r.A={xlx<-l或xNl}

x+l

(2)(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-l)(x-2a)v0.*.*a<1,/.a+l>2a,B=(2a,a+l)

VBcA.*.2a>l或a+lW-1；.a>L或aW-2又；a<l,aW-2或，<a<l

22

［專家把脈1利用集合的包含關(guān)系時，忽視了端點(diǎn)的討論.

［對癥下藥］(1)由2-9》0,得x<-l或xNl.

X4-1

(2)由(x?a-l)(2a-x)>0,得(x?a?l)(x?2a)<0.Va<l,/.a+l>2a,B=(2a,a+1)

■B￡A,，2a》l或a+lW-L即a》4或aW-2,而Wa<l或aW-2,故當(dāng)B^A時,實(shí)數(shù)a的

22

范圍是(q，-2)U［L1］.

2

專家會診

集合與不等式、集合與函數(shù)、集合與方程等，都有緊密聯(lián)系.因?yàn)榧鲜且环N數(shù)學(xué)工具.在運(yùn)用時注意

知識的融會貫通.有時要用到分類討論，數(shù)形結(jié)合的思想.

考場思維訓(xùn)練

1已知集合A={xl(a2-a)x+l=0,xGR},B={xlax2-x+l=0,xGR},若AUB=0,則a的值為()

A.0B.1C.0或1D.0或4

答案：B解析：AUB=0,...A=0且B=0,由A=0得a=0或1；由B=0得a>0且△?,解得a>L、a=L

4

2設(shè)集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7}定義P※Q={(a,b)laep,beQ,則p※Q中元素的個數(shù)為()

A.3B.4C.7D.12

答案：D

3已知關(guān)于x的不等式岑±Y0的解集為M.

(l)a=4時，求集合M；

答案：⑴當(dāng)a=4時,原不等式可化為華J<0,即4(乂-W)(工-2)<0"“€(…,-2)5』,2),版為(9,-2)5』,2).

X2-4444

(2)若3CM且5^M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案：由3eM得=一-<0,.-.a><—,①

32-a3

由56M得^15。<25,②

52-a

由①、②得l<a<2,或9<a<25因此a的取值范圍是［1,2)59,25).

33

命題角度4簡易邏輯

1.(典型例題)對任意實(shí)數(shù)a、b、c,給出下列命題：

①“a=b”是"ac=bc”的充要條件；②“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；③“a>b”是

“a2>b2”的充分條件；④“a<5”是“av3”的必要條件.

其中真命題的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

［考場錯解］D

［專家把脈］忽視①中c=0的情況，③中a,b小于0的情況.

［對癥下藥1B①中c=0時，非必要條件；③中0>a>b時，非充分條件，②④正確.

2.(典型例題)給出下列三個命題

①若則卷z由

②若正整數(shù)m和n滿足mWn,則^m(n-m)<g

③設(shè)P(x”yi)為圓O|：x?+y2=9上任一點(diǎn)，圓O?以Q(a,b)為圓心且半徑為1.當(dāng)(a-X|『+(b-yi尸=1時，

圓O|與圓。2相切

其中假命題的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

［考場錯解］A

［專家把脈］③中(a-X|)2+(b-y》=l時，即圓。2與。1上任一點(diǎn)距離為1，并不一定相切.

［對癥下藥］B

3.(典型例題)設(shè)原命題是“已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若2=>c=d,貝ija+c=b+d”，則它的逆否命題是

()

A.已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a+cWb+d,則a關(guān)b且cWd

B.已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a+cKb+d,貝ijaWb或crd

C.若a+cWb+d,則a,b,c,d不是實(shí)數(shù)，且a￥b,cWd

D.以上全不對

［考場錯解IA

［專家把脈I沒有分清“且”的否定是“或"，“或”的否定是“且”.

［對癥下藥］B逆否命題是“已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，若a+c#b+d,貝Ua#b或crd”.

4.(典型例題)已知c>0,設(shè)P：函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減；Q：不等式x+lx-2cl>1的解集為R,如果

P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍.

〔考場錯解I由函數(shù)y=c'在R上單調(diào)遞減，得0?1了."+反21=產(chǎn)-2。221所以函數(shù)廣*+反21在R

［2c,xY2c

上的最小值為2c,因?yàn)椴坏仁絰+lx-2cl>l的解集為R,所以2c>1,得c>L

2

如果P真，得0<c<l,如果Q真，則c>；.

所以c的取值范圍是(0,+8).

［專家把脈］將P和Q有且僅有一個正確，錯誤理解成P正確或Q正確.

［對癥下藥］由函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減，得0<c<l：..”+卜2村=匕-2c產(chǎn)2：所以函數(shù)y=x+b2c|在

［2c,xY2c

R上的最小值為2c,因?yàn)椴坏仁絰+lx-2cl>l的解集為R,所以2c>1,得c>L

2

如果P真Q假，則OVcW；；如果Q真P假，則c力.

所以c的取值范圍是(0,l)U［l,+°ol

2

專家會診

1.在判斷一個結(jié)論是否正確時，若正面不好判斷，可以先假設(shè)它不成立，再推出矛盾，這就是正難則

反.

2.求解范圍的題目，要正確使用邏輯連結(jié)詞，“且”對應(yīng)的是集合的交集，“或”對應(yīng)的是集合的并集.

考場思維訓(xùn)練

1已知條件P：lx+ll>2,條件q：5x-6>x2,則“是飛的()

A.充要條件B.充分但不必要條件

C.必要但不充分條件D.既非充分也非必要條件

答案：B解析：p:x<-3或x>l,q:2Vx<3,則q是p的充分但不必要條件，故"p是=q的充分但不必要條件。

2已知命題p：函數(shù)logo.5(x、2x+a)的值域?yàn)镽,命題q：函數(shù)y=-(5-2a)*是減函數(shù).若p或q為真命

題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.aWlB.a<2

C.l<a<2D.aWl或a22

1.答案：解析：命題p為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)/+2x+a的判別式

△=4-4a20,從而aWl;命題q為真時，5-2a>l=a<2.

若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結(jié)果為l<a<2,故選C.

3如果命題P：0W{0},命題Q：0u{0},那么下列結(jié)論不正確的是()

A."P或Q”為真B.“P且Q”為假

C.“非P”為假D.“非Q”為假

答案：B

4已知在x的不等式0<x2-4V6x-13a的解集中，有且只有兩個整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案：解析：原不等式等價于

fx>2或x>-2_01?

\,，令/(x)=』-6x+13”,畫出/(X)的函數(shù)圖象，由已知可得/'(4)<0/(5)>0,解得=<a<—.

［x2-6x-4+13a<01313

5已知命題p：方程a2x2+ax-2=0在［-1,1］上有解；命題q：只有一個實(shí)數(shù)x滿足不等式x2+2ax+2aW0,

若命題“p或q是假命題，求a的取值范圍.

答案：解析：由a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,顯然a/0x=-2或x,

aa

故峨巨I”只有一個實(shí)數(shù)滿足x2+2ax+2a^0.即拋物線y=x、2ax+2a與x軸只有一

aa

個交點(diǎn)，

...△=4a2-8a=0,.,=()或2,...命題“p或q為真命題”時或a=0":?命題“p或q”為假命題

a的取值范圍為{aI-1<a<0或0<a<1}

命題角度5充要條件

1.(典型例題)“m=；”是“直線(m+2)x+3my+l=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的()

A.充分必要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

［考場錯解］A

2

［專家把脈I當(dāng)兩直線垂直時，A,A2+B1B2=0,m-4+3m(m+2)=0,即!1!=,或m=-2；故不是充分必要條

2

件.

［對癥下藥］B當(dāng)m="!?時兩直線垂直.兩直線垂直時m=L或m=-2,故選B.

22

2.(典型例題)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=!'lg〔I口豐I,則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同

0,x=l

實(shí)數(shù)解的充要條件是()

A.b<0且c>0B.b>0且c<0

C.b<0且c=0D.bNO且c=0

［考場錯解］BA=b2-4ac.當(dāng)c<0時，△>().故f(x)有兩個不同實(shí)根，，x有7個不同根.

［專家把脈］：f(x)的根為正時，x有4個不同實(shí)根.應(yīng)考慮f(x)的根的正負(fù).

［對癥下藥］C當(dāng)x=l時f(x)=O,；.c=0.

當(dāng)xWl時,f(x)=llglx-lll,f2(x)+bf(x)+c=1g2lx-1l+bl1glx-111=0.即，11glx-111(1glx-1l+b)=0>

...lglx-ll=O或lglx-ll=-b,；.x=2或x=0或lglx-ll=-b①...bcO.①式有4個不同實(shí)根故c=0且b<0,恰

有7個不同實(shí)根

3.(典型例題)若非空集合MuN,貝iJadM或aCN是aG(MDN)的()

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［考場錯解］aW(MAN)的意思是aWM且aWN,所以aGM或a^N不能推出aG(MClN),同樣aW

(MDN)也不能推出adM或adN,所以a^M或a^N是ad(MC1N)的既不充分也不必要條件，所以選D.

［專家把脈］“或”與“且”理解錯誤，邏輯中的“或”與生活中的“或”有區(qū)別，a《M或aGN包

括三種：a《M但a任N；aGN但agM；adM且aCN.所以aG(MCN)可以推得adM或aWN.

［對癥下藥］aG(MrtN)的意思是adM且adN,而aeM或adN包括三種：a^M但a任N；a《N但

a4M；aeM且adN,所以a^M或adN不能推出ae(MCN)；aG(MAN)可以推得a^M或adN.所以

選B.

22

4.(典型例題)設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式a|X+b|X+c,>0與a2X+b2x+c2>0的解集相同；命題q：

"=h=￡L,則命題p是命題g的()

。2b?

A.充分但不必要條件

B.必要但不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［考場錯解］因?yàn)橐?"=幺，所以不等式aX+biX+c》。與a2x2+b2X+C2>0是等價的不等式，解集相

。2b?C?

2

同，所以q能推出p而不等式aX+biX+c〉。與a2x+b2x+c2>0的解集相同不能得出，所以

。2b?

選B.

22

［專家把脈］因?yàn)?若與a2的符號不同，這時a|X+b［X+C］>0與a2x+b2X+C2>0的解集不相

。2。2c2

同，如1發(fā)+3*-2>0與X2-3X+2>0,盡管"="=包=一1,但它們的解集不相同，所以q不能推出P.

。282C?

［對癥下藥］因?yàn)?="=且，若ai與a2的符號不同，這時aM+bix+cpO與a2x2+b2X+C2>0的解集不

。2。2c2

相同，所以q不能推出p；不等式x2+x+3>0與x2+l>0的解集相同，但紅，所以p不能推出q,

〃2b2

所以選D.

專家會診

(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時，就記作pnq稱p是

q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”,

“必須并且只需”，“……，反之也真”等.

(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又

是概念所具有的性質(zhì).

(4)從集合觀點(diǎn)看，若AgB,則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B,則A、B互為充要

條依.

(5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條

件的必要性).

考場思維訓(xùn)練

1設(shè)ab、是非零向量，則使a?b=lallbl成立的一個必要非充分條件是()

A.a=bB.a±b

C.a〃bD.a=Xb(>0)

答案：C解析：由a?b=EI上同得a〃bMUa〃b,a-b=±lalIbl,故使a-b=lalIbl成立的一個必要充分條件

是：a〃b.故選C.

2若條件甲：平面a內(nèi)任一直線平行于平面B,條件乙：平面a〃平面B,則條件甲是條件乙的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

答案：C解析：甲乙可以互推。選C.

3.已知函數(shù)f(x)=ax+b(OWx<l),則a+2b>0是f(x)>0在［0,1］上恒成立的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

答案：B解析：：f(x)>0在［0,1］上恒成立=a+2b>0,但a+2b>0推不出f(x)>0在［0,1］上恒成

立。

4命題A：命題B：(x+2)(x+a)<0,若A是B的充分不必要條件，則a的取值范圍是()

A.(4,+°°)B.［4,+0°］

C.(-8,-4)D.",.4)

答案：C

探究開放題預(yù)測

預(yù)測角度1集合的運(yùn)算

1.設(shè)I是全集，非空集合P、Q滿足PaQaI,若含P、Q的一個運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集，

則這個運(yùn)算表達(dá)式可以是；如果推廣到三個，即