安溪縣俊民中學2024-2025學年高一年下學期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定為存在量詞命題，即可求解.【詳解】命題“”的否定為：，故選：A2.角的終邊所在直線經(jīng)過點，則有A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由角的終邊所在直線經(jīng)過點，得到的終邊在第二象限或第四象限，分類討論，利用三角函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意，角的終邊所在直線經(jīng)過點，可得的終邊在第二象限或第四象限，又由，當?shù)慕K邊在第二象限時，取點時，可得；當?shù)慕K邊在第四象限時，取點時，可得，所以.故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，其中解答中注意題目的條件“終邊所在直線”，得出終邊在第二、四象限，合理分類討論是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.下列四個函數(shù)中，周期為π的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的周期性求解.【詳解】函數(shù)周期為；函數(shù)周期為；函數(shù)周期為；函數(shù)周期為.故選：D4.下列說法中正確的是（）A.單位向量都相等 B.若滿足且與同向，則C.對于任意向量，必有 D.平行向量不一定是共線向量【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相等向量的定義可判斷A；由向量不能比較大小可判斷B；由向量加法的幾何意義可判斷C；由共線向量的定義可判斷D.【詳解】A，方向相同，模相等的向量為相等向量，單位向量的方向不一定相同，故A錯誤；B，向量模能比較大小，向量不能比較大小，故B錯誤；C，根據(jù)向量加法的幾何意義可得，故C正確；D，平行向量也是共線向量，故D錯誤.故選：C5.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】由，則只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度.【詳解】解：因為，所以要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度.故選：C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)輔助角公式先將函數(shù)化簡，然后代入求值.【詳解】解：由題意得：由可得：故選：B7.已知是兩個相互垂直的單位向量，且向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】法一：由題意得出，先求出，即可求解；法二：不妨設(shè)，根據(jù)向量坐標表示的運算法則及模的計算即可求解．【詳解】法一：由題意得，所以，則；法二：因為是兩個相互垂直的單位向量，且向量，所以不妨設(shè)，則，故，則，故選：A．8.在平行四邊形中，，，，，則（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】以為基底，表示，，結(jié)合向量數(shù)量積概念和運算律可求的值.【詳解】如圖：以為基底，則，，.且，，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.與終邊相同的角有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角，相差360°的整數(shù)倍判斷即可.【詳解】與終邊相同的角可表示為，時，為；時，為；時，為；故選：BCD.10.設(shè)點是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）A.若，則點是邊的中點B.若，則點在邊的延長線上C.若，則點是的重心D.若，且，則的面積是的面積的【答案】ACD【解析】【分析】判斷命題真假；將前面條件進行化簡，去判斷點M的位置（D中若能判斷M位置也是一定得出面積比值）.【詳解】A中：,即：,則點是邊的中點B.,則點在邊的延長線上，所以B錯誤.C.設(shè)中點D,則,，由重心性質(zhì)可知C成立.D．且設(shè)所以，可知三點共線，所以的面積是面積的故選擇ACD【點睛】通過向量加減運算，進行化簡去判斷點M的位置，難度較大.11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的解析式為B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D.為了得到函數(shù)圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再向上平移一個單位長度【答案】ABD【解析】【分析】由題意求出的解析式可判斷A；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和對稱性可判斷BC；由三角函數(shù)的平移變換可判斷D.【詳解】對于A，由圖可知，，可得，由，則，兩式相減得：，所以①，又因為，所以，結(jié)合①，，因為，所以，所以，故A正確；對于B，，解得：，故B正確；對于C，令，解得：，函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以C不正確；對于D，將函數(shù)向右平移個單位得到，向上平移一個單位長度可得，故D正確.故選：ABD.第II卷（非擇題92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，那么_____________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，再利用半角公式求得的值．【詳解】若，，，，那么，故答案為：．【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，半角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.在等腰直角三角形中，，則________.【答案】【解析】【分析】先求出，再利用平面向量的數(shù)量積公式求解.【詳解】由題得,.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14.若存在實數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】利用的圖像與性質(zhì)，直接求出函數(shù)的零點，再利用題設(shè)條件建立不等關(guān)系且，從而求出結(jié)果.【詳解】因為，由，得到，所以或，所以或，又因為存在實數(shù)，使函數(shù)在上有且僅有2個零點，所以且，即且，解得.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，且為第一象限角，為第二象限角，求的值.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角關(guān)系可得，，即可根據(jù)正弦的差角公式求解.【詳解】因為為第一象限角，為第二象限角，，，所以，，所以.16.化簡求值：（1）化簡：（2）求值，已知，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式先化簡每一項，然后即可得到最簡結(jié)果；（2）利用“齊次”式的特點，分子分母同除以，將其化簡為關(guān)于的形式即可求值.【詳解】（1）原式，（2）原式【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的運用，難度較易.（1）利用誘導(dǎo)公式進行化簡時，掌握“奇變偶不變”的實際含義進行化簡即可；（2）求解形如的“齊次式”的值，注意采用分子分母同除以的方法，將其化簡為關(guān)于的形式再求值.17.已知，，且與的夾角為120°，求：（1）；（2）若向量與平行，求實數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平方的方法來求得正確答案.（2）根據(jù)向量平行列方程來求得.【小問1詳解】，所以.小問2詳解】由于向量與平行，所以存在實數(shù)，使得，所以，解得.18.某公園內(nèi)有一塊半徑為15m的扇形空地如圖所示，其中一側(cè)靠墻，，公園準備在扇形空地上靠墻修建一個矩形廣場，記．（1）寫出矩形廣場的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求矩形廣場面積的最大值，并求出此時的大小．【答案】（1）（2）面積最大值為，此時.【解析】【分析】（1）先把矩形的各個邊長用角表示出來，進而表示出矩形的面積，即可得到答案；（2）利用角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求矩形面積的最大值.【小問1詳解】因為，所以，又，所以，則所以．【小問2詳解】，因為，所以，所以當，即時，．19.在邊長為4等邊中，D為BC邊上一點，且.（1）若P為內(nèi)部一點（不包括邊界），求的取值范圍；（2）若AD上一點K滿足，過K作直線分別交AB，AC于M，N兩點，設(shè)，，的面積為，四邊形BCNM的面積為，且，求實數(shù)k的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取的中點，進而整理可得，分析求解即可得結(jié)果；（2）