高數(shù)考試的試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)的是（）

A.\(f(x)=x^2+1\)

B.\(f(x)=x^3-x\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=\cos(x)\)

2.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f'(1)\)的值是（）

A.0

B.1

C.-1

D.-3

3.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}\)的值是（）

A.2

B.1

C.0

D.無極限

4.已知\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)的值是（）

A.1

B.2

C.0

D.無極限

5.設(shè)\(f(x)=e^x\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.\(e^x\)

B.\(e^x\cdotx\)

C.\(e^x\cdot(x+1)\)

D.\(e^x\cdot(x-1)\)

6.設(shè)\(f(x)=\ln(x+1)\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.\(\frac{1}{x+1}\)

B.\(\frac{1}{x}\)

C.\(\frac{1}{x-1}\)

D.\(\frac{1}{x+1}\cdot(x+1)\)

7.設(shè)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.\(-\frac{1}{x^2}\)

B.\(\frac{1}{x^2}\)

C.\(-\frac{1}{x}\)

D.\(\frac{1}{x}\)

8.設(shè)\(f(x)=x^2+2x+1\)，則\(f''(x)\)的值是（）

A.2

B.3

C.4

D.6

9.設(shè)\(f(x)=e^x\cdot\sinx\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.\(e^x\cdot\cosx\)

B.\(e^x\cdot\sinx\)

C.\(e^x\cdot\cosx+e^x\cdot\sinx\)

D.\(e^x\cdot\cosx-e^x\cdot\sinx\)

10.設(shè)\(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.\(\frac{1}{(x^2+1)^2}\)

B.\(\frac{1}{x^2+1}\)

C.\(\frac{1}{x^2}\)

D.\(\frac{1}{x^2+1}\cdot(x^2+1)\)

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.在函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)中，\(x=0\)是一個極值點。（）

2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的極限存在，且等于1。（）

3.函數(shù)\(f(x)=\cosx\)在整個實數(shù)域內(nèi)是單調(diào)遞減的。（）

4.\(f(x)=e^x\)的導(dǎo)數(shù)仍然是\(e^x\)。（）

5.若\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處必定連續(xù)。（）

6.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)的極限不存在。（）

7.函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)是0。（）

8.若\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處必定可導(dǎo)。（）

9.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}=0\)。（）

10.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)不存在。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義。

2.如何求函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)的導(dǎo)數(shù)？

3.解釋函數(shù)的極值點和拐點的概念，并舉例說明。

4.簡述拉格朗日中值定理的內(nèi)容及其應(yīng)用。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，并舉例說明。

2.論述洛必達法則的適用條件及其應(yīng)用步驟，并舉例說明。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=0\)處取得極值，則此極值為（）

A.極大值

B.極小值

C.無極值

D.無法確定

2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}\)的值是（）

A.1

B.2

C.0

D.無極限

3.設(shè)\(f(x)=e^x\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.\(e^x\)

B.\(e^x\cdotx\)

C.\(e^x\cdot(x+1)\)

D.\(e^x\cdot(x-1)\)

4.若\(f(x)=\ln(x+1)\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.\(\frac{1}{x+1}\)

B.\(\frac{1}{x}\)

C.\(\frac{1}{x-1}\)

D.\(\frac{1}{x+1}\cdot(x+1)\)

5.設(shè)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.\(-\frac{1}{x^2}\)

B.\(\frac{1}{x^2}\)

C.\(-\frac{1}{x}\)

D.\(\frac{1}{x}\)

6.設(shè)\(f(x)=x^2+2x+1\)，則\(f''(x)\)的值是（）

A.2

B.3

C.4

D.6

7.設(shè)\(f(x)=e^x\cdot\sinx\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.\(e^x\cdot\cosx\)

B.\(e^x\cdot\sinx\)

C.\(e^x\cdot\cosx+e^x\cdot\sinx\)

D.\(e^x\cdot\cosx-e^x\cdot\sinx\)

8.設(shè)\(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.\(\frac{1}{(x^2+1)^2}\)

B.\(\frac{1}{x^2+1}\)

C.\(\frac{1}{x^2}\)

D.\(\frac{1}{x^2+1}\cdot(x^2+1)\)

9.若\(f(x)=x^2\)，則\(f'(x)\)的值是（）

A.2x

B.x

C.1

D.0

10.若\(f(x)=\ln(x+1)\)，則\(f''(x)\)的值是（）

A.\(\frac{1}{(x+1)^2}\)

B.\(\frac{1}{x+1}\)

C.\(\frac{1}{x}\)

D.\(\frac{1}{x^2}\)

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.D

2.B

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.A

9.C

10.A

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

6.×

7.√

8.×

9.√

10.√

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.幾何意義：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點處切線的斜率。物理意義：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點處的變化率或瞬時速度。

2.利用導(dǎo)數(shù)的定義，將函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)轉(zhuǎn)化為\(f(x)=x+1\)（在\(x\neq1\)的情況下），然后求導(dǎo)得到\(f'(x)=1\)。

3.極值點：函數(shù)在某一點處取得局部最大或最小值的位置。拐點：函數(shù)在某一點處曲率方向發(fā)生改變的位置。

4.拉格朗日中值定理：若函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，并在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，則存在至少一點\(c\in(a,b)\)，使得\(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：若函數(shù)在某一點可導(dǎo)，則該函數(shù)在該點連續(xù)；反之，若函數(shù)在某一點連續(xù)，則該函數(shù)在該點不一定可導(dǎo)。舉例：函數(shù)\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)，但不可導(dǎo)。

2.洛必達法則的適用條件：當(dāng)\(\lim_