高代下期末試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.設A是n階方陣，下列結論正確的是（）

A.若A可逆，則|A|≠0

B.若A可逆，則A的轉置矩陣A'也可逆

C.若A不可逆，則A的伴隨矩陣A*不可逆

D.若A不可逆，則|A|=0

2.設α，β是向量空間V的兩個線性無關的向量，則下列結論正確的是（）

A.α，β必定是V的一組基

B.α，β的任意線性組合也必為V的基

C.V的維數(shù)為2

D.α，β的線性組合的維數(shù)一定小于等于2

3.設A是n階方陣，則下列結論正確的是（）

A.若A為實對稱矩陣，則A的特征值為實數(shù)

B.若A為實對稱矩陣，則A的每個特征向量都是單位向量

C.若A的特征值為實數(shù)，則A為實對稱矩陣

D.若A的特征值為實數(shù)，則A為正交矩陣

4.設α，β是向量空間V的兩個基，則下列結論正確的是（）

A.α，β必定是V的一組基

B.V的維數(shù)為α，β的維數(shù)之和

C.α，β的任意線性組合也必為V的基

D.V的維數(shù)與α，β的維數(shù)無關

5.設A是n階方陣，則下列結論正確的是（）

A.若A可逆，則A的行列式|A|≠0

B.若A可逆，則A的伴隨矩陣A*可逆

C.若A的行列式|A|=0，則A不可逆

D.若A的行列式|A|=0，則A的伴隨矩陣A*可逆

6.設A是n階方陣，則下列結論正確的是（）

A.若A為實對稱矩陣，則A的特征值為實數(shù)

B.若A為實對稱矩陣，則A的每個特征向量都是單位向量

C.若A的特征值為實數(shù)，則A為實對稱矩陣

D.若A的特征值為實數(shù)，則A為正交矩陣

7.設α，β是向量空間V的兩個基，則下列結論正確的是（）

A.α，β必定是V的一組基

B.V的維數(shù)為α，β的維數(shù)之和

C.α，β的任意線性組合也必為V的基

D.V的維數(shù)與α，β的維數(shù)無關

8.設A是n階方陣，則下列結論正確的是（）

A.若A可逆，則A的行列式|A|≠0

B.若A可逆，則A的伴隨矩陣A*可逆

C.若A的行列式|A|=0，則A不可逆

D.若A的行列式|A|=0，則A的伴隨矩陣A*可逆

9.設α，β是向量空間V的兩個線性無關的向量，則下列結論正確的是（）

A.α，β必定是V的一組基

B.α，β的任意線性組合也必為V的基

C.V的維數(shù)為2

D.α，β的線性組合的維數(shù)一定小于等于2

10.設A是n階方陣，則下列結論正確的是（）

A.若A為實對稱矩陣，則A的特征值為實數(shù)

B.若A為實對稱矩陣，則A的每個特征向量都是單位向量

C.若A的特征值為實數(shù)，則A為實對稱矩陣

D.若A的特征值為實數(shù)，則A為正交矩陣

11.設α，β是向量空間V的兩個基，則下列結論正確的是（）

A.α，β必定是V的一組基

B.V的維數(shù)為α，β的維數(shù)之和

C.α，β的任意線性組合也必為V的基

D.V的維數(shù)與α，β的維數(shù)無關

12.設A是n階方陣，則下列結論正確的是（）

A.若A可逆，則A的行列式|A|≠0

B.若A可逆，則A的伴隨矩陣A*可逆

C.若A的行列式|A|=0，則A不可逆

D.若A的行列式|A|=0，則A的伴隨矩陣A*可逆

13.設α，β是向量空間V的兩個線性無關的向量，則下列結論正確的是（）

A.α，β必定是V的一組基

B.α，β的任意線性組合也必為V的基

C.V的維數(shù)為2

D.α，β的線性組合的維數(shù)一定小于等于2

14.設A是n階方陣，則下列結論正確的是（）

A.若A為實對稱矩陣，則A的特征值為實數(shù)

B.若A為實對稱矩陣，則A的每個特征向量都是單位向量

C.若A的特征值為實數(shù)，則A為實對稱矩陣

D.若A的特征值為實數(shù)，則A為正交矩陣

15.設α，β是向量空間V的兩個基，則下列結論正確的是（）

A.α，β必定是V的一組基

B.V的維數(shù)為α，β的維數(shù)之和

C.α，β的任意線性組合也必為V的基

D.V的維數(shù)與α，β的維數(shù)無關

16.設A是n階方陣，則下列結論正確的是（）

A.若A可逆，則A的行列式|A|≠0

B.若A可逆，則A的伴隨矩陣A*可逆

C.若A的行列式|A|=0，則A不可逆

D.若A的行列式|A|=0，則A的伴隨矩陣A*可逆

17.設α，β是向量空間V的兩個線性無關的向量，則下列結論正確的是（）

A.α，β必定是V的一組基

B.α，β的任意線性組合也必為V的基

C.V的維數(shù)為2

D.α，β的線性組合的維數(shù)一定小于等于2

18.設A是n階方陣，則下列結論正確的是（）

A.若A為實對稱矩陣，則A的特征值為實數(shù)

B.若A為實對稱矩陣，則A的每個特征向量都是單位向量

C.若A的特征值為實數(shù)，則A為實對稱矩陣

D.若A的特征值為實數(shù)，則A為正交矩陣

19.設α，β是向量空間V的兩個基，則下列結論正確的是（）

A.α，β必定是V的一組基

B.V的維數(shù)為α，β的維數(shù)之和

C.α，β的任意線性組合也必為V的基

D.V的維數(shù)與α，β的維數(shù)無關

20.設A是n階方陣，則下列結論正確的是（）

A.若A可逆，則A的行列式|A|≠0

B.若A可逆，則A的伴隨矩陣A*可逆

C.若A的行列式|A|=0，則A不可逆

D.若A的行列式|A|=0，則A的伴隨矩陣A*可逆

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.向量空間V的基中任意兩個向量的線性組合仍然是V中的向量。（）

2.若A是n階方陣，且A的行列式|A|≠0，則A的秩為n。（）

3.兩個同維數(shù)的實對稱矩陣相似。（）

4.若向量α，β線性相關，則α，β中至少有一個向量是零向量。（）

5.向量空間V的維數(shù)等于V中任意一個基的向量個數(shù)。（）

6.兩個線性無關的向量組成的矩陣的秩一定為2。（）

7.一個n階方陣A的行列式|A|的值等于A的行列式|A^T|的值。（）

8.如果A是n階方陣，那么A的逆矩陣A^-1滿足AA^-1=I。（）

9.兩個向量如果線性相關，則它們必須屬于同一個向量空間。（）

10.若向量空間V的維數(shù)為0，則V只包含零向量。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述矩陣的特征值和特征向量的概念，并說明它們之間的關系。

2.如何判斷一個向量是否屬于某個向量空間的基？

3.解釋矩陣的秩的概念，并說明如何計算一個矩陣的秩。

4.簡述矩陣相似的概念，并舉例說明相似矩陣的性質。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述線性變換在向量空間中的應用，包括線性變換的矩陣表示、線性變換的性質以及如何通過線性變換進行向量空間的變換。

2.論述矩陣的秩與矩陣的可逆性之間的關系，包括如何通過矩陣的秩來判斷矩陣的可逆性，以及不可逆矩陣的伴隨矩陣的性質。

試卷答案如下：

一、多項選擇題答案：

1.ABD

2.AC

3.AC

4.AC

5.ABC

6.AC

7.AC

8.AC

9.AC

10.AC

11.AC

12.AC

13.AC

14.AC

15.AC

16.AC

17.AC

18.AC

19.AC

20.AC

二、判斷題答案：

1.√

2.√

3.√

4.×

5.√

6.×

7.√

8.√

9.×

10.√

三、簡答題答案：

1.矩陣的特征值是矩陣A滿足特征方程det(A-λI)=0的λ值，特征向量是滿足方程(A-λI)x=0的非零向量。特征值和特征向量之間的關系是，對于每個特征值λ，存在一個對應的特征向量x，使得Ax=λx。

2.一個向量屬于某個向量空間的基，如果它是該向量空間中任意其他向量的線性組合的唯一表示。

3.矩陣的秩是矩陣中線性無關的行（或列）的最大數(shù)目。計算矩陣的秩可以通過初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣，然后計算非零行的數(shù)目。

4.矩陣相似是指存在一個可逆矩陣P，使得P^-1AP=B，其中A和B是相似矩陣。相似矩陣具有相同的特征值，并且它們的跡和行列式相等。

四、論述題答案：

1.線性變換在向量空間中的應用包括將向量從一種表示形式轉換為另一種形式，以及研究向量空間的結構和性質。線性變換的矩陣表