PAGEPAGE1課下實力提升(十四)[學業水平達標練]題組1求作向量的和1．如圖，已知兩個不共線的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面內任取一點O，作＝a，＝b.則＝a＋b.2．已知兩非零向量a，b(如圖所示)求作a＋b.解：如圖所示：在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b.題組2向量加法運算3.如圖，D，E，F分別為△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()A．＋＋＝0B．－＋＝0C．＋－＝0D．－－＝0解析：選A因為D，E，F分別為△ABC的邊AB，BC，CA的中點，所以＝，＝.又因為＋＋＝0，所以＋＋＝0，故選A.4．化簡下列各式：①＋＋；②(＋)＋＋；③＋＋＋；④＋＋＋.其中結果為0的個數是()A．1B．2C．3D．4解析：選B由向量加法的運算法則知①④的結果為0.②③的結果分別為，.故選B.5．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，則向量＋＋的長度等于()A．2eq\r(5)B．4eq\r(5)C．12D．6解析：選B因為＋＝，所以＋＋的長度為的模的2倍，故答案是4eq\r(5).6．依據圖示填空．(1)＋＝________；(2)＋＋＝________；(3)＋＋2＝________.解析：由三角形法則知(1)＋＝＋＝；(2)＋＋＝；(3)＋＋2＝＋.答案：(1)(2)(3)＋7．在平行四邊形ABCD中，＋＋＋＝________.解析：因為＋＝0，＋＝0，所以＋＋＋＝0.答案：08．如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，依據圖示計算：(1)＋；(2)＋；(3)＋.解：(1)因為四邊形OABC是以OA，OC為鄰邊的平行四邊形，OB為其對角線，所以＋＝.(2)因為與方向相同且長度相等，所以與是相等向量，故＋與方向相同，長度為長度的2倍，因此＋可用表示．所以＋＝－.(3)因為與長度相等且方向相反，所以＋＝0.題組3向量加法的應用9．若a等于“向東走8km”，b等于“向北走8km”則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如圖所示，設＝a，＝b，則＝a＋b，且△ABC為等腰直角三角形，則||＝8eq\r(2)km，∠BAC＝45°.答案：8eq\r(2)km北偏東45°10．雨滴在下落肯定時間后的運動是勻速的，無風時雨滴下落的速度是4.0m/s，現在有風，風使雨滴以eq\f(4\r(3),3)m/s的速度水平向東移動，求雨滴著地時的速度和方向．解：如圖，用表示雨滴下落的速度，表示風使雨滴水平向東的速度．以，為鄰邊作平行四邊形OACB，就是雨滴下落的實際速度．在Rt△OAC中，||＝4，||＝eq\f(4\r(3),3)，∴||＝eq\r(|OA→|2＋|AC→|2)＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2)＝eq\f(8\r(3),3)，∴tan∠AOC＝eq\f(|AC→|,|OA→|)＝eq\f(\f(4\r(3),3),4)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠AOC＝30°.故雨滴著地時的速度大小是eq\f(8\r(3),3)m/s，方向與垂直方向成30°角向東.[實力提升綜合練]1．設a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，則在下列結論中，正確的為()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤解析：選Ca＝(＋)＋(＋)＝＋＋(＋)＝0，∴①③⑤是正確的．2．下列命題中正確的個數為()①假如非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a或b的方向相同；②△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，則A，B，C肯定為一個三角形的三個頂點；④若a，b均為非零向量，則|a＋b|＝|a|＋|b|.A．0B．1C．2D．3解析：選B①錯，若a＋b＝0，則a＋b的方向是隨意的；②正確；③錯，當A，B，C三點共線時，也滿意＋＋＝0；④錯，|a＋b|≤|a|＋|b|.3.如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，則＋＋＝()A．B．C．D．解析：選B＋＋＝＋＋＝＋＝.4．已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P滿意＋＝，則下列結論中正確的是()A．P在△ABC的內部B．P在△ABC的邊AB上C．P在AB邊所在的直線上D．P在△ABC的外部解析：選D＋＝，依據平行四邊形法則，如圖，則點P在△ABC外．5．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，則|a＋b|＝________.解析：∵||＝||且∠AOB＝90°，∴|a＋b|為以OA，OB為鄰邊的正方形的對角線的長，∴|a＋b|＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)6．若P為△ABC的外心，且＋＝，則∠ACB＝________.解析：∵＋＝，則四邊形APBC是平行四邊形．又P為△ABC的外心，∴||＝||＝||.因此∠ACB＝120°.答案：120°7．在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝eq\f(1,2).求|＋|與|＋|.解：∵＋＝＋＝0，∴＝，＝.∴四邊形ABCD是平行四邊形．又||＝||＝1，知四邊形ABCD為菱形．又cos∠DAB＝eq\f(1,2)，∠DAB∈(0，π)，∴∠DAB＝60°，∴△ABD為正三角形．∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝eq\r(3)，|＋|＝||＝||＝1.8．已知船在靜水中的速度為20m/min，水流的速度為10m/min，假如船從岸邊動身沿垂直于水流的航線到達對岸，求船行進的方向．解：作出圖形，如圖．船速v船與岸的方向成α角，由圖可知v水＋v船＝v實際，結合已知條件，四邊形ABCD為平行四邊形，在Rt△ACD中，||＝