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PAGEPAGE1課下實力提升(十四)[學業水平達標練]題組1求作向量的和1.如圖,已知兩個不共線的非零向量a,b,求作a+b.解:在平面內任取一點O,作=a,=b.則=a+b.2.已知兩非零向量a,b(如圖所示)求作a+b.解:如圖所示:在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a+b.題組2向量加法運算3.如圖,D,E,F分別為△ABC的邊AB,BC,CA的中點,則()A.++=0B.-+=0C.+-=0D.--=0解析:選A因為D,E,F分別為△ABC的邊AB,BC,CA的中點,所以=,=.又因為++=0,所以++=0,故選A.4.化簡下列各式:①++;②(+)++;③+++;④+++.其中結果為0的個數是()A.1B.2C.3D.4解析:選B由向量加法的運算法則知①④的結果為0.②③的結果分別為,.故選B.5.在矩形ABCD中,||=4,||=2,則向量++的長度等于()A.2eq\r(5)B.4eq\r(5)C.12D.6解析:選B因為+=,所以++的長度為的模的2倍,故答案是4eq\r(5).6.依據圖示填空.(1)+=________;(2)++=________;(3)++2=________.解析:由三角形法則知(1)+=+=;(2)++=;(3)++2=+.答案:(1)(2)(3)+7.在平行四邊形ABCD中,+++=________.解析:因為+=0,+=0,所以+++=0.答案:08.如圖,O為正六邊形ABCDEF的中心,依據圖示計算:(1)+;(2)+;(3)+.解:(1)因為四邊形OABC是以OA,OC為鄰邊的平行四邊形,OB為其對角線,所以+=.(2)因為與方向相同且長度相等,所以與是相等向量,故+與方向相同,長度為長度的2倍,因此+可用表示.所以+=-.(3)因為與長度相等且方向相反,所以+=0.題組3向量加法的應用9.若a等于“向東走8km”,b等于“向北走8km”則|a+b|=________,a+b的方向是________.解析:如圖所示,設=a,=b,則=a+b,且△ABC為等腰直角三角形,則||=8eq\r(2)km,∠BAC=45°.答案:8eq\r(2)km北偏東45°10.雨滴在下落肯定時間后的運動是勻速的,無風時雨滴下落的速度是4.0m/s,現在有風,風使雨滴以eq\f(4\r(3),3)m/s的速度水平向東移動,求雨滴著地時的速度和方向.解:如圖,用表示雨滴下落的速度,表示風使雨滴水平向東的速度.以,為鄰邊作平行四邊形OACB,就是雨滴下落的實際速度.在Rt△OAC中,||=4,||=eq\f(4\r(3),3),∴||=eq\r(|OA→|2+|AC→|2)=eq\r(42+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2)=eq\f(8\r(3),3),∴tan∠AOC=eq\f(|AC→|,|OA→|)=eq\f(\f(4\r(3),3),4)=eq\f(\r(3),3),∴∠AOC=30°.故雨滴著地時的速度大小是eq\f(8\r(3),3)m/s,方向與垂直方向成30°角向東.[實力提升綜合練]1.設a=(+)+(+),b是任一非零向量,則在下列結論中,正確的為()①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|.A.①②B.①③C.①③⑤D.③④⑤解析:選Ca=(+)+(+)=++(+)=0,∴①③⑤是正確的.2.下列命題中正確的個數為()①假如非零向量a與b的方向相同或相反,那么a+b的方向必與a或b的方向相同;②△ABC中,必有++=0;③若++=0,則A,B,C肯定為一個三角形的三個頂點;④若a,b均為非零向量,則|a+b|=|a|+|b|.A.0B.1C.2D.3解析:選B①錯,若a+b=0,則a+b的方向是隨意的;②正確;③錯,當A,B,C三點共線時,也滿意++=0;④錯,|a+b|≤|a|+|b|.3.如圖,四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,則++=()A.B.C.D.解析:選B++=++=+=.4.已知△ABC的三個頂點A,B,C及平面內一點P滿意+=,則下列結論中正確的是()A.P在△ABC的內部B.P在△ABC的邊AB上C.P在AB邊所在的直線上D.P在△ABC的外部解析:選D+=,依據平行四邊形法則,如圖,則點P在△ABC外.5.已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=90°,則|a+b|=________.解析:∵||=||且∠AOB=90°,∴|a+b|為以OA,OB為鄰邊的正方形的對角線的長,∴|a+b|=3eq\r(2).答案:3eq\r(2)6.若P為△ABC的外心,且+=,則∠ACB=________.解析:∵+=,則四邊形APBC是平行四邊形.又P為△ABC的外心,∴||=||=||.因此∠ACB=120°.答案:120°7.在四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于點O且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=eq\f(1,2).求|+|與|+|.解:∵+=+=0,∴=,=.∴四邊形ABCD是平行四邊形.又||=||=1,知四邊形ABCD為菱形.又cos∠DAB=eq\f(1,2),∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=60°,∴△ABD為正三角形.∴|+|=|+|=||=2||=eq\r(3),|+|=||=||=1.8.已知船在靜水中的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,假如船從岸邊動身沿垂直于水流的航線到達對岸,求船行進的方向.解:作出圖形,如圖.船速v船與岸的方向成α角,由圖可知v水+v船=v實際,結合已知條件,四邊形ABCD為平行四邊形,在Rt△ACD中,||=
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