第第頁高一上學期期末復習解答題壓軸題十五大題型專練（范圍：第四、五章）【人教A版（2019）】題型1題型1指數式的給條件求值問題1．（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：164（2）已知x+x?1=4【解題思路】（1）根據指數的運算即可求出答案；（2）通過x12+【解答過程】（1）原式=1（2）由x1因為x>0，所以x12+所以x2+x2．（2024高一·全國·專題練習）化簡并求值．(1)若a=2，b=4，求a+3(2)設a=20231n【解題思路】（1）根據指數的冪的運算可得答案；（2）由a=20231n【解答過程】（1）原式==3當a=2，b=4時，原式=3（2）因為a=20231n所以1+a所以1+a3．（23-24高一上·江蘇無錫·期中）（1）計算:14（2）若a+a①a②a【解題思路】（1）利用分數指數冪與根式的關系化簡求值即可；（2）①：由a1②：由a12+【解答過程】（1）原式=41（2）①：a12?②：a12+a?4．（23-24高一上·全國·課后作業）求下列各式的值.(1)若3a=2,3(2)已知3a2+b=1，求(3)若a=2?1(4)若a=2.5,b=20，求【解題思路】（1）將32a?b可化成3a2（2）原式9a?3b3（3）將a?12?bab2（4）化簡后可得原式=ba2【解答過程】（1）利用指數運算法則可知32a?b=32a?（2）易知9a?3b3（3）化簡得a?將a=2?1（4）易知a12又a=2.5,b=20，所以題型2題型2指數型復合函數的應用5．（24-25高一上·天津·期中）已知指數函數f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖像經過點(1)求函數y=a(2)求函數y=a2x?4ax【解題思路】（1）將點代入指數函數f(x)中求出a的值，然后根據復合函數單調性同增異減求得答案；（2）換元法令t=(【解答過程】（1）∵函數f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖像經過點(2,19)，∴a2∴y=ax2?4x+3=(1u=x2?4x+3在區間(?∞,2]上單調遞減，在區間根據復合函數單調性同增異減可知，函數y=(13)x（2）y=(13)2x?4(13)x所以y=t2?4t+3在t∈[13,1]上單調遞減，故當t=1時，故當x∈[0,1]時，g(x)的值域為[0,166．（24-25高一上·福建福州·期中）已知f(x)=3x+a(1)求a的值；(2)解關于x的方程2f(x)+2(3)若存在區間m,n（m<n），使得函數y=f(x)+t在m,n上的值域為3m,3【解題思路】（1）利用奇函數的性質求出a并驗證即可.（2）換元解方程，再解指數方程即可.（3）探討函數y=f(x)+t的單調性，結合已知構造方程，再利用一元二次方程實根分布求出范圍.【解答過程】（1）由f(x)=3x+a3x+1是定義在f(x)=3x?13x+1，（2）令f(x)+1=λ，則方程2f(x)+2f(x)+1=3化為λ+解得λ=12或λ=2，由（1）知當λ=12時，f(x)=?12，即23當λ=2時，f(x)=1，即23x+1（3）由（1）知f(x)=3x?13x函數y=f(x)+t在[m,n]上單調遞增，依題意，f(m)+t=3mf(n)+t=令3x=u>0，因此3m,3于是Δ=t2+4t?4>0t>01?t>0，解得7．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知雙曲函數f(x)=2x+(1)證明：f(2)判斷函數g(x)的單調性（不用證明），并解關于x的不等式g(9(3)若?x≥1，不等式a?g(x)≥f(x)+12成立，求實數【解題思路】（1）根據給定條件，利用指數運算計算即得.（2）利用指數函數單調性，結合復合函數的單調性判斷單調性，再利用單調性解不等式.（3）根據給定條件，分離參數，換元并借助對勾函數的單調性求出最大值即可.【解答過程】（1）雙曲函數f(x)=2x+2?x（2）函數y=2?x在R上單調遞減，y=?2?x在R上單調遞增，而函數所以函數g(x)在R上單調遞增，不等式g(9則(3x)2?12?3x（3）不等式a?g(x)≥f(x)+1當x≥1時，22x?1>0，則依題意，?x≥1，a≥1+2x+222x1+2x+222x則當t=4時，ymin=34，因此1+1t+3t?4所以實數a的取值范圍是a≥78．（24-25高一上·福建漳州·期中）設函數f（x）=ax?2ka?x（a>0(1)求k和a的值;(2)判斷f(x)的單調性（無需證明），并求關于m的不等式f(m+1)+f?m2(3)已知函數g(x)=a2x+【解題思路】（1）利用函數奇偶性以及函數值即可解得k和a的值;（2）由復合函數單調性可判斷f(x)在R上單調遞增，利用單調性以及奇偶性解不等式可得實數m的取值范圍;（3）利用換元法將函數整理成二次函數形式，判斷出其單調性，再由二次函數性質可得結果.【解答過程】（1）因為f(x)是R上奇函數，所以f(?x)=?f(x)，即a?x整理得:(1?2k)ax+a?x又f(1)=a?1a=83，即a2?（2）由（1）可知f(x)=3x?3?x利用復合函數單調性可得f(x)在R上單調遞增,又因為f(x)為R上的奇函數，所以f(m+1)<?f所以m+1<m2?5，即m2?m?6>0所以f(x)在R上單調遞增，m的取值范圍是?（3）g(x)=a2x=令t=3x?3?x，由（2）易知記y=t2?2t+2=(t?1)2+1,t∈0,所以g(x)的值域是1,34題型3題型3帶附加條件的指、對數問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示9．（23-24高一上·上海浦東新·期中）（1）若a+a?1=3（2）已知log32=a，log37=b，試用a，【解題思路】（1）先把已知式子平方得出a2（2）先應用換底公式，再結合對數運算律即可表示.【解答過程】（1）∵a+a∴a（2）log2810．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）設a>0，b>0，(1)loga(2)loga(3)計算：若xlog23=2【解題思路】（1）直接利用換底公式即可證明結果；（2）直接利用換底公式即可證明結果；（3）根據條件，利用換底公式得到x=log【解答過程】（1）因為logaαb（2）因為logaαb=（3）因為xlog23=2故3x+3?x=11．（23-24高一上·浙江金華·期中）化簡或計算下列各式：(1)2(2)已知lg2=a,lg3=b，用a，(3)已知a12+【解題思路】(1)由指數冪的運算性質直接求得答案；(2)利用對數的運算性質以及換底公式將log3125化為lg(3)先求a+a?1=14，再求a【解答過程】（1）2a（2）log3125=log312?（3）a12+a12?a?12．（24-25高一上·四川成都·階段練習）已知2（1）求a2?b（2）求4a+1【解題思路】（1）由2a=3得，（2）由b=log318【解答過程】解：1由2a=3得，所以a=?log2由b=log318所以4a+1×3題型4題型4對數型復合函數的應用

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示13．（24-25高三上·安徽六安·階段練習）已知函數fx=logax+1(1)判斷fx(2)若a>1，判斷fx(3)當fx的定義域為1,a時，fx的值域為1,+∞【解題思路】（1）先判斷函數奇偶性，接著按奇偶性判定步驟去判斷即可證明；（2）由y=logat為增函數，t=x+1x?1（3）由題意結合（2）得fx在1,a上為減函數，進而得fx>f【解答過程】（1）函數fx由x+1x?1>0得x<?1或x>1，即fx的定義域為{x∣x<?1因為f?x=log（2）fx=logax+1當a>1時，y=logat為增函數，t=x+1x?1所以由復合函數的單調性知fx在?∞,?1（3）由題意a>1，所以由（2）可知fx在1,a因為當x∈1,a時，fx>fa=loga因為a>1，所以a=1+214．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常數函數f(x)=log19(1)求實數a,b的值；(2)判斷并證明函數f(x)的單調性；(3)已知g(x)=m?4x?2x+2【解題思路】（1）根據給定條件，利用奇函數的性質求出a,b.（2）由（1）求出函數f(x)，結合對數函數單調性及單調函數的定義判斷推理即可.（3）根據給定條件，將不等式轉化為[f(x【解答過程】（1）函數f(x)為(?2,2)上的奇函數，則f(?x)+f(x)=0，且f(0)=0，即log19a+x即a2?x2=4?b2當a=?2，b=?1時，f(x)=log19?2?x2?x當a=?2，b=1時，a?x2+bx=?1，函數當a=2，b=?1時，a?x2+bx=1，函數當a=2，b=1時，f(x)=log19所以a=2，b=1.（2）由（1）知，f(x)=log92+x2?x=而函數y=log9x在(0,+∞)?x1,x2于是0<42?x1?1<因此log9(42?x1?1)<（3）由（2）知，函數f(x)在(1,2)上單調遞增，則?x∈(1,2)，f(x)>f(1)=1由?x1∈(1,2)，?x2因此?x∈[?1,1]，g(x)≤1?m?4當x∈[?1,1]時，12≤2x≤2當且僅當x=0時取等號，于是m≤2，所以m的取值范圍是m≤2.15．（24-25高三上·青海西寧·階段練習）已知函數fx(1)若m=0，求fx(2)若fx的定義域為R，求實數m(3)若fx的值域為R，求實數m【解題思路】（1）根據復合函數單調性“同增異減”的判斷法則，即可求解；（2）根據題意，若fx的定義域為R，則根據真數ux=（3）根據題意，若fx的值域為R，只需真數ux=【解答過程】（1）因為當m=0時，函數fx令ux=?1x2∴ux在區間1?52又∵函數y=log12可得fx=log12（2）要使fx的定義域為R，只需真數ux=①當m2?1=0，即m=±1時，若顯然，只有x>?12時，才有ux若m=?1，則ux=1>0對一切實數x都成立，②當m2?1≠0時，uxm2?1>0,Δ=(m+1)綜上，實數m的取值范圍是?∞（3）要使fx的值域為R，只需真數ux=①當m2?1=0，即若m=1，則ux=2x+1，顯然ux若m=?1，則ux=1，不符合題意，②當m2?1≠0即m>1或m<?1,?1≤m≤綜上，實數m的取值范圍是1,516．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）已知函數fx(1)若函數fx為奇函數，求實數m(2)求函數fx(3)求函數fx(4)若關于x的不等式fx<lne1【解題思路】（1）將函數解析式化簡為fx=lne12mx+e?12mx2，根據奇函數的定義fx+f?x【解答過程】（1）因為f=ln又fx為奇函數，所以fx+f即lnemx+2+e?mx4=0（2）因為fx=lne1當m≠0時e12mx+e所以e12mx綜上可得：當m=0時fx的值域為0，當m≠0時fx的值域為（3）因為fx當m=0時fx=0，當m>0時y=e12mx在定義域R上單調遞增，且當x<0時0<y=x+1x在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，y=所以fx在?∞,0當m<0時y=e12mx在定義域R上單調遞減，且當x<0時e1y=x+1x在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，y=所以fx在?∞,0上單調遞減，在0,+∞上單調遞增；綜上可得：當當m≠0時fx的單調遞減區間為?∞,0（4）因為fx=lne1所以fx當m=0時fx<ln當m≠0時不等式fx<ln所以e12mx又y=e12所以mx<1，解得?1m因為A??2023,2026，所以1m≤2023m≠0，所以m≤?所以實數m的取值范圍為?∞題型5題型5指數、對數函數的實際應用

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平面向量線性運算的坐標表示17．（24-25高一上·吉林·期中）某水庫有a萬條魚，計劃每年捕撈一些魚，假設水庫中魚不繁殖，只會因捕撈而減少魚的數量，且每年捕撈的魚的數量的百分比相等.當捕撈的魚的數量達到原數量的23時，所用時間是6年.為了保證水庫的生態平衡，魚的數量至少要保留原數量的19(1)求每年捕撈的魚的數量的百分比.(2)到今年為止，該水庫已捕撈了多少年?(3)今年之后，為了保證水庫的生態平衡，最多還能捕撈多少年?【解題思路】（1）設每年捕撈的魚的數量的百分比為x，根據題意建立等量關系計算即可；（2）設到今年為止該水庫已捕撈t年，根據題意建立方程，解指數方程即可；（3）設今年之后，最多還能捕撈n年，根據題意建立不等式，由指數函數的性質解不等式即可.【解答過程】（1）由題意可得a1?x6=a?23則每年捕撈的魚的數量的百分比為1?1（2）設到今年為止該水庫已捕撈t年，則a1?xt=33a，所以即到今年為止，該水庫已捕撈了3年.（3）設今年之后，最多還能捕撈n年，則n年后，水庫里魚的剩余數量為33題意可得33a1?xn≥19故今年之后，最多還能捕撈9年.18．（24-25高一上·浙江杭州·期中）雞蛋在冰箱冷藏的環境下，可以有效減緩雞蛋內部的變化速度，延長其保質期．已知新鮮雞蛋存儲溫度x（單位：攝氏度）與保鮮時間t（單位：小時）之間的函數關系式為t(x)=e(1)新鮮雞蛋在存儲溫度為7攝氏度的情況下，其保鮮時間約為多少小時；(2)已知新鮮雞蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保證新鮮雞蛋的保鮮時間不少于40天，則超市對新鮮雞蛋的存儲溫度設置應該不高于多少攝氏度？（結果保留兩位小數）參考數據：lg【解題思路】（1）由題意有e8a+b=432e6a+b=576，則e（2）令eax+b【解答過程】（1）依題意得e8a+b=432e當x=7時，t7即該超市的新鮮雞蛋在存儲溫度為7攝氏度的情況下，其保鮮時間約為499小時；（2）由題意令eax+b≥960，得e6a+b?e則lg3412故超市對新鮮雞蛋的存儲溫度設置應該不高于2.33攝氏度.19．（24-25高一上·福建三明·期中）金駿眉是紅茶代表，產于建寧縣，色澤紅艷，香氣馥郁，口感甜美，營養價值高.在飲用中發現，茶水的口感與水的溫度有關.經實驗表明，用100°C的水泡制，待茶水溫度降至60°時間/012345水溫/1009182.978.3772.5367.27設茶水溫度從100°C經過xmin后溫度變為y°C，現給出以下三種函數模型：①y=cx+b(c<0,x≥0)(1)從上述三種函數模型中選出最符合上述實驗的函數模型，并根據前3組數據求出該解析式；(2)根據（1）中所求函數模型，求剛泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間；(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進行實驗時的室溫約為多少.（參考數據：lg3=0.48,【解題思路】（1）通過表格數據，發現水溫隨著時間變化逐漸降低，且降低的速度逐漸變慢，所以是第②個函數模型，只需將具體數值代入，即可求得解析式；（2）最佳飲用口感溫度為60°C，代入解析式，利用對數式求得（3）求出y的最小值，即為答案.【解答過程】（1）由表格數據知：函數單調遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，則ca0+b=100ca1+b=91ca（2）令y=90×0.9x+10=60所以泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間為6.5min.（3）由0.9x∈0,1，即y∈20．（24-25高一上·福建廈門·期中）鐵觀音是中國十大名茶之一，盛產于福建．經驗表明，某種鐵觀音茶用95°C的水沖泡，等茶水溫度降至60°C飲用，口感最佳.某科學興趣小組為探究在室溫條件下，剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到茶水溫度y（單位：°C時間t/分鐘012345水溫y95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)給出下列三種函數模型：①y=at+b(a<0)，②y=a?bt+c(a>0,0<b<1)(2)根據（1）中所求模型，（i）請推測實驗室室溫（注：茶水溫度接近室溫時，將趨于穩定）；（ii）求剛泡好的鐵觀音茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.1）.（參考數據，lg3≈0.477,【解題思路】（1）根據數據的規律結合單調性及相鄰數據差不為定值排除①③,代入數據②中求參數得函數解析式；（2）（i）根據指數函數的性質可知穩定在25°C【解答過程】（1）由所給數據可知，函數應該為減函數，故③y=atb+c(a>0,0<b<1)為增增函數，不合題意；又88?95=?7，81?7?88=?6.3，76.03?81?7=?4.67，不是常數，故①y=at+b(a<0)則a+c=95ab2+c=81.7ab+c=88（2）（i）由y=70?0.9t+25可知，y>25且無限趨近25（ii）由題意70?0.9t+25=60所以t=log即剛泡好的鐵觀音茶達到最佳飲用口感的放置時間大約6.5分鐘.題型6題型6函數零點（方程根）及其個數問題

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平面向量線性運算的坐標表示21．（24-25高一上·新疆烏魯木齊·期中）已知函數f（x），對于任意的x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，當x>0時，(1)判斷并證明函數f(x)的奇偶性；(2)當?8≤x≤10時，求函數f(x)的最大值和最小值；(3)設函數g(x)=fx2?m?2f(|x|)，若方程【解題思路】（1）先后令x=y=0，y=?x可完成判斷與證明；（2）由題可證明f(x)在?∞,0,0,+∞上單調遞減，然后結合f(1)=?12【解答過程】（1）f(x)為奇函數，證明如下.證明：令x=y=0，則f(0)=2f(0)?f0又令y=?x，則f(0)=fx又fx定義域關于原點對稱，且fx不恒為0，則（2）取任意x1則f(=?fx2?x1，因x1<則當?8≤x≤10時，f(x)max=f因f(1)=?12，則f10則函數最大值為f?8=4，最小值為（3）由（2）可知fx在?則g(x)=fx又x2=x2，則方程令x=t，當t2?2t?m=0則Δ=4+4m>0x1+x22．（23-24高一上·天津·階段練習）函數f(x)=(1)當m=?1時，求函數f(x)零點(2)函數f(x)有兩個零點，求m的取值范圍；(3)函數f(x)在(?1,3)上有兩個零點，求m的取值范圍；【解題思路】（1）把m=?1代入，求出f(x)零點.（2）利用判別式大于0，解不等式即得.（3）利用一元二次方程實根分布規律，列出不等式組求解即得.【解答過程】（1）當m=?1時，f(x)=x2?2x+1，由f(x)=0，解得x=1（2）由函數f(x)有兩個零點，得方程x2因此Δ=4m2?4(3m+4)>0，解得m<?1或m>4，所以m的取值范圍是（3）由函數f(x)在(?1,3)上有兩個零點，得Δ=4m2所以m的取值范圍是?1323．（2024高一上·江蘇·專題練習）已知函數f(x)=ln(1)求函數f(x)的零點；(2)g(x)=f(x)?a若函數g(x)有四個零點，求a的取值范圍；(3)在（2）的條件下，記g(x)得四個零點從左到右分別為x1，x2，x3，x【解題思路】（1）討論當x>0時，當x≤0時，由f(x)=0，解方程即可得到零點；（2）由題意可得f(x)=a有四個不等實根，畫出函數y=f(x)的圖象，通過圖象觀察，即可得到a的范圍；（3）由二次函數的對稱性和對數的運算性質，結合圖象即可得到所求和．【解答過程】（1）函數f(x)=ln當x>0時，由|lnx|=0，解得當x≤0時，由x2+4x+1=0，解得x=?2+3可得函數的零點為1，?2+3或?2?（2）g(x)=f(x)?a若函數g(x)有四個零點，即為f(x)=a有四個不等實根，畫出函數y=f(x)的圖象，由圖象可得當0<a≤1時，f(x)的圖象和直線y=a有四個交點，故函數g(x)有四個零點時a的取值范圍是0<a≤1；（3）由y=x2+4x+1的對稱軸為x=?2由|lnx3|=|lnx4故x124．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數f(x)=x?a?3(1)若a=1，求關于x的方程f(x)=1的解；(2)若關于x的方程f(x)=2a有三個不同的正實數根x1，x2，（i）求a的取值范圍；（ii）證明：x1【解題思路】（1）根據題意得由x?1=3x，分類討論x≥1（2）（i）分段討論f(x)的解析式，結合對勾函數的性質分析得f(x)的單調性，進而得到關于a的不等式，解之即可得解；（ii）利用（i）中結論，分析得x1x2=3與【解答過程】（1）當a=1時，f(x)=x?1?3x+1當x≥1時，則x?1=3x，即x2?x?3=0，解得當x<1時，則1?x=3x，即x2（2）（i）因為f(x)=x?a當x≤a時，f(x)=?x+a?3x+a=2a?x+3由對勾函數的性質可知，y=2a?x+3x在0,易知y=x?3x在當a≤3a≠0時，則y=2a?x+3x在0,a又當x=a時，2a?x+3x=x?3故方程f(x)=2所以a≥3，則y=2a?x+3x在y=x?3x在故2a?a+3a即a的取值范圍為7+（ii）x1?x2是方程2a?x+x3是方程x?3x則x3=1所以x1題型7題型7弧長公式與扇形面積公式的應用

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示25．（24-25高一·上海·隨堂練習）已知一扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l．(1)若α=45°，r=10cm，求扇形的弧長l(2)已知扇形的周長為10cm，面積是4【解題思路】（1）由扇形的弧長公式即可求解；（2）由扇形的周長和面積公式即可求解.【解答過程】（1）因為α=45°=π4弧度，所以（2）由題意得2r+αr=1012α?r2=4，解得26．（23-24高一下·遼寧遼陽·期中）如圖，這是一個扇形環面（由扇形OCD挖去扇形OAB后構成）展臺，AD=4米．(1)若∠COD=2π3(2)若該扇形環面展臺的周長為14米，布置該展臺的平均費用為500元/平方米，求布置該扇形環面展臺的總費用．【解題思路】（1）利用弧長計算公式計算即可；（2）設∠COD=θ，OA=r米，利用扇形環面的展臺周長，表示出θ與r的關系，代入面積公式求出扇形環面展臺的面積，最后計算可得.【解答過程】（1）弧AB的長度l1=4π3所以扇形環面展臺周長為：l1（2）設∠COD=θ，OA=r米，則弧AB的長度l1=θr，弧CD的長度因為該扇形環面的周長為14米，所以l1+l整理得θr+2θ=3，則該扇形環面展臺的面積：S=1所以布置該扇形環面展臺的總費用為：12×500=6000元.27．（23-24高一下·江西贛州·階段練習）已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為L(α>0)．(1)已知扇形的周長為10cm，面積是4(2)若扇形周長為20cm，當扇形的圓心角α【解題思路】（1）根據弧長公式及扇形的面積公式，再結合扇形的周長公式即可求解；（2）根據扇形的周長公式及扇形的面積公式，再結合二次函數的性質即可求解.【解答過程】（1）由題意得{2R+Rα=1012α?R2=4（2）由已知得，l+2R=20．所以S=12lR=所以當R=5時，S取得最大值25，12×α×R當扇形的圓心角α為2多少弧度時，這個扇形的面積最大為25.28．（23-24高一下·山東·階段練習）如圖，點A，B，C是圓O上的點．(1)若∠ACB=π6，AB=4cm，求扇形AOB(2)若扇形AOB的面積為10cm2，求扇形AOB周長的最小值，并求出此時【解題思路】（1）根據扇形的弧長公式和面積公式進行計算即可.（2）根據扇形的弧長公式和面積公式結合基本不等式的應用進行求解.【解答過程】（1）由題意知，設α=∠AOB，所以α=π3根據扇形弧長扇形面積S=1（2）由S=lR2=10扇形的周長為2R+l=2R+20R≥2所以由l=αR=20R知：題型8題型8同角三角函數的基本關系

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示29．（24-25高三上·河南·期中）（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2?x?2=0（2）已知sinα?cosα=12【解題思路】（1）根據題意得到tanα的值，將sin2α?2sinαcosα+3（2）先根據完全平方公式得到sinαcosα【解答過程】（1）由x2?x?2=0，得x=?1，或∵tanα是方程x2?x?2=0的一個實根，且α∴sin2α?2sin（2）∵sinα?cosα=12∵α∈(0,π)，所以sinα>0故cosα+sinα=30．（23-24高一上·陜西咸陽·階段練習）已知sinα+(1)求tanα(2)求sinα(3)若0<α<π，求sin【解題思路】（1）利用商數關系求解即可；（2）利用平方關系構建齊次式求解即可；（3）將所求式子平方，根據角的范圍討論符號，開平方即可,【解答過程】（1）由sinα+cosα將上式左邊分子、分母同除以cosα，得tanα+13（2）由（1）知tanα=35（3）由0<α<π，得sinα>0，又由（1）知，tanα=35所以cosα>0，于是sin(sinα+cos31．（23-24高一上·河南開封·期中）已知函數f(x)=1+sinx1?(1)求2sin(2)求cos4【解題思路】（1）化簡fx=2sinxcosx（2）根據同角三角函數關系化簡原式為1?tan【解答過程】（1）f(x)=1+α為第三象限角，故fx=?2tanx，fα（2）cos432．（23-24高一上·四川綿陽·階段練習）已知x∈0,(1)若tanxtanx?1(2)若sinx+cosx=【解題思路】（1）根據正余弦函數齊次式化簡為正切即可得解；（2）利用同角三角函數的基本關系化簡求解.【解答過程】（1）因為tanxtanx?1=2，所以所以2sin（2）因為sinx+cosx=15，所以sin∴sinx?cos∵x∈0,π，∴sinx>0，cosx<0，即∴cos2題型9題型9誘導公式的綜合應用

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示33．（24-25高三上·山西呂梁·階段練習）已知α為第二象限角，fα(1)化簡fα(2)若sinα=15【解題思路】（1）利用誘導公式以及同角三角函數基本關系式即可化簡得解；（2）利用同角三角函數基本關系式即可求解．【解答過程】（1）fα（2）若sinα=15，α34．（24-25高三上·福建寧德·階段練習）如圖，以Ox為始邊作角α與β0<β<π2<α<π，它們的終邊分別與單位圓相交于點P,Q

(1)求2cos(2)若OP⊥OQ，求P的坐標.【解題思路】（1）根據三角函數的定義求出tanβ（2）由OP⊥OQ可得sinα=sinβ+【解答過程】（1）因為點Q在單位圓上且0<β<π2，所以x>0且x2即Q255故原式=2（2）由題意sinα=sin故P?35．（23-24高一下·遼寧大連·階段練習）在單位圓中，銳角α的終邊與單位圓相交于點Pm,32，連接圓心O和P得到射線OP，將射線OP繞點O按逆時針方向旋轉θ后與單位圓相交于點B(1)求4sin(2)記點B的橫坐標為fθ，若fθ?π【解題思路】（1）由題意可得cosα=（2）由題意可得：fθ=cos【解答過程】（1）由于點P在單位圓上，且α是銳角，可得m=12，所以所以4sin（2）由（1）可知cosα=12，且α為銳角，可得α=∠xOP=因為fθ?π6=cosθ+所以cosθ?36．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）解答下列問題：(1)計算sin?(2)已知角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2x?y=0上，求sinπ【解題思路】（1）根據誘導公式和特殊角的三角函數值求解；（2）根據題意可知tanα=2【解答過程】（1）sin==（2）根據題意可知tanα=2所以sinπ題型10題型10三角函數的參數問題

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示37．（23-24高一下·湖北恩施·期末）已知函數fx(1)若f5π6(2)若fx在區間0,π3上的值域為1,2【解題思路】（1）根據條件可知函數關于點5π6（2）首先求ωx+π6的范圍，再根據三角函數的圖象和性質，即可列不等式求【解答過程】（1）因為f5π6+x+f5π則ω?5π6+又ω>0，故當k=1時，ω取得最小值1．（2）當x∈0,π3因為函數fx在區間0,π3上的值域為1,2，所以π所以ω的取值范圍為1,2．38．（23-24高一下·遼寧·期中）已知函數fx(1)當φ=π6時，函數fx在π(2)若fx的圖象關于直線x=π4對稱且f?π4=0，是否存在實數ω【解題思路】（1）由單調性可得2π（2）由對稱性與單調性可得ω為正奇數且ω≤6【解答過程】（1）2π3?π3注意到，0<ω≤3時，ωπ3+只需2ωπ3+π6≤π（2）由題?π4ω+φ=k1π①，②－①得π2ω=k因為k1，k2∈Z，所以ω=2n+1因為fx在7π18,5π9上單調，所以5當ω=5時，?5π4因為φ≤π2，所以φ=令t=5x+π4∈gt在79π36,5π2當ω=3時，?3π4+φ=kπ，k∈Z.因為φ令t=3x?π4∈11π12,17π12，當ω=1時，?π4+φ=kπ，k∈Z.因為φ≤令t=x+π4∈23π36,29π36，綜上，存在實數ω，使得fx在7π1839．（23-24高一上·貴州畢節·期末）已知函數fx=2(1)若fx的最小正周期為2π，求(2)若x=?π4是fx的零點，是否存在實數ω，使得fx在【解題思路】（1）由題意，利用正弦函數的周期性和對稱性，求出ω和φ，可得函數的解析式；（2）由題意，利用正弦函數的對稱性、單調性，求出ω的取值集合.【解答過程】（1）∵最小正周期為2π，則2πω=2π又∵函數fx=2則π4+φ=kπ+π2，且?π2<φ<π2（2）①若x=?π4是fx的零點，由于f則π4??π4②根據fx在7π18,5③由題意可得：fx的單調區間為12×故kπω+由①②③可得：ω=2n+1,故ω的取值集合為1,3．40．（2024·全國·模擬預測）已知函數fx(1)若fx的圖象經過點A3π4,0，Bπ4,2，且點(2)若f0=?1，且fx在5π9【解題思路】（1）依題意可得函數fx的周期求出ω，又過點B取最值求φ（2）根據f0=?1求φ，由已知條件及正弦函數的性質求【解答過程】（1）依題意可知：T4=3π4又過點Bπ4,2，所以1×又φ≤π2，所以φ=（2）因為f0=2sinφ=?1，且φ≤又當x∈0,3π4時依題意：π<3π4ω?π6≤2π依題意;若5π9ω?π6≥?π若5π9ω?π6≥π2π若5π9ω?綜上ω的取值范圍為149題型11題型11三角函數的圖象與性質的綜合應用

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示41．（23-24高一下·遼寧遼陽·期末）已知函數fx=sin(1)求ω的值；(2)求fx(3)若x∈0,m,fx的值域是1,【解題思路】（1）代入最大值點化簡函數即可求參；（2）應用正弦函數的單調增區間求解即可；（3）化簡得出正弦函數的值域進而確定自變量的取值范圍.【解答過程】（1）因為fx=sin可得fπ所以ω=1+6k,k∈Z,0<ω<7,所以（2）x+fx=sin（3）因為x∈0,m又因為fx所以π2≤π42．（23-24高一下·河南南陽·期中）已知fx=sinωx+φω>0,φ<π2在π(1)求fx(2)若函數gx=fx?mm∈R在x∈0,π【解題思路】（1）根據函數的對稱性求周期求參，再根據最值求參即可得出解析式；（2）根據零點結合對稱性得出參數值，再應用解析式求函數值.【解答過程】（1）由題對任意x∈R，都有fx≤f5π因為fx在π6,5π所以T4=5π又因為函數fx在x=5π12時取得最大值，所以即φ=?π3+2kπ，k∈Z.因為φ（2）因為x∈0,π2，令t=2x?π3

由題函數gx=fx?m在x∈0,π2有兩個零點x1，x2，即y=數形結合可得：32≤m<1，t1所以fx43．（23-24高一下·江蘇·開學考試）已知f(x)=2sin(x+φ)(φ∈(?π2,(1)求φ的值：(2)已知g(x)=2sin(x+φ2)，若對任意x∈[【解題思路】（1）由f(π3?x)=f(x)可得函數f(x)的圖象關于直線x=（2）由（1）求出f(x),g(x)，再變形給定的不等式，換元分離參數得a<2【解答過程】（1）對任意x∈R都有f(π3?x)=f(x)，則函數于是π6+φ=π2+2kπ,k∈（2）由（1）知，g(x)=2sin(x+πf(x)=2sin(x+π當x∈[π6,π]時，x?π顯然g(?x)=?2t,[f(x)]不等式ag(?x)?f依題意，?t∈[0,1]，不等式a<顯然t+1∈[1,2]，2≥22(t+1)?6t+1?4=43?4，當且僅當所以實數a的取值范圍是a<4344．（24-25高二上·山東日照·開學考試）設a為常數，函數f(x)=?2sin(1)當a=1時，求函數f(x)的值域；(2)若函數f(x)在區間(0,π)上有兩個不同的零點，求實數(3)當?1≤a≤1時，設n為正整數，f(x)在區間(0,nπ)上恰有2024個零點，求所有可能的正整數【解題思路】（1）利用換元法結合三角函數值域，由二次函數性質即可得出函數f(x)的值域；（2）根據零點個數可得函數g(t)=?2t2?at+1在0,1上僅有一個零點，再由二次函數根的分布可得a>?1【解答過程】（1）由題意f(x)=?2sin令t=sinx,t∈[?1,1]，則當a=1時，g(t)=?2t2?t+1=?2t+142當t=1時，g(t)取最小值?2，所以f(x)的值域為?2,9（2）由題意函數f(x)在區間(0,π即函數g(t)=?2t2?at+1在0,1由零點存在性定理，只需g(1)=?a?1<0，得a>?1；所以實數a的取值范圍為?1,+∞（3）因為Δ=a2+8>0，所以g(t)=?2又t1?t2=?12<0，不妨t1由三角函數圖象性質可知f(x)在(0,2kπ)（k為正整數）內零點個數為3k，在(0,(2k+1)π)內零點個數為3k+2，因為當a=?1時，t1=?12,t2在(0,(2k+1)π)內零點個數為3k+1，若3k+1=2024，此時不存在當?1<a<1時，則?1<t1<0,0<t2<1，f(x)在因為2024=2×1012，所以n=k=1012；綜上n的所有可能值為1012，1349．題型12題型12三角恒等變換的綜合應用

平面向量線性運算的坐標表示

平面向量線性運算的坐標表示45．（24-25高三上·內蒙古鄂爾多斯·期中）已知0<β<π2<α<(1)求cosβ+(2)求sinα?7【解題思路】（1）根據已知，可求出π4<α?π4<3π4，π2（2）將sinα轉化sinα?π4+π4【解答過程】（1）因為π2<α<π，所以π所以sinα?因為0<β<π2<α<又sinα+β=4所以cos=cos（2）由題意知sinα=又π2<α<π，所以cos所以sinα?746．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知α,β為銳角，且sin2(1)求2sin(2)若cosα+β=1【解題思路】（1）利用誘導公式，結合同角的三角函數關系式進行化簡即可；（2）根據（1）的結論，結合兩角差的正弦公式進行求解即可.【解答過程】（1）∵sin2π∵sin又α為銳角，∴sinα=1010,（2）由（1）可知sinα=∵cosα+β=13∴sin47．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）已知π4≤α≤π2，π≤β≤(1)求5sin(2)求角β?α的值.【解題思路】（1）利用二倍角公式、誘導公式化簡，再利用商數關系化為關于tanα的式子，再由二倍解公式，同角關系式對已知條件變形求得tan（2）確定α+β的范圍，求得sin(α+β)，然后利用(a+β)?2α=β?α，結合兩角差的正弦公式求得sin【解答過程】（1）由5=又因為sin2α=45，所以sin解得tanα=2或tanα=12，由于π4≤α≤π（2）又由π≤β≤3π2知則sin(α+β)=?由sin(β?α)=sin[(α+β)?2α]=又因π2≤β?α≤548．（24-25高三上·江蘇淮安·開學考試）已知α∈(0,π(1)若cos2β+cosβ=0，sin(2)證明：tanα+β【解題思路】（1）根據二倍角公式求得β，利用平方的方法求得sinα，利用同角三角函數的基本關系式求得cosα，進而求得（2）利用分析法，結合三角恒等變換的知識證得不等式成立.【解答過程】（1）∵cos∵β∈(0,π2),∴β=∵α∈(0,π2),∴（2）要證tanα+β2≤即證sinα+β∵α∈(0,π2),β∈(0,即證cos2α+β2即證1≥cos題型13題型13由部分圖象求函數的解析式49．（24-25高三上·北京·期中）設fx=Asinωxcosφ+Acosωxsin

(1)求A，φ；(2)再從以下三個條件中任選其一，使函數fx唯一確定，并求f條件①：MN=5；條件②：OM=5【解題思路】（1）先化簡fx，根據圖象的最高點確定出A的值，再根據圖像過點0,1求解出φ（2）若選①：根據條件確定出T2的值，則ω的值可求，再根據單調遞增區間的公式求解出結果；若選②：根據條件先求出M的坐標，代入fx解析式中可求ω的值，再根據單調遞增區間的公式求解出結果；若選③：根據條件得到ω的表示，再根據ω的范圍確定出【解答過程】（1）fx由圖象可知，A=2，所以fx因為fx=2sinωx+φ過0,1，所以又0<φ<π2，解得φ=π6，綜上所述，（2）選擇條件①：因為MN=5?xM故fx令?π2+2kπ≤π3所以fx單調遞增區間為?2+6k,1+6k，k∈Z選擇條件②：因為OM=5?xM由0<ω<π2，解得ω=π令?π2+2kπ≤π3所以fx單調遞增區間為?2+6k,1+6k，k∈Z選擇條件③：因為f52=0?由0<ω<π2，解得ω=π令?π2+2kπ≤π3所以fx單調遞增區間為?2+6k,1+6k，k∈Z50．（24-25高三上·山東青島·期中）已知函數f(x)=2(1)求函數f(x)的解析，并求出f(x)在0,π(2)若將函數f(x)的圖象向右平移θ(θ>0)個單位后所得曲線關于y軸對稱.求θ的最小值.【解題思路】（1）代入兩點，建立方程，根據ω>0,?φ<（2）根據題意得到平移后的函數解析式，結合函數的對稱性，得到θ=?3π8?kπ【解答過程】（1）由f(π4)=1又點(π4,1)由f(5π8)=0且上升、下降的兩段圖象相鄰，得5π8聯立解得ω=2，φ=?π4+2kπ,k∈Z，而當x∈0,π2時，2x?即f(x)在0,?π2（2）令將函數f(x)的圖象向右平移θ(θ>0)個單位后得到g(x)的圖象所以gx由題意g(x)的圖象曲線關于y軸對稱，即g(x)為偶函數，所以?2θ?π4=因為θ>0，所以當k=?1時，θ取得最小值π851．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函數fx

(1)求函數fx(2)若將fx的圖象向左平移π3個單位長度，再將所得圖象的橫坐標縮短到原來的12（i）求gx的解析式及g（ii）求gx在0,【解題思路】（1）由圖可知A=2，34T=5π12+π3，求出周期，再利用周期公式可求出（2）（i）根據三角函數圖象變換規律求出gx，進而可求gπ3；（ii）由0,【解答過程】（1）由圖可知，A=2，34T=5π12將點5π12,0代入fx=2又φ<π2，所以φ=?（2）（i）將fx的圖象向左平移π3個單位長度，得再將所得圖象的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得y=2cos4x+所以gπ（ii）因為x∈0,π6，所以0≤4x≤2π所以?1≤cos4x+π故gx在0,π652．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）已知函數f(x)=2cos(1)求f(x)的解析式；(2)若將f(x)圖象上每一點的橫坐標縮小到原來的12倍，得到函數g(x)，求g(x)在[【解題思路】（1）根據給定的函數圖象，結合“五點法”作圖求出f(x)的解析式.（2）由（1）的結論，求出函數g(x)，再利用余弦函數的性質求出值域.【解答過程】（1）觀察圖象知，函數f(x)的最小正周期T=43(由f(13π12)=2，得2×13所以f(x)的解析式是f(x)=2cos（2）由（1）知，f(x)=2cos(2x?π當x∈[π12,π3]，則4x?π因此當4x?π6=π，即x=7π24時，g所以g(x)在[π12,題型14題型14函數y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應用53．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知函數f(x)=cos(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間；(2)若把y=f(x)的圖像先向右平移π6個單位，再向上平移1個單位，得到y=g(x)的圖像，則當x∈[0,2π]時，求使得g(x)=2【解題思路】（1）先根據二倍角公式、輔助角公式化簡f(x)=2sin（2）先根據平移的規則求得g(x)=2sin【解答過程】（1）因為f(x)==3sin2x+cos2x=2令?π2+2kπ≤2x+π6所以函數f(x)的單調遞增區間為?π3+k（2）由題意，g(x)=2sin因為x∈[0,2π]，所以由g(x)=2sin2x?π所以2x?π6=π6或5π6或13π6或17π6，即所以x∈π54．（24-25高三上·北京順義·階段練習）已知函數fx(1)求函數fx(2)若函數fx向左平移φφ>0個單位后，所得函數gx（ⅰ）求φ的最小值；（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，若函數y=gx?mm∈R在區間【解題思路】（1）由三角恒等變換得f(x)=2sin（2）（ⅰ）由題意可得gx=f(x+φ)=2sin(2x+2φ?π（ⅱ）將（ⅰ）中φ值代入，求出函數gx在0,【解答過程】（1）解：因為f=23cosx由2kπ?π所以函數的單調遞增區間為：[kπ（2）解：（ⅰ）由題意可得gx又因為gx的圖象關于x=π8對稱，所以2×又因為φ>0，所以當k=0時，φmin（ⅱ）令y=gx?m=0，則gx=m，即y=gx又因為φ=5π24，所以g因為x∈0,11π24，所以2x+π即g(x)∈[?1,2]，所以m∈[?1,2].55．（24-25高三上·河南·期中）已知函數fx=sinπ2(1)求ω的值及fx(2)將fx圖象上的所有點的橫坐標向右平移π4個單位長度（縱坐標不變），再向上平移34個單位長度，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數gx的圖象，若函數?x【解題思路】（1）先利用誘導公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡函數式，再根據三角函數的圖象與性質計算即可；（2）根據三角函數圖象的變換求出gx【解答過程】（1）由f=3因為fx圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為π所以其最小正周期為T=4×π4=令?π2+2k（2）由題意可知將fx圖象上的所有點的橫坐標向右平移π再向上平移34個單位長度可得y=再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數gx當x∈π6,令t=gx，則條件可化為1?2m=2t2易知y=2t2?3t在0,34則1?2m∈?9856．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習）已知函數f(x)=3sin(ωx+φ)+1?2(1)求f(x)的解析式；(2)將函數f(x)的圖象向右平移π3個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的12（縱坐標不變），得到函數y=g(x)的圖象，當x∈[?π【解題思路】（1）利用三角恒等變換將函數f(x)化簡得f(x)=2sin(ωx+φ?π（2）由三角函數圖象變換得g(x)=2sin【解答過程】（1）依題意，函數f(x)=3由函數f(x)為奇函數，得φ?π6=kπ,k∈Z，又φ∈(0,由函數f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π，得f(x)的周期T=2πω所以函數f(x)的解析式是f(x)=2sin（2）將函數f(x)的圖象向右平移π3個單位長度，得y=2再把橫坐標縮小為原來的12，得到函數g(x)=2由方程g2(x)+33?g(x)+6=0，即sin(2x?π3)=?32，當x∈[?π4,π]時，即原方程有四個實數根，不妨設為x1因此2x解得x1+x題型15題型15三角函數的應用57．（24-25高三上·山東濟寧·期中）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為100m，轉盤直徑為90m，均勻設置了依次標號為1～48號的48個座艙．開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為H

(1)求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；(2)若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差?（單位：m）關于t的函數解析式