PAGEPAGE1課時作業31等比數列及其前n項和[基礎達標]一、選擇題1．[2024·益陽市，湘潭市高三調研]已知等比數列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，則eq\f(a7－a9,a5－a7)的值為()A．3B．5C．9D．25解析：設等比數列{an}的公比為q，則a4a7＝eq\f(a5,q)·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，eq\f(a7－a9,a5－a7)＝eq\f(a5q2－a7q2,a5－a7)＝q2＝25.故選D.答案：D2．[2024·湖北華師一附中聯考]在等比數列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，則a1＝()A．1B．±1C．2D．±2解析：因為數列{an}是等比數列，所以a2a3a4＝aeq\o\al(3,3)＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝eq\f(a3,q2)＝1，故選A.答案：A3．[2024·山東淄博模擬]已知{an}是等比數列，若a1＝1，a6＝8a3，數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項和為Tn，則T5＝()A.eq\f(31,16)B．31C.eq\f(15,8)D．7解析：設等比數列{an}的公比為q，∵a1＝1，a6＝8a3，∴q3＝8，解得q＝2.∴an＝2n－1.∴eq\f(1,an)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.∴數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項為1，公比為eq\f(1,2)的等比數列．則T5＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5,1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).故選A.答案：A4．[2024·福建廈門模擬]設等比數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，則λ＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：解法一當n＝1時，a1＝S1＝4＋λ.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此時eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2n＋1,2n)＝2.因為{an}是等比數列，所以eq\f(a2,a1)＝2，即eq\f(4,4＋λ)＝2，解得λ＝－2.故選A.解法二依題意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，因為{an}是等比數列，所以aeq\o\al(2,2)＝a1·a3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故選A.解法三Sn＝2n＋1＋λ＝2×2n＋λ，易知q≠1，因為{an}是等比數列，所以Sn＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)qn，據此可得λ＝－2.故選A.答案：A5．[2024·湖南湘潭模擬]已知等比數列{an}的前n項積為Tn，若a1＝－24，a4＝－eq\f(8,9)，則當Tn取最大值時，n的值為()A．2B．3C．4D．6解析：等比數列{an}的前n項積為Tn，由a1＝－24，a4＝－eq\f(8,9)，可得q3＝eq\f(a4,a1)＝eq\f(1,27)，解得q＝eq\f(1,3)，∴Tn＝a1a2a3…an＝(－24)n·q1＋2＋…＋(n－1)＝(－24)n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，當Tn取最大值時，可得n為偶數，當n＝2時，T2＝242·eq\f(1,3)＝192；當n＝4時，T4＝244·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))6＝eq\f(84,9)；當n＝6時，T6＝246·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))15＝eq\f(86,39)，則T6<T2<T4，又當n>6，且n為偶數時，Tn<T6，故n＝4時，Tn取最大值．故選C.答案：C二、填空題6．[2024·武漢市中學調研]已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，a2＋a5＝4，則a8＝________.解析：因為S3，S9，S6成等差數列，所以公比q≠1，eq\f(21－q9,1－q)＝eq\f(1－q3,1－q)＋eq\f(1－q6,1－q)，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－eq\f(1,2)，故a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝4，解得a2＝8，故a8＝8×eq\f(1,4)＝2.答案：27．[2024·廣州市高三調研]在各項都為正數的等比數列{an}中，若a2018＝eq\f(\r(2),2)，則eq\f(1,a2017)＋eq\f(2,a2019)的最小值為________．解析：設公比為q(q>0)，因為a2018＝eq\f(\r(2),2)，所以a2017＝eq\f(a2018,q)＝eq\f(\r(2),2q)，a2019＝a2018q＝eq\f(\r(2),2)q，則有eq\f(1,a2017)＋eq\f(2,a2019)＝eq\r(2)q＋eq\f(2,\f(\r(2),2)q)＝eq\r(2)q＋eq\f(2\r(2),q)≥2eq\r(2)eq\r(q×\f(2,q))＝4，當且僅當q2＝2，即q＝eq\r(2)時取等號，故所求最小值為4.答案：48．[2024·石家莊檢測]設公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2，a5，a11成等比數列，且a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，則m＋n的值是________．解析：設等差數列{an}的公差為d(d≠0)，因為a2，a5，a11成等比數列，所以aeq\o\al(2,5)＝a2a11，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)·d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化簡得(m＋n＋3)·(m－n)＝12，因為m>n>0，m，n∈N*，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,m＋n＋3＝12))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝2，,m＋n＋3＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)))(舍去)，所以m＋n＝9.答案：9三、解答題9．[2024·全國卷Ⅱ]已知等差數列{an}的前n項和為Sn，等比數列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項公式；(2)若T3＝21，求S3.解析：設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②聯立①和②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝3，,q＝0))(舍去)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝1，,q＝2.))因此{bn}的通項公式為bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.當q＝－5時，由①得d＝8，則S3＝21.當q＝4時，由①得d＝－1，則S3＝－6.10．[2024·全國卷Ⅲ]等比數列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項公式；(2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m.解析：(1)設{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝eq\f(1－－2n,3).由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數解．若an＝2n－1，設Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.[實力挑戰]11．[2024·武漢市武昌區高三調研]等比數列{an}的前n項和為Sn，若對隨意的正整數n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，則a1的值為()A．－3B．1C．－3或1D．1或3解析：設等比數列{an}的公比為q，當q＝1時，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若對隨意的正整數n,3a1n＝2a1－3恒成立，則a1＝0且2a1－3＝0，沖突，所以q≠1，所以Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，Sn＋2＝eq\f(a11－qn＋2,1－q)，代入Sn＋2＝4Sn＋3并化簡得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若對隨意的正整數n該等式恒成立，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－q2＝0，,3＋3a1－3q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,q＝－2，))故a1＝1或－3，故選C.答案：C12．[2024·北京卷]“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從其次個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于eq\r(12,2).若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為()A.eq\r(3,2)fB.eq\r(3,22)fC.eq\r(12,25)fD.eq\r(12,27)f解析：本題主要考查等比數列的概念和通項公式及等比數列的實際應用．由題意知，十三個單音的頻率構成首項為f，公比為eq\r(12,2)的等比數列，設該等比數列為{an}，則a8＝a1q7，即a8＝eq\r(12,27)f，故選D.答案：D13．[2024·浙江卷]已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，則()A．a1<a3，a2<a4B．a1>a3，a2<a4C．a1<a3，a2>a4D．a1>a3，a2>a4解析：本小題考查等比數列的概念和性質，利用導數求函數的單調性和最值，不等式的性質和分類探討思想．設f(x)＝lnx－x(x>0)，則f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得x>1，∴f(x)在(0,1)上為增函數，在(1，＋∞)上為減函數，∴f(x)≤f(1)＝－1，即有lnx≤x－1.從而a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，∴a