高三數學總復習易錯題分析

高中數學總復習

經典易錯題會診

與

試題預測

目錄

考點1集合與簡易邏輯

經典易錯題會診

命題角度1集合的概念與性質

命題角度2集合與不等式

命題角度3集合的應用

命題角度4簡易邏輯

命題角度5充要條件

探究開放題預測

預測角度1集合的運算

預測角度2邏輯在集合中的運用

預測角度3集合的工具性

預測角度4真假命題的判斷

預測角度5充要條件的應用

考點2函數（一）經典易錯題會診

命題角度1函數的定義域與值域

命題角度2函數單調性的應用

命題角度3函數的奇偶性與周期性的應用

命題角度4反函數的概念與性質的應用

探究開放題預測

預測角度1借助函數單調性求函數最值或證明不等式

預測角度2綜合運用函數奇偶性、周期性、單調進行命題

預測角度3反函數與函數性質的綜合

考點3函數（二）

經典易錯題會診

命題角度1二次函數的圖象與性質的應用

高三數學總復習易錯題分析

命題角度2指數函數與對數函數的圖象與性質的應用

命題角度3函數的應用

探究開放題預測

預測角度1二次函數閉區間上的最值的問題

預測角度2三個“二次”的綜合問題

預測角度3含參數的對數函數與不等式的綜合問題

考點4數列

經典易錯題會診

命題角度1數列的概念

命題角度2等差數列

命題角度3等比數列

命題角度4等差與等比數列的綜合

命題角度5數列與解析幾何、函數、不等式的綜合

命題角度6數列的應用

探究開放題預測

預測角度1數列的概念

預測角度2等差數列與等比數列

預測角度3數列的通項與前n項與

預測角度4遞推數列與不等式的證明

預測角度5有關數列的綜合性問題

預測角度6數列的實際應用

預測角度7數列與圖形

考點5三角函數

經典易錯題會診

命題角度1三角函數的圖象與性質

命題角度2三角函數的恒等變形

命題角度3三角函數的綜合應用探究開放題預測

預測角度1三角函數的圖象與性質

預測角度2運用三角恒等變形求值

預測角度3向量與三角函數的綜合

考點6平面向量

經典易錯題會診

命題角度1向量及其運算

命題角度2平面向量與三角、數列

命題角度3平面向量與平面解析幾何

命題角度4解斜三角形

探究開放題預測

預測角度1向量與軌跡、直線、圓錐曲線等知識點結合

預測角度2平面向量為背景的綜合題

考點7不等式

經典易錯題會診

命題角度1不等式的概念與性質

命題角度2均值不等式的應用

命題角度3不等式的證明

命題角度4不等式的解法

命題角度5不等式的綜合應用

高三數學總復習易錯題分析

探究開放題預測

預測角度1不等式的概念與性質

預測角度2不等式的解法

預測角度3不等式的證明

預測角度4不等式的工具性

預測角度5不等式的實際應用

考點8直線與圓

經典易錯題會診

命題角度1直線的方程

命題角度2兩直線的位置關系

命題角度3簡單線性規劃

命題角度4圓的方程

命題角度5直線與圓

探究開放題預測

預測角度1直線的方程

預測角度2兩直線的位置關系

預測角度3線性規劃

預測角度4直線與圓

預測角度5有關圓的綜合問題

考點9圓錐曲線

經典易錯題會診

命題角度1對橢圓相關知識的考查

命題角度2對雙曲線相關知識的考查

命題角度3對拋物線相關知識的考查

命題角度4對直線與圓錐曲線相關知識的考查

命題角度5對軌跡問題的考查

命題角度6考察圓錐曲線中的定值與最值問題

探究開放題預測

預測角度1橢圓

預測角度2雙曲線

預測角度3拋物線

預測角度4直線與圓錐曲線

預測角度5軌跡問題

預測角度6圓錐曲線中的定值與最值問題

考點10空間直線與平面

經典易錯題會診

命題角度1空間直線與平面的位置關系

命題角度2空間角

命題角度3空間距離

命題角度4簡單幾何體

探究開放題預測

預測角度1利用三垂線定理作二面角的平面角

預測角度2求點到面的距離

預測角度3折疊問題

考點11空間向量

經典易錯題會診

高三數學總復習易錯題分析

命題角度1求異面直線所成的角

命題角度2求直線與平面所成的角

命題角度3求二面角的大小

命題角度4求距離

探究開放題預測

預測角度1利用空間向量解立體幾何中的探索問題

預測角度2利用空間向量求角與距離

考點12排列、組合、二項式定理經典易錯題會診

命題角度1正確運用兩個基本原理

命題角度2排列組合

命題角度3二項式定理

探究開放題預測

預測角度1在等可能性事件的概率中考查排列、組合

預測角度2利用二項式定理解決三項以上的展開式問題

預測角度3利用二項式定理證明不等式

考點13概率與統計

經典易錯題會診

命題角度1求某事件的概率

命題角度2離散型隨機變量的分布列、期望與方差

命題角度3統計探究開放題預測

預測角度1與比賽有關的概率問題

預測角度2以概率與統計為背景的數列題

預測角度3利用期望與方差解決實際問題

考點14極限

經典易錯題會診

命題角度1數學歸納法

命題角度2數列的極限

命題角度3函數的極限

命題角度4函數的連續性

探究開放題預測

預測角度1數學歸納法在數列中的應用

預測角度2數列的極限

預測角度3函數的極限

預測角度4函數的連續性

考點15導數及其應用

經典易錯題會診

命題角度1導數的概念與運算

命題角度2導數幾何意義的運用

命題角度3導數的應用

探究開放題預測

預測角度1利用導數的幾何意義

預測角度2利用導數探討函數的單調性

預測角度3利用導數求函數的極值與最

考點16復數

經典易錯題會診

命題角度1復數的概念

高三數學總復習易錯題分析

命題角度2復數的代數形式及運算

探究開放題預測

預測角度1復數概念的應用

預測角度2復數的代數形式及運算

答案與解析

答案與解析

考點-1

集合與簡易邏輯

YTCUOTITANJIUTIKAIFANGTI

集合的概念與性質集合與不等式

集合的應用簡易邏輯

充要條件集合的運算

邏輯在集合中的運用集合的工具性

真假命題的判斷充要條件的應用

經典易錯題會診

命題角度1集合的概念與性質

1.（典型例題）設全集U=R,集合M={x|x>l},P={x|x2>l}，則下列關系中正確的就是)

A、M=PB.PuM

C、MuPD.CiMDP=0

［考場錯解］D

［專家把脈］忽視集合P中,x<-l部分.

［對癥下藥］C；x2>l；.x>l或x<-l.故MuP.

2.（典型例題）設P、Q為兩個非空實數集合,定義集合P+Q={a+bIaeP,beQ},若P{0,2,5},Q={1,2,6},

則P+Q中元素的個數就是（）

A.9B.8

C.7D.6

［考場錯解］AP中元素與Q中元素之與共有9個.

［專家把脈］忽視元素的互異性,即與相等的只能算一個.

［對癥下藥］BP中元素分別與Q中元素相加與分別為1,2,3,4,6,7,8,11共8個.

3.（典型例題）設f（n）=2n+l（neN）,P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},記戶={neN|f（n）eP},Q=

{neN|f（n）e

則（戶nc@u（One工）等于（）

A.{0,3}B.{1,7}

C.{3,4,5}D.{1,2,6,7）

［考場錯解］DPn&Q={6,7}.QnC#={1,2}.故選D.

［專家把脈］未理解集合戶的意義、

［對癥下藥］BVP={1,3,5）.Q={3,5,71.APnCNe={1K1nCw0={7}.故選B.

4.（典型例題）設A、B為兩個集合，下列四個命題：

①ABo對任意xeA,有xwB;②ABoAC|B=。;③ABoAB;④人80存在*一，使得x《B、其

中真命題的序號就是____、

［考場錯解］；AB,即A不就是B的子集，對于xeA,有x史B;AQB=0,故①@④正確.

［專家把脈］對集合的概念理解不清.TAB,即A不就是B的子集，但就是A,B可以有公共部分,即存在

xeA,使得B、不就是對任意xd,有*任B,故④正確.“AB”就是“任意x€人,有乂史8”的必要非

高三數學總復習易錯題分析

充分條件.②同①、

［對癥下藥］畫出集合A,B的文氏圖或舉例A={1,2},B={2,3,4},故①、②均不成立,③A{1,2,3},B=

{1,2},，AB但BQA,故也錯、只有④正確，符合集合定義.故填④

5.(典型例題I)設A、B、I均為非空集合，且滿足AgBuL則下列各式中錯誤的就是()

A.(CiA)UB=I

B.(GA)U(GB)=I

C.An(CiB)—0

D.(CiA)n(C,B)=CiB

［考場錯解］因為集合A與B的補集的交集為A,B的交集的補集.故選D.

［專家把脈］對集合A,B,I滿足AuBuI的條件,即集合之間包含關系理解不清.

［對癥下藥］如圖就是符合題意的韋恩圖、

從圖中可觀察A、C、D均正確，只有B不成立.或運用特例法,如A={1,2,3),B={1,2,3,4),Ml,2,3,4,5).

逐個檢驗只有B錯誤.

專家會診

1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別就是集合中元素的三要素;對于用描述法給出的

集合{x|xeP},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質P；要重視發揮圖示法的作用，充分運

用數形結合(數軸，坐標系，文氏圖)或特例法解集合與集合的包含關系以及集合的運算問題，直觀地解決問

題.

2.注意空集。的特殊性,在解題中，若未能指明集合非空時,要考慮到空集的可能性，如AcB,則有A=0

或Ax。兩種可能，此時應分類討論.

考場思維訓練

1全集U=R，集合M={1,2,3,4},集合加卜口4不匕則Mn(QN)等于()

A.{4}B.(3,4}

C.(2,3,4}D.{1,2,3,4}

答案:B解析：由N=］x|xVs!—J^N=k|xvVl)+l,G：N=k|xAVi+lb.Mc(QN)={3,4}

2設集合M={x|x=3m+l,mGZ},N=y|y{=3n+2,nGZ},若xoGM,y°e集則x°yo與集合M,N的關系就是

()

A、xoyoWMB.xoyo走MMM

C^xoyo^ND.xoyoN

答案：C解析：?/

XoeMxo=3m+L%eNyo=3〃+2,「.=(3m+1)(3〃+2)=9mn+6m+3〃+2=3(3nm+2m+〃)+2tN.故選C.

3設M={x|x4a,aWR},N={y|y=31xeR},則()

A.MAN=0B.M=N

C、Mz>ND、MuN

答案:B解析:M二卜|x=4",aw/?}=A/={x|x>0}={y|y>()}=N.選5

4已知集合A二{0,2,3},B={x|x二ab,a、beA且aKb},則B的子集的個數就是()

A.4B.8C.16D.15

答案:解析：???B={0,6},它的子集的個數為22=4。

5設集合M={(x,y)Ix=(y+3)?|y-l|+(y+3),，若(a,b)《M,且對M中的其她元素(c,d),

總有c2a,則a=、

答案:解析:依題可知，本題等價于求函數不勝數x=f(y)=(y+3)、|y-l|+(y+3)在wyK3時的最小值.

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(1)當一|^,?1時/=('+3)(1-)')+(y+3)=-)，2_)，_6=-('+；)2+等，所以y=_1?時,小訪=》.

1Wy<3

時，x=(y+3)(y-l)+(y+3)=y2+3y=(y+:)?-g,所以當y=1時,小布=4.而4>:，因此當y=-￡時,x有最小值，即a=

命題角度2集合與不等式

L(典型例題)集合A=L|—^0,8二}日4|<2=,若'，=1"就是"AGBW0”的充分條件,則b的

[x+1

取值范圍就是()

A.—2Wb<2B.—2<bW2

C.-3<b<-lD.-2<b<2

［考場錯解］A當a=l時,A={x|TVx〈l=;S.B={x|bTVxVb+l=.APIBW0、bT<l且b+l》T、

故-2Wb<2....只有A符合.

［專家把脈］ACBW0時,在點T與1處就是空心點，故不含等于.

［對癥下藥］D當a=l時,A={x［T<x<l=.B={x［bT<x<b+l=.此時ACB#0的充要條件就是bT

<1且b+l>-l.即-2<b<2.故只有D符合.

2.(典型例題)⑴設集合A={x|4xT29,x6R},1Hx|喜河xCR},則AOB一

［考場錯解］

［專家把脈］—^0.\x(x+3)20.而此時x+3W0.故不含x=-3.

x+3

［對癥下藥］A={x|xW-3或x-2}.B={x|x-3或x》0}....ADB=W-3或xN、}.

22

3.(典型例題)已知f(x)=4(xGR)在區間［T,1］上為增函數.

(1)求實數a的值所組成的集合A;

(2)設關于x的方程f(x)=，的兩根為xi,xz,試問：就是否存在實數m,使得不等式mUtm+l'IxLxj對任

X

意aGA及te［T,1］恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

［考場錯解］(1)因為f(x)="(xWR),所以f(x)=-2x2+2^+4,依題意f(x)20在［-1,1］上恒成

立，即2x?-2aX-4W0在［-1,1］上恒成立.

當x=0時,adR;當0<xW1時,a》x-2恒成立,又y=x-2在(0,1)上單調遞增,所以y=x-2的最大值為

XXX

-1,得a^-1,當T〈x〈O時x-工恒成立，由上知a〈L綜上:a￡R(注意應對所求出的a的范圍求交集).

x

(2)方程f(x)=，變形為x2-ax-2=0,|x「X2|=77n,又TWaWl,所以以-也|=廬^的取大值為

X

3,m'tm+12|x「X21對任意a￡A及［T,1］恒成立等價于m2+tm+1^3在［T,1］恒成立，當m=0時，顯

229

然不成立，當m>0時，上工恒成立，所以T2上也，解得m》2;當m<0時，tW上仁恒成立，所以1W

inmm

仝近，解得mW-2.

m

綜上:故不存在實數m,使得不等式m,tm+12|x「X21對任意a￡A及te［T,1］恒成立.

［專家把脈］⑴討論x求參數的范圍,最后應求參數的交集而不就是并集.因為xe［T,1］時,f(x)2

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0恒成立.(2)注意對求出的m的值范圍求并集而不就是交集.

［對癥下藥］(1)因為f(x)==(xGR),所以f'a)=凸±『，依題意f'(X)》。在［-1,1］上

x2+2*2+2)2

恒成立，即2xZ-2ax-4W0在［-1,1］上恒成立.

當x=0時,aWR;當(KxWl時,aex-2恒成立，又y=x-2在(0,1)上單調遞增，所以y=x-3的最大值為

XXX

-1,得a2T;當TWx<0時aWx-2恒成立，由上知aWL綜上WaWl(注意應對所求出的a的范圍求交集).

x

(2)方法1:方程f(x)=L變形為x2-ax-2=0,|x「X21二J/+8,又TWaWl,所以|x「X21二日藐的最大值

x

為3,m2+tm+l^|XLX21對任意a￡A及［T,1］恒成立等價于m2+tm+l>3在tW［-1,1］恒成立,當m=0為

222

顯然不成立，當m>0時,t》2把恒成立，所以-12二江，解得m22;當m<0時,t〈三工恒成立，所以

mmm

l〈jck2,解得mW-2.

tn

綜上:存在實數m,使得不等式m,+tm+l^lxi-xzl對任意aGA及te［T,1］恒成立,m的取值范圍就是

{m|m22或mW-}2(注意對求出的m的取值范圍求并集).

方法2:方程f(x)="!■變形為x'-ax-2=0,1xi-X2|=J/+8,又TWaWl,所以Ix「X2|=J/+8的最大值為

X

3,m'+tm+l》|x「X21對任意aeA及te［T,1］恒成立等價于m2+tm+l>3在te［T,l］恒成立，令

g(t)=tm+n/-2,有g(-l)=m?+m-2>0,g(l)=m'-m-2^0,解得{m|m22或mW-2}.(注意對求出的m的取值范圍

求交集).

專家會診

討論參數a的范圍時,對各種情況得出的參數a的范圍，要分清就是“或”還就是“且”的關系,就是“或”

只能求并集，就是“且”則求交集、

考場思維訓練

1設［x］表示不超過x的最大整數，則不等式［xy-5［x］+6<0的解集為()

A.(2,3)B.［2,3］

C.［2,4］D.［2,4］

答案:C解析：由［x］2-5［x］+6W0,解得2W［x］W3,由［x］的定義知2Wx<4所選C、

2已知不等式成立的充分非必要條件就是:yxy；,則實數m的取值范圍就是()

2口、了小

/?-!<—

314

答案:B解析:因不等式|x-m|<l等價于m-Kx<m+l,依題意有.——<m<—,J9f以選A

23

4-1>—

2

3設A、B就是兩個集合,定義A-B={x|xWA,且x（sB}.若M={x|x+lW2},N={x|x=sina|ae等R},則M-N

等于（）

A.[-3,1]B.[-3,0]

C.[0,1]D.[-3,0]

答案:B

高三數學總復習易錯題分析

4已知集合人=履|(x-2)[x-(3a+l)]V0=,B={xr'YO}、

x-(a1+1)

⑴當a=2時，求ACB;

(2)求使BqA的實數a的取值范圍.

解析:⑴當a=2時,A=(2,7),B=(4,5)，AcB=(4,5).

(2)B=(2a,a2+1),當a<■!■時A=(3a+I,2)要使8uA,必須此時“=-]；當“=」時瓜=。使

3—L2+l<23

2a>2

BcA的〃不存在;當a>g時,A=(2,3a+1)要使BcA,必須此時1—

a2+1<3a+1

綜上可知,使Bu4的實數a的取值范圍為［1,3］u|-l|

命題角度3集合的應用

1.(典型例題)3就是正實數，設S“={0|f(x)=cos［3(x+。)］就是奇函數}，若對每個實數a,S?n

(a,a+1)的元素不超過2個，且有a使S“n(a,a+1)含2個元素,則3的取值范圍就是、

［考場錯解］(",2n)

［專家把脈］Va使S...D(a,a+1)含兩個元素,如果包>1時,則超過2個元素,注意區間端點.

(O

［對癥下藥］由s.n(a,a+l)的元素不超過兩個，.?.周期得義3>“又?.?有a使S/(a,a+1)

含兩個元素，.??紅周期21.,3W231.故36(n,2It).

CO

2.(典型例題)設函數f(x)=-—(xGR),區間M=［a,b］(a<b),集合N={y|y=f(x),xGM},則使M=N成

l+|x|

立的實數對(a,b)有()

A、0個B.1個

C、2個D.無數多個

［考場錯解］D???y=f(x)就是奇函數，不妨設x>O.f(x)=-l+—L,...f(x)在(0,+8)上為減函數，即

X+1

ym(x)在［a,b］上為減函數，，產f(x)的值域為二,」-,???N￡

Li+i^ii+i^ij

-b-a

」+1力門+I〃L

；M=N,且b<上一,故有無數組解.

-1+1*11+1?1

［專家把脈］錯誤地理解了M=N,只就是M^N,忽視了M=N,包含McN與

N=M兩層含義.

-1H-------(X20)

［對癥下藥］：f(x)=x+1,；y=f(x)在［a,b］上為減函數，y=f(x)的值域為二二^

-1+_L(XYO)U+I61+MI」

VN={y|y=f(x)},；.N表示f(x)的值域-b

-b

a=--------

；.M=N,1+Wna=b,而已知a<b,...滿足題意的a、b不存在，故選A、

,-a

b=--------

l+l〃l

高三數學總復習易錯題分析

3.(典型例題)記函數f的定義域為A,g(x)=lg［(x-aT)(2a-x)］(a〈l)的定義域為B、

Vx+\

⑴求A;

(2)若BgA,求實數a的取值范圍.

［考場錯解］(1)由2-生口20,得x〈T或xel....AXxlxGl或x》l}

x+\

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,f#(x-a-l)(x-2a)<0.Va<l,Aa+l>2a,/.B=(2a,a+1)

VBGA，2a>l或a+lWT；.a>L或aW-2又；a<l...aW-2或La〈l

22

［專家把脈］利用集合的包含關系時,忽視了端點的討論.

［對癥下藥］⑴由2-*N0,得x<T或x》l.

x+\

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,(x-a-1)(x-2a)<0.Va<l,Aa+l>2a,/.B=(2a,a+1)

；BaA,；.2a》l或a+lWT,即a'；或aW-2,而a〈l,；Wa<l或a<-2,故當BcA時，實數a的范

圍就是(-8,-2)

專家會診

集合與不等式、集合與函數、集合與方程等，都有緊密聯系、因為集合就是一種數學工具、在運用時

注意知識的融會貫通、有時要用到分類討論,數形結合的思想、

考場思維訓練

1已知集合知以|62-2"+1=0,*+1?}任=叮以2-*+1=0,*+*番人1^=0,則@的值為()

A.0B.1C.0或1D.0或4

答案:B解析：AUB=0,...A=0且B=0,由A=0得a=0或1;由B=。得a>0且△<(),解得a>—

4

2設集合P={3,4,5},Q={4,5,6,7}定義P※Q={(a,b)|aGp,bGQ,則P※Q中元素的個數為()

A.3B.4C.7D.12

答案:D

3已知關于x的不等式留Y0的解集為M

(l)a=4時,求集合M;

答案：⑴當a=4時,原不等式可化為4B<0,即4&-9)(》-2)<0,.”€(-0,-2)59.2),故時為(田,-2)59,2).

X2-4444

(2)若3GM且5《M,求實數a的取值范圍.

答案:由3eM得^^<0,.'.a>9或"工，①

32-a3

由5任M得②

52-a

由①、②得IV"g,或9<a<25.因此a的取值范圍是［1令59,25).

命題角度4簡易邏輯

1.(典型例題)對任意實數a、b、C,給出下列命題:

①“a=b”就是"ac=bc”的充要條件;②“a+5就是無理數”就是“a就是無理數”的充要條件;③“a>b”

就是“a2>b2”的充分條件;④“a是”就是“a是”的必要條件.

其中真命題的個數就是()

A.1B.2C.3D.4

高三數學總復習易錯題分析

［考場錯解］D

［專家把脈］忽視①中c=0的情況,③中a,b小于0的情況.

［對癥下藥］B①中c=0時,非必要條件;③中0>a>b時，非充分條件，②④正確.

2.(典型例題)給出下列三個命題

①若aeb>T,則，—2-^-

1+a\+b

②若正整數m與n滿足mWn,則師二而<；

③設P(x“yj為圓Oi:x2+y2=9上任一點,圓0?以Q(a,b)為圓心且半徑為1.當(a-xj?+(b-yM=l時,圓Oi

與圓Oz相切

其中假命題的個數為()

A.0B.1C.2D.3

［考場錯解］A

［專家把脈］③中(a-xM+(b-yM=l時,即圓Oz與Oi上任一點距離為1,并不一定相切.

［對癥下藥］B

3.(典型例題)設原命題就是“已知a,b,c,d就是實數,若a=b,c=d,則a+c=b+d”，則它的逆否命題就是

()

A、已知a,b,c,d就是實數,若a+cWb+d,則aWb且cWd

B、已知a,b,c,d就是實數,若a+cWb+d,則aWb或cWd

C^若a+cWb+d,則a,b,c,d不就是實數，且a#b,c#d

D、以上全不對

［考場錯解］A

［專家把脈］沒有分清“且”的否定就是“或"，“或”的否定就是“且”、

［對癥下藥］B逆否命題就是“已知a,b,c,d就是實數,若a+cWb+d,則aWb或cHd”.

4.(典型例題)已知c>0,設P:函數y=c*在R上單調遞減;Q:不等式x+|x-2c|>l的解集為R,如果P與Q

有且僅有一個正確,求c的取值范圍.

［考場錯解］由函數y=/在R上單調遞減,得0<cG;???x+1x-2c|=*2c,所以函數y=x+1x，2c|

12GxY2c

在R上的最小值為2c,因為不等式x+|x-2c|>l的解集為R,所以2c>1,得c>L

2

如果P真，得0<c〈l,如果Q真,則c>~.

2

所以c的取值范圍就是(0,+8),

［專家把脈］將P與Q有且僅有一個正確，錯誤理解成P正確或Q正確.

［對癥下藥］由函數y=c”在R上單調遞減，得0<c<l;：x+b2c|=fx-2c，x‘矢所以函數y=x+|x-2c|

［2c,xY2c

在R上的最小值為2c,因為不等式x+|x-2c|>l的解集為R,所以2c>1,得c>l.

如果P真Q假,則0<cW-;如果Q真P假,則c》l.

2

所以c的取值范圍就是(0,1)U［l,+°o］

2

專家會診

1.在判斷一個結論就是否正確時,若正面不好判斷,可以先假設它不成立,再推出矛盾,這就就是正難則

反.

2.求解范圍的題目，要正確使用邏輯連結詞，“且”對應的就是集合的交集，“或”對應的就是集合的并

高三數學總復習易錯題分析

集.

考場思維訓練

1已知條件P：Ix+11>2,條件q:5x-6>x；則rp就是rq的()

A、充要條件B.充分但不必要條件

C、必要但不充分條件D、既非充分也非必要條件

答案：B解析:p:x<-3或x>l,q:2<x<3,則q就是p的充分但不必要條件,故就是飛的充分但不必要條件。

2

2已知命題p:函數logo.5(x+2x+a)的值域為R,命題q:函數y=-(5-2a)*就是減函數.若p或q為真命題,p

且q為假命題，則實數a的取值范圍就是()

A.aWlB.a<2

C.Ka<2D.aWl或a22

1.答案:解析:命題p為真時，即真數部分能夠取到大于零的所有實數,故二次函數x2+2x+a的判別式4=

4—4a20,從而aWl;命題q為真時，5-2a〉l=a<2、

若P為真,q為假時,無解;若P為假,q為真時,結果為Ka<2,故選C、

3如果命題P:0W{0},命題Q:0u{0},那么下列結論不正確的就是()

人、"或《'為真B."P且Q”為假

C.“非P”為假D.“非Q”為假

答案:B

4已知在x的不等式0<x2-4<6x-13a的解集中，有且只有兩個整數,求實數a的取值范圍.

答案：解析：原不等式等價于

x>2s%x>-2、_912

\,，今“x)=/-6x+13a,畫出“X)的函數圖象由已知可得'(4)<0/(5)20,解得二

［x2-6.r-4+l3a<01313

5已知命題p:方程a2x2+ax-2=0在［T,1］上有解;命題q:只有一個實數x滿足不等式x，2ax+2aW0,若

命題“P或q就是假命題,求a的取值范圍.

答案:解析：由aY+ax-2=0,得案x+2)(axT)=0,顯然aWO.*.x=--s!?=-Vxe［-l,l］,Sfc|-1<lg￡|—1￡1,.\!a1

aaaa

“只有一個實數滿足x?+2ax+2aW0”、即拋物線y=x、2ax+2a與x軸只有一個交點，

4a2-8a=0,.*.a=0或2,.?.命題“p或q為真命題”時“|a|或a=0":命題“p或q”為假命

題.二a的取值范圍為{a|-1<a<O@S；O<a<1)

命題角度5充要條件

1.(典型例題)“m=；”就是“直線(m+2)x+3my+l=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的()

A、充分必要條件B.充分而不必要條件

C、必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

［考場錯解］A

［專家把脈］當兩直線垂直時,A也+BR=0,mJ4+3m(m+2)=0,即m=，或m=-2;故不就是充分必要條件.

2

［對癥下藥］B當m=，時兩直線垂直.兩直線垂直時m=，或m=-2,故選B.

22

2.(典型例題)設定義域為R的函數f(x)=［"glxT"'x*!,則關于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不

［0,x=l

同實數解的充要條件就是()

A.b<0且c>0B.b>0且c<0

C.b<0且c=0D.b20且c=0

［考場錯解］BA=b2-4ac.當c<0時,A>0.故f(x)有兩個不同實根，；.x有7個不同根.

［專家把脈］Vf(x)的根為正時,x有4個不同實根.應考慮f(x)的根的正負.

高三數學總復習易錯題分析

［對癥下藥］C當x=l時f(x)=O,.*.?=().

當xWl時,f(x)=|lg|xT「，；.f"x)+bf(x)+c=lg1xT|+b|lg|x-l'|=0.即，|lg|xT||(lg|x-l|+b)=0,

lglx-11=0或lg|x-1|=-b,.\x=2或x=0或lg|x-l|=-b0/.b<0.①式有4個不同實根故c=0且b<0,

恰有7個不同實根

3.(典型例題)若非空集合MuN,則aGM或a￡N就是aG(MCIN)的()

A、充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

［考場錯解］aS(MAN)的意思就是aGM且aeN,所以aGM或aGN不能推出a6(MAN),同樣aG(M

AN)也不能推出aGM或aCN,所以aGM或aCN就是aG(MAN)的既不充分也不必要條件,所以選D.

［專家把脈］“或”與“且”理解錯誤,邏輯中的“或”與生活中的“或”有區別,aGM或aGN包括

三種：aGM但a任N;aGN但a任M;a《M且a《N、所以(MAN)可以推得a《M或aWN、

［對癥下藥］ae(MAN)的意思就是aGM且aGN,而aGM或aCN包括三種:aGM但a《N;aGN但aeM;a

GM且adN,所以adM或aCN不能推出a€(MAN);aG(MC1N)可以推得aGM或a^N、所以選B.

2

4.(典型例題)設命題p:關于x的不等式aN+bix+cA0與a2x+b2x+c2>0的解集相同；命題q：生=久=包,

?2gc2

則命題P就是命題g的()

A、充分但不必要條件

B.必要但不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［考場錯解］因為"=久=紅，所以不等式a*+bix+cM與a4+bzx+cDO就是等價的不等式,解集相同,

。2b?c2

22

所以q能推出p而不等式a1X+b,X+c,>0與a2x+b2x+c2>0的解集相同不能得出"=義■，所以選B.

〃23c2

［專家把脈］因為a=h=且若為與a2的符號不同,這時aN+bx+cDO與azx'bzx+cz)。的解集不相同，

〃2”2c2

如-x、3x-2>0與X2-3X+2>0,盡管幺=6=且=-1,但它們的解集不相同，所以q不能推出P、

。2%。2

22

［對癥下藥］因為"=久=幺?，若ai與a2的符號不同，這時aix+bix+ci>0與a2X+b2x+c2>0的解集不相

〃2^2

同，所以q不能推出P；不等式X2+X+3>0與x、l>0的解集相同，但幺片久=3,所以p不能推出q,所以選

〃23c2

D.

專家會診

(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念:當“若p則q”形式的命題為真時,就記作pnq稱p就是

q的充分條件,同時稱q就是P的必要條件,因此判斷充分條件或必要條件就歸結為判斷命題的真假、

(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“。”要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當且僅當”，

“必須并且只需”，”……，反之也真”等.

(3)數學概念的定義具有相稱性，即數學概念的定義都可以瞧成就是充要條件，既就是概念的判斷依據，

又就是概念所具有的性質.

(4)從集合觀點瞧,若A^B,則A就是B的充分條件,B就是A的必要條件;若A=B,則A、B互為充要條依、

(5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條

件的必要性).

考場思維訓練

1設ab、就是非零向量，則使a?b=|a||b成立的一個必要非充分條件就是()

A.a=bB.a±b

高三數學總復習易錯題分析

C.a〃bD.a=Xb(>0)

答案：C解析：由a-b=|a||b|可得2〃1);但a〃b,a?b=±'a||b|,故使a-b=|a||b|成立的一個必要充

分條件就是:a〃b、故選C、

2若條件甲：平面a內任一直線平行于平面B,條件乙：平面a〃平面B,則條件甲就是條件乙的

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C、充要條件

D.既不充分又不必要條件

答案:C解析：甲乙可以互推。選C、

3、己知函數f(x)=ax+b(OWx<l),則a+2b>0就是f(x)>0在［0,1］上恒成立的()

A、充分不必要條件

B、必要不充分條件

C、充要條件

D、既非充分又非必要條件

答案:B解析：：f(x)>0在［0,1］上恒成立=a+2b>0,但a+2b>0推不出f(x)>0在［0,1］上恒成立。

4命題命題B:(x+2)(x+a)<0,若A就是B的充分不必要條件，則a的取值范圍就是()

A.(4,+°°)B.［4,+°°］

C.(-8,-4)D.(-8,-4)

答案：C

探究開放題預測

預測角度1集合的運算

1.設I就是全集,非空集合P、Q滿足PgQgI,若含P、Q的一個運算表達式,使運算結果為空集,則這

個運算表達式可以就是；如果推廣到三個,即PaQaRaL使運算結果為空集,則這個運算表達式可

以就是_______、(只要求寫出一個表達式).

［解題思路］畫出集合P、Q、I的文氏圖就可以瞧出三個集合之間的關系，從它們的關系中構造集合表

達式，使之運算結果為空集.

［解答］畫出集合P、Q、1的文氏圖，可得滿足PuQuI,含P、Q的一個運算表達式，使運算結果為空集

的表達式可以就是PC(GQ)；同理滿