第02講玩轉立體幾何中的角度、體積、距離問題【題型歸納目錄】題型一：異面直線所成的角題型二：線面角題型三：二面角題型四：距離問題題型五：體積問題【知識點梳理】知識點1、求點線、點面、線面距離的方法（1）若P是平面外一點，a是平面內的一條直線，過P作平面的垂線PO，O為垂足，過O作OA⊥a，連接PA，則以PA⊥a．則線段PA的長即為P點到直線a的距離（如圖所示）．（2）一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫直線與平面的距離．（3）求點面距離的常用方法：①直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個直角三角形來求解．②轉移法：借助線面平行將點轉移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解．③體積法：利用三棱錐的特征轉換位置來求解．知識點2、異面直線所成角的常用方法求異面直線所成角的一般步驟：（1）找（或作出）異面直線所成的角——用平移法，若題設中有中點，常考慮中位線．（2）求——轉化為求一個三角形的內角，通過解三角形，求出所找的角．（3）結論——設（2）所求角大小為θ．若，則θ即為所求；若，則即為所求．知識點3、直線與平面所成角的常用方法求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟（1）確定斜線與平面的交點（斜足）；（2）通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；（3）求解由斜線、垂線、射影構成的直角三角形．知識點4、作二面角的三種常用方法（1）定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線．如圖①，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角．（2）垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖②，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．（3）垂線法：過二面角的一個面內異于棱上的一點A向另一個平面作垂線，垂足為B，由點B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則為二面角的平面角或其補角．如圖③，為二面角的平面角．知識點5、求體積的常用方法選擇合適的底面，再利用體積公式求解．【典例例題】題型一：異面直線所成的角【例1】（2023·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學校考期中）如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長為的正方形，，為的中點，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【解析】（1）證明：因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為，為的中點，所以，，因為，、平面，所以，平面.（2）取的中點，連接、，

因為、分別為、的中點，所以，且，所以，異面直線與所成角為或其補角，因為，四邊形是邊長為的正方形，且平面，且平面，所以，，則，故，因為，同理可得，取的中點，連接，則，故.因此，異面直線與所成角的余弦值為.【對點訓練1】（2023·江西景德鎮·高一景德鎮一中校考期中）如圖，三棱錐中，平面平面ACD，，，，點為棱AD的中點，．(1)求證：平面平面BCD；(2)求異面直線AB與CE所成角的余弦值．【解析】（1）取中點，連接，，則，面面，面面，又面，則面，面，則有，，為的中點，則，而，，，即有，則，而，面，于是面，面，面面.（2）取中點，連接，為中點，，，則是異面直線與所成角或其補角，在中，，由（1）知，在中，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的余弦值是.【對點訓練2】（2023·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級中學校考期中）在棱長為2的正方體中，分別為棱和的中點.(1)證明：平面；(2)求異面直線與所成的余弦值；【解析】（1）連接,如圖,因為分別為棱和的中點,所以且,所以是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）在正方體中，連接，如圖，因為分別為棱和的中點，則，因此四邊形是平行四邊形，則，即是異面直線與所成的角或其補角，在中，，而正方體的體對角線，由余弦定理，得，所以異面直線與所成的余弦值為．題型二：線面角【例2】（2023·河南·高一校聯考期末）如圖，三棱柱中，為等邊三角形，，，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值．【解析】（1）連接交于O，連接，如圖，

因為為等邊三角形，所以為等邊三角形，四邊形是菱形，所以，又，，是的中點，所以且，所以，，在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）設到平面的距離為，因為中，，，所以，又，，所以由，可得，即，設直線和平面所成角為，則,因為平面平面，所以求直線和平面所成角的正弦值為．【對點訓練3】（2023·云南楚雄·高一統考期中）如圖，在直三棱柱中，．

(1)證明：為直角三角形．(2)若為等腰三角形，且，求與側面所成角的正弦值．【解析】（1）因為三棱柱為直三棱柱，所以平面ABC，因為平面ABC，所以．又因為，且，平面，所以平面．因為平面，所以，即為直角三角形．（2）如圖所示，取的中點D，連接，AD，

因為為等腰三角形，D為的中點，所以，因為⊥平面，平面，所以，因為平面，，平面，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，因為所以，，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為．【對點訓練4】（2023·吉林長春·高一長春市第二中學校考期中）如圖，在直三棱柱中，.

(1)求證：；(2)求與平面所成的角的大小.【解析】（1）連接與相交于點，如下圖所示

在直棱柱中，平面平面，，又，平面，所以，平面，又平面，，四邊形為菱形，即又，且平面，平面，又平面，.（2）取的中點，連接.如下圖所示；

，又平面平面，又，且平面，平面，是在面內的射影，是與平面所成角的平面角.在中，易知，，即與平面所成的角的大小為.題型三：二面角【例3】（2023·湖南岳陽·高一統考期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AA1，B1C1的中點．(1)求證：平面C1BD；(2)若DC1⊥BD，AC＝BC＝1，AA1＝2，求二面角B﹣DC1﹣C的正切值．【解析】（1）連接交于于，連接，因為是中點，所以，且，又因為D是AA1的中點，所以有，且，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以，而平面C1BD，平面C1BD，所以平面C1BD；（2）因為，，所以，，同理可得，因此，即，而DC1⊥BD，所以是二面角B﹣DC1﹣C的平面角，因為平面，所以平面，而平面，因此，因為平面，而平面，所以，因為平面，所以平面，而平面，所以，所以.【對點訓練5】（2023·河南平頂山·高一統考期末）如圖所示，圓錐PO的母線長為，底面圓O的直徑AB＝2，C是圓O所在平面內一點，AC與圓O相切，連接BC交圓O于點D，連接PD，PC，CO，DO．(1)證明：平面PAC；(2)若，求二面角的正切值．【解析】（1）∵AC是圓O的切線，∴，由圓錐的性質知平面ABC，∴．∵，∴平面PAB，∴．∵，∴，又，∴平面PAC．（2）因為平面ABC，則，，所為二面角的平面角．在中，，∴∵∴∴．在中，，所以.即二面角的正切值為．【對點訓練6】（2023·廣東茂名·高一統考期中）如圖，三棱錐中，平面，，，，是的中點，是的中點，點在棱上，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【解析】（1）過點作交于點，取的中點，連接，點是的中點，，，又點是的中點，是的中點，點在棱上，，，，且，所以四邊形為平行四邊形，得到，平面，平面，平面.（2）過點作，垂足為，在直角中，過點作，垂足為，平面，平面，，，，平面，則平面，平面，，，，平面，平面，平面，，則為所求二面角的平面角，由等面積法可得，平面，平面，，在中，，，,由等面積法得,則，所以二面角的正弦值為.題型四：距離問題【例4】（2023·重慶·高一重慶一中校考期中）如圖所示，在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，.

(1)證明：平面：(2)若，求點到平面的距離.【解析】（1）四邊形為等腰梯形，，過點C作于E，如圖所示，

則，可知，由余弦定理知，則，所以，又，平面，，所以平面.（2）連接BD，如圖所示,

由（1）可知平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，，平面，又，，所以，在中，由，得，設點到平面的距離為d，則，，解得，即點到平面的距離為.【對點訓練7】（2023·云南保山·高一統考期末）如圖，在四棱錐，四邊形正方形，平面．，，點是的中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離．【解析】（1）證明：連接交于點，連接，底面為正方形，為中點，點是的中點，，平面，平面，平面．（2）因為平面，平面，所以，又四邊形為正方形，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，又點是的中點，，，所以，，，，所以，設點到平面的距離為，則，即，即，解得，即點到平面的距離為.【對點訓練8】（2023·河北邯鄲·高一統考期末）在直三棱柱中，，分別是，的中點.(1)求證：平面；(2)若，，，求點到平面的距離.【解析】（1）連結交于點，連結，因為點分別是的中點，所以，且，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）因為，則,,，所以，所以，,因為，且，，所以平面，因為，所以點到平面的距離為1，，根據等體積轉化可知，即，解得：，所以點到平面的距離為.題型五：體積問題【例5】（2023·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學校考期末）如圖，在四棱錐中，平面是的中點.

(1)證明：面(2)證明：平面平面；(3)求三棱錐的體積.【解析】（1）取中點，連接，∵,,∴,∴為平行四邊形，則，∵面，面，∴面.

（2）因為，所以，由平面平面，所以，又由，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平面.（3）由（1）可得，且平面，平面，所以平面，所以，因為平面，可得，又由，所以，所以，即三棱錐的體積為.【對點訓練9】（2023·河南焦作·高一統考期末）在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，且．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求三棱錐的體積．【解析】（1）∵四邊形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面．∵，平面，平面，∴平面．∵，平面，∴平面平面，又平面，∴平面．（2）∵平面，平面，∴，在矩形中，，又∵，平面∴平面．又平面，∴平面平面．（3）∵平面，平面，∴平面平面．又，平面平面，平面，∴平面，則為三棱錐的高，且．∵，∴，∴．【對點訓練10】（2023·河北唐山·高一校聯考期中）如圖，圓錐的底面半徑，母線的長為3，為上靠近的一個三等分點，從點拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點.

(1)求繩子的最短長度；(2)過點作一個與底面平行的截面，將圓錐分為上、下兩部分，其體積分別為，，求.【解析】（1）將圓錐側面沿母線展開可得一扇形，連接，此時繩子的長度最短，

在中，，，設，因為圓錐的底面半徑，母線的長為3，則，所以，在中，由余弦定理可得，所以.（2）過點作與底面平行的截面，將圓錐分為上下兩部分，

上部分圓錐體積為，下部分圓臺體積為，設大圓錐體積為，則，即，，所以.【真題演練】1．（2023·全國·統考高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C2．（2023·北京·統考高考真題）坡屋頂是我國傳統建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因為平面，平面，所以，因為，平面，，所以平面，因為平面，所以，.同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因為，所有棱長之和為.故選：C3．（2023·天津·統考高考真題）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.

因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B4．（2023·全國·統考高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【解析】取中點，連接，如圖，

是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A5．（多選題）（2023·全國·統考高考真題）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為【答案】AC【解析】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項正確；B選項，圓錐的側面積為，B選項錯誤；C選項，設是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.故選：AC.

6．（多選題）（2023·全國·統考高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【解析】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內，故C不正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內，故D正確；故選：ABD.7．（2023·全國·統考高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】【解析】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.8．（2023·天津·統考高考真題）三棱臺中，若面，分別是中點.

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．【解析】（1）

連接.由分別是的中點，根據中位線性質，//，且，由棱臺性質，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過作，垂足為，過作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是

（3）[方法一：幾何法]

過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數據可得，，，根據勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.設點到平面的距離為.，.由，即.9．（2023·全國·統考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【解析】（1）連接，設，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.

（2）由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.（3）過點作交于點，設，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因為分別為的中點，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.

10．（2023·全國·統考高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．【解析】（1）如圖，

底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，（2），，過B作，交于D，則為中點，由直線與距離為2，所以，，，在，，延長，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.11．（2023·全國·統考高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設，求四棱錐的高．【解析】（1）證明：因為平面，平面,所以,又因為，即，平面，,所以平面，又因為平面,所以平面平面.（2）如圖，

過點作，垂足為.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因為平面，平面,所以,,又因為，為公共邊，所以與全等，所以.設，則，所以為中點，,又因為,所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．【過關測試】一、單選題1．（2023·海南·高一海南華僑中學校考期末）如圖所示，四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，則下列結論中不正確的是（

）A．B．平面SCDC．直線SA與平面SBD所成的角等于D．直線SA與平面SBD所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.【答案】C【解析】對于A，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為為正方形，所以，又平面，，所以平面，因為平面，所以，故A正確；對于B，因為，平面，平面，所以平面SCD，故B正確；對于C，設交于，連，由A知，平面SBD，則是直線SA與平面SBD所成的角，設，，則，，只有當，即，即時，才有，故C不正確；對于D，由C知，是直線SA與平面SBD所成的角，是直線與平面SBD所成的角，因為，，，所以與全等，所以，故D正確.2．（2023·河北唐山·高一校聯考期中）小明為了加強體育鍛煉，提高身體素質，從網上購買了一對大小相同的健身啞鈴.啞鈴是由兩個全等的大圓柱和中間一個連桿圓柱構成的，已知大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，則一只健身啞鈴的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】因為大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，故兩個大圓柱的體積為，又連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，故連桿圓柱的體積為，所以一只健身啞鈴的體積為.故選：C.3．（2023·河北唐山·高一校聯考期中）已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意圓錐的母線，設底面半徑為，高為，則，解得，所以，則圓錐的體積.故選：C4．（2023·廣東深圳·高一校聯考期中）如圖，已知為正方體，則異面直線與所成角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，因為在中，∥，所以為異面直線與所成角，因為在中，，所以為等邊三角形，所以，所以異面直線與所成角為，故選：C5．（2023·山東臨沂·高一統考期中）如圖，在正方體的八個頂點中，有四個頂點A，，C，恰好是正四面體的頂點，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】設正方體的棱長為，則正方體的表面積是，正四面體，則棱長為，它的表面積是，正四面體的表面積與正方體的表面積之比為．故選：D．6．（2023·河北石家莊·高一校考期中）如圖一，矩形中，，交對角線于點，交于點．現將沿翻折至的位置，如圖二，點為棱的中點，則下列判斷一定成立的是（

）

A． B．平面C．平面 D．平面平面【答案】D【解析】對于D選項，翻折前，，，翻折后，，，因為，、平面，則平面，因為平面，所以，平面平面，故D正確；對于B選項，因為，，則二面角的平面角為，在翻折的過程中，的大小會發生變化，故與不一定垂直，所以，與平面不一定垂直，故B錯誤；對于A選項，設，在圖一中，，又因為，所以，，，因為，所以，，所以，，則，在圖二中，過點在平面內作，交于點，連接，則，故，則，因為，所以，不是的中點，因為，，則，若，因為，、平面，則平面，因為平面，所以，，因為、平面，且，所以，，因為為的中點，則為的中點，與已知矛盾，故A錯誤；由選項A知，因為，平面，平面，所以，平面，若平面，則，、平面，所以，平面平面，因為平面平面，平面平面，則，因為為的中點，則為的中點，與已知條件矛盾，故C錯誤．故選：D．

7．（2023·河南焦作·高一統考期末）如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點D，與BC交于點E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】因為三棱柱，所以，面面，又因為面面，面面，所以，顯然為三棱臺，設，（），三棱柱的高為，則，所以三棱柱體積為，三棱臺的體積為，.①三棱臺的體積占，則，得，得或，均不符合題意；②三棱臺的體積占，則，得，得或，因為，所以.故選：C8．（2023·江蘇無錫·高一輔仁高中校考期末）四棱臺中，其上、下底面均為正方形，若，且每條側棱與底面所成角的正切值均為，則該棱臺的體積為（）A．224 B．448 C． D．147【答案】B【解析】連接，交于點，連接，交于點，連接，過作，如圖，.

因為四棱臺上、下底面均為正方形，且每條側棱與底面所成角的正切值均相等，所以底面，又，所以底面，所以是四棱臺其中一條側棱與底面所成的角，則，因為，所以，，易知四邊形是等腰梯形，則，所以在中，，則，即四棱臺的高為，則該四棱臺的體積.故選：B．二、多選題9．（2023·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學校考期中）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，則下列結論中正確的有（

）

A．B．平面C．與平面所成角是D．與所成的角等于與所成的角【答案】ABC【解析】對于A選項，因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，A對；對于B選項，因為四邊形為正方形，則，又因為平面，平面，所以，平面，B對；對于C選項，因為平面，所以，與平面所成角是，C對；對于D選項，因為，平面，平面，所以，，所以，為銳角，所以，與所成的角為直角，與所成的角為銳角，故與所成的角不等于與所成的角，D錯.故選：ABC.10．（2023·山東臨沂·高一統考期中）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面ABCD中，，且，下列說法正確的是（

）

A．該圓臺軸截面面積為B．該圓臺的體積為C．該圓臺的表面積為D．沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為【答案】ABD【解析】對于，由，且，可得，高，則圓臺軸截面的面積為，故A正確；對于B，圓臺的體積為，故B正確；對于C，圓臺的側面積為，又，，所以，故C錯誤；對于，由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，側面展開圖的圓心角．設的中點為，連接，可得，則，又點到的距離，所以沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為，故正確．

故選：ABD．11．（2023·安徽滁州·高一統考期末）如圖，在四棱雉中，平面，底面為矩形，且，則（

）

A．平面平面 B．點到平面的距離為C．二面角的正切值為 D．若平面與平面的交線為直線，則【答案】ACD【解析】對于A：因為平面，平面，所以，又為矩形，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；對于B：平面，平面，所以，，又，所以，，，所以，又，設點到平面的距離為，則，所以，即，解得，故B錯誤；對于C：在平面中過點作交于點，連接，因為平面，由三垂線定理，可得即為二面角的平面角，又，所以，所以，即二面角的正切值為，故C正確；

因為，平面，平面，所以平面，又平面與平面的交線為直線，平面，所以，故D正確；故選：ACD12．（2023·浙江寧波·高一統考期末）已知正四棱柱的底面邊長為1，側棱長為2，點M為側棱上的動點（包括端點），平面．下列說法正確的有（

）A．異面直線AM與可能垂直B．直線BC與平面可能垂直C．AB與平面所成角的正弦值的范圍為D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為【答案】AD【解析】在正四棱柱中，底面正方形ABCD的邊長為1，AA1=2，如圖：

選項A：當MC=時，在矩形BCC1B1中，，所以，又因為AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又因為，、平面，所以B1C⊥平面ABM，所以，故選項A正確；選項B：因為AM與BC是異面直線，所以AM與BC不可能平行，故與不可能垂直，故選項B錯誤；選項C：因為平面，AB是平面的斜線，則AB與平面所成角，所以，又因為當點M在棱CC1移動時，，所以，所以，故選項C錯誤；選項D：當M為CC1中點時，連接AB1，AD1，AC，MB1，MD1，BD1，如圖所示，

則有，，所以，所以AM⊥MB1，同理AM⊥MD1，又因為，、面，所以AM⊥平面MB1D1，所以平面截正四棱柱所得截面多邊形為正△，所以其周長，故選項D正確.故選：AD.三、填空題13．（2023·安徽黃山·高一屯溪一中校考期中）如圖中，，在三角形內挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C，M，交BC于點N），則圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積為__________．

【答案】【解析】連接，則，設，因為，所以，在中，，解得，在中，因為，可得，設直角繞旋轉一周得到的圓錐的體積為，半圓繞旋轉一周得到球的體積為，圖中陰影部分繞旋轉一周，可得旋轉體為一個圓錐挖去一個球，所以圖中陰影部分繞直線旋轉一周所得旋轉體的體積為：.故答案為：.

14．（2023·福建三明·高一校聯考期中）在正方體中，直線與所成的角是__________.【答案】/【解析】連接，，，四邊形為平行四邊形，，（或其補角）即為異面直線與所成角，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角為.故答案為：.15．（2023·云南楚雄·高一統考期中）如圖，已知在矩形ABCD中，，，M為邊BC的中點，將，分別沿著直線AM，MD翻折，使得B，C兩點重合于點P，則點P到平面MAD的距離為______．

【答案】/【解析】因為ABCD為矩形，所以，，因為，平面，所以平面，因為，所以，，點到平面MAD的距離為h，，所以，解得．故答案為：16．（2023·江蘇徐州·高一徐州市第一中學校考期中）如圖，在長方形中，，是的中點，沿AE將向上折起，使到的位置，且平面平面，則直線與平面所成角的大小為____.

【答案】【解析】如圖所示：為中點，連接，

，為中點，故，平面平面，平面平面，平面，故平面，即直線與平面所成角，為等腰直角三角形，故.故答案為：.四、解答題17．（2023·浙江杭州·高一校聯考期中）如圖，斜三棱柱中，D，分別