重難點突破08利用導數解決一類整數問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結 202題型歸納與總結 2題型一：整數解問題之分離參數、分離函數、半分離 2題型二：整數解問題之直接限制法 3題型三：整數解問題之虛設零點 4題型四：整數解問題之必要性探路 503過關測試 7

利用導數解決一類整數問題常見技巧有：1、分離參數、分離函數、半分離2、直接限制法3、虛設零點4、必要性探路題型一：整數解問題之分離參數、分離函數、半分離【典例1-1】（2024·高三·江西·期末）若集合中僅有2個整數，則實數k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】若函數有兩個零點，且存在唯一的整數，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1-1】（2024·高三·福建泉州·期中）關于的不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式1-2】已知函數，若不等式的解集中有且僅有一個整數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】若關于的不等式的解集中恰有個整數，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1-4】（多選題）（2024·高三·廣東揭陽·期末）已知函數，且存在唯一的整數，使得，則實數a的可能取值為（

）A． B． C． D．【變式1-5】（2024·河南·模擬預測）已知函數，若存在唯一的整數，使得，則實數的取值范圍是.題型二：整數解問題之直接限制法【典例2-1】（2024·全國·模擬預測）若對于，，使得不等式恒成立，則整數x的最大值為．【典例2-2】（2024·河南南陽·一模）已知函數在區間上有最小值，則整數的一個取值可以是．【變式2-1】（2024·高三·重慶·期中）若關于x的不等式的解集中恰有三個整數解，則整數a的取值是（

）(參考數據:ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)A．4 B．5 C．6 D．7【變式2-2】（2024·海南海口·模擬預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數的一個可能值為．【變式2-3】（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數的圖象在處的切線過原點．(1)求的值；(2)設，若對總，使成立，求整數的最大值．【變式2-4】已知函數.(1)當時，證明：；(2)若關于的不等式恒成立，求整數的最小值.【變式2-5】（2024·江西·模擬預測）已知函數.(1)求函數在區間上的最大值；(2)若為整數，且關于的不等式恒成立，求整數的最小值.題型三：整數解問題之虛設零點【典例3-1】已知函數．(1)若，求在處的切線方程；(2)當時，恒成立，求整數a的最大值．【典例3-2】（2024·高三·陜西西安·期末）已知函數，對任意的，關于的方程有兩個不同實根，則整數的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-1】（2024·全國·模擬預測）當時，恒成立，則整數的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【變式3-2】（2024·浙江·三模）已知函數，，對任意，存在使得不等式成立，則滿足條件的的最大整數為.【變式3-3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，不等式恒成立，求整數的最大值．題型四：整數解問題之必要性探路【典例4-1】（2024·安徽合肥·三模）對于定義在上的函數，若存在，使得，則稱為的一個不動點．設函數，已知為函數的不動點．(1)求實數的取值范圍；(2)若，且對任意滿足條件的成立，求整數的最大值．（參考數據：，，，，）【典例4-2】已知函數，對，不等式恒成立，則整數的最大值是.【變式4-1】（2024·浙江臺州·一模）設(1)求證：；(2)若恒成立，求整數的最大值．（參考數據，）【變式4-2】已知，函數，．(1)若，求證：在上是增函數；(2)若存在，使得對于任意的成立，求最大的整數的值．【變式4-3】已知函數.(1)當時，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整數a的最小值.【變式4-4】，對，，求整數的最小值．1．已知函數，若有且只有兩個整數使得，且，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數的最小整數為．3．（2024·云南·三模）設函數，若存在唯一整數，使得，則的取值范圍是.4．（2024·廣東深圳·模擬預測）若關于x的不等式對任意的恒成立，則整數k的最大值為.5．（2024·甘肅·三模）若關于的不等式對任意的恒成立，則整數的最大值為.6．（2024·江蘇常州·模擬預測）已知函數，若的解集中恰有一個整數，則m的取值范圍為．7．（2024·高三·上海寶山·期中）若不等式的解集中僅有2個整數，則實數k的取值范圍是．8．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知函數．(1)若，求證：；(2)當時，對任意，都有，求整數的最大值．9．（2024·貴州·一模）已知．(1)討論的單調性；(2)若對恒成立，求整數a的最小值．10．已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數在上的最大值在區間內，求整數m的值．11．（2024·廣西桂林·模擬預測）已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)若，且存在整數使得恒成立，求整數的最大值.（參考數據：，）12．設函數(1)求的單調區間(2)若，k為整數，且當時，求k的最大值13．已知，R．(1)討論函數的單調性；(2)若對任意的，恒成立，求整數a的最小值．14．已知函數.(1)若函數在定義域內單調遞增，求a的取值范圍；(2)若，在上恒成立，求整數k的最大值.（參考數據：，）15．（2024·陜西漢中·二模）已知函數，曲線在點處切線方程為.(1)求實數a的值及函數的單調區間；(2)若時，，求整數m的最大值.16．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知函數.(1)判斷函數的單調性；(2)若對于任意的，都有，求整數的最大值.17．已知函數