選擇性必修第三冊第七章隨機變量及其分布第六講超幾何分布問題情境：問題：已知100件產品中有8件次品，現從中采用有放回方式隨機抽取4件．設抽取的4件產品中次品數為X，求隨機變量X的分布列.思考1：采用有放回抽樣，隨機變量X服從什么分布？思考2：如果采用不放回抽樣，抽取的4件產品中次品數X服從二項分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么二、知識構建知識點一超幾何分布1.超幾何分布一般地，假設一批產品共有件，其中有件次品，從件產品中隨機抽取件(不放回)，用表示抽取的件產品中的次品數，則的分布列為，.其中，，，，．如果隨機變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量服從超幾何分布．2.對超幾何分布的理解在超幾何分布的模型中，“任取件”應理解為“不放回地一次取一件，連續取件”.如果是有放回地抽取，就變成了重伯努利試驗，這時概率分布是二項分布.所以兩個分布的區別就在于是否為地抽取.知識點二超幾何分布的均值若隨機變量服從超幾何分布，則(是件產品的次品率).三、類型歸納類型一超幾何分布的理解類型二超幾何分布的概率類型三超幾何分布的均值與方差類型四二項分布與超幾何分布綜合應用類型五數學情境中的超幾何分布類型應用類型一對超幾何分布的理解【例1】（多選）（2425高二·全國·課后作業）下列隨機變量中，服從超幾何分布的有(

)A．拋擲三枚骰子，向上面的點數是6的骰子的個數XB．有一批種子的發芽率為70％，任取10顆種子做發芽試驗，試驗中發芽的種子的個數XC．盒子中有3個紅球、4個黃球、5個藍球，任取3個球，不是紅球的個數XD．某班級有男生25人，女生20人.選派4名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生的人數X【跟蹤訓練11】（2425高二·全國·課后作業）下列隨機事件中的隨機變量服從超幾何分布的是（）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數為B．從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，記選出女生的人數為C．某射手的射擊命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中的次數為D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數為【跟蹤訓練12】（2425高二下·全國·課堂例題）下列問題中，哪些屬于二項分布問題，哪些屬于超幾何分布問題．(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數是的骰子的個數記為，求的分布列；(2)有一批種子的發芽率為，任取顆種子做發芽實驗，把實驗中發芽的種子的個數記為，求的分布列；(3)盒子中有紅球只，黃球只，藍球只，任取只球，把不是紅色的球的個數記為，求的分布列；(4)某班級有男生人，女生人．選派名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數記為，求的分布列；(5)現有臺平板電腦未經檢測，抽取臺送檢，把檢驗結果為不合格的平板電腦的個數記為，求的分布列．類型二超幾何分布的概率【例2】（2324高二下·江蘇南京·期末）一批零件共有10個，其中有3個不合格品，從這批零件中隨機抽取2個進行檢測，則恰有1個不合格品的概率為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓練21】（2024高二·黑龍江哈爾濱·期末）從一批含有6件正品，2件次品的產品中一次性抽取3件，設抽取出的3件產品中次品數為X，則（

）A． B． C． D．【跟蹤訓練22】（2425高二下·全國·課后作業）國家提出“鄉村振興”戰略，各地紛紛響應．某縣有7個自然村，其中有4個自然村根據自身特點推出鄉村旅游，被評為“旅游示范村”．現要從該縣7個自然村里選出3個作宣傳，則恰有2個村是“旅游示范村”的概率為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓練23】（2425高二下·全國·課后作業）設袋中有8個紅球，4個白球，若從袋中任取4個球，則其中至多3個紅球的概率為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓練24】（2324高二下·山東青島·期中）數學老師從6道題中隨機抽3道讓同學檢測，規定至少要解答正確2道題才能及格．某同學只能正確求解其中的4道題，則該同學能及格的概率為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓練25】（2324高三上·上海·期中）在高考志愿模擬填報實驗中，共有9個專業可供學生甲填報，其中學生甲感興趣的專業有3個．若在實驗中，學生甲隨機選擇3個專業進行填報，則填報的專業中至少有1個是學生甲感興趣的概率為．【跟蹤訓練26】（遼寧省沈陽市級重點高中聯合體20232024學年高二學期期中數學試題）課桌上有12本書，其中理科書籍有4本，現從中任意拿走6本書，用隨機變量表示這6本書中理科書籍的本數，則概率為的是（

）A． B． C． D．【例3】（2324高二·湖南·課后作業）從一批含有13件正品、2件次品的產品中，不放回地任取3件，求取得次品數的分布列．【跟蹤訓練31】（2324高二·全國·課后作業）從6名男生和4名女生中隨機選出3名同學參加一項競技測試．(1)求選出的3名同學中至少有1名女生的概率；(2)設表示選出的3名同學中男生的人數，求的分布列．【跟蹤訓練32】（2425高二下·全國·課后作業）新高考制度的“3+1+2”中的“1”是指從物理和歷史兩門科目選擇一門．若某班級一組有8名女生，其中有2名選擇物理，6名選擇歷史，現從這8名女生中任選3人，求3人中選擇物理科目人數的分布列．類型三超幾何分布均值與方差【例4】（2223高二下·遼寧·期中）學校要從5名男生和3名女生中隨機抽取2人參加社區志愿者服務，若用表示抽取的志愿者中女生的人數，則隨機變量的數學期望的值是（

）A． B． C． D．1【跟蹤訓練41】（2324高二下·北京·期中）某不透明紙箱中共有8個小球，其中2個白球，6個紅球，它們除顏色外均相同．一次性從紙箱中摸出4個小球，摸出紅球個數為，則．【跟蹤訓練42】（2324高二下·北京海淀·期末）某學校組織趣味運動會，一共設置了3個項目（其中只包含1個球類項目），每位教師只能從3個項目中隨機選擇2個參加，設李老師選擇的2個項目中所含球類項目的數量為，則的所有可能取值為，數學期望．【跟蹤訓練43】（2425高三上·上海·階段練習）某醫院派出16名護士?4名內科醫生組成支援隊伍，現在需要從這20人中任意選取3人去A城市支援，設表示其中內科醫生的人數，則的期望為.【跟蹤訓練44】（2024高二·江蘇連云港月考）已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數為，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【例5】（2324高二下·江蘇鹽城·期中）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協、教育部共同組織實施，到2023年已經培養了6000多名具有創新潛質的優秀中學生，為選拔培養對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優秀學生參加學科知識競答活動，題庫中共有10道題目，隨機抽取3道讓學生回答．已知某同學只能答對其中的6道，試求：(1)抽到他能答對題目數的分布列；(2)求的期望和方差．【跟蹤訓練51】（2324高二·江蘇·課后作業）已知15件同類型的零件中有2件是不合格品，從中任取3件，用隨機變量X表示取出的3件中的不合格品的件數．求：(1)X的概率分布；(2)X的均值．【跟蹤訓練52】（2425高二上·江西南昌·期末）袋中裝有12個大小相同的球，其中紅球2個，黃球3個，白球7個，從中隨機取出3個球.(1)求取出的3個球中有2個白球的概率；(2)設X表示取到的紅球個數，求X的分布列與數學期望.【跟蹤訓練53】（2324高二下·山東臨沂·期中）某單位組織“學習強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取4道讓參賽者回答，已知小李只能答對其中的7道，試求：(1)抽到他能答對題目數的分布列；(2)求的期望和方差.【跟蹤訓練54】（2425高二下·寧夏銀川·階段練習）一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺．如果從中隨機挑選2臺．(1)求這2臺電腦中至多有1臺B品牌電腦的概率；(2)求這2臺電腦中A品牌臺數X的分布列及均值和方差．類型四二項分布與超幾何分布綜合應用【例6】（2324高二下·天津·期末）一個袋子中有6個大小相同的球，其中有2個黃球，4個白球，從中隨地摸出3個球作為樣本.用表示樣本中黃球的個數.(1)若不放回摸球，求的分布列；(2)若有放回摸球，求的分布列和均值.【跟蹤訓練61】（2324高二下·山東淄博·期末）在一個不透明的密閉紙箱中裝有10個大小、形狀完全相同的小球，其中8個白球，2個黑球.小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球觀察其顏色，連續摸4次，記隨機變量為小張摸出白球的個數.(1)若小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球后放回紙箱，求和；(2)若小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球后不放回紙箱，求的分布列和；【跟蹤訓練62】（2425高二·全國·課堂例題）為了解決某地區教師資源匱乏的問題，某市教育局擬從5名優秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分為三批次，每批次支教需要同時派送2名教師，且每批次派送人員均從這5人中隨機抽選．已知這5名優秀教師中，2人有支教經驗，3人沒有支教經驗．(1)求甲在這三批次支教活動中恰有兩次被抽到的概率；(2)求第一批次抽到沒有支教經驗的教師人數的分布列；(3)第二批次抽到沒有支教經驗的教師人數最有可能是多少？請說明理由．【跟蹤訓練63】（2324高三上·北京西城·期中）某校設計了一個實驗學科的實驗考查方案；考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，規定：至少正確完成兩題便可通過，已知6道備選題中甲生有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，求：(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列，并計算數學期望；(2)試用統計知識分析比較兩考生的實驗操作能力．類型五數學情境中的超幾何分布【例7】（2324高二下·陜西西安·期末）當前，以為代表的（利用技術自動生成內容的生產方式）領域一系列創新技術有了革命性突破．全球各大科技企業都在積極擁抱，我國的（百度、阿里、騰訊3個企業的簡稱）、字節跳動、萬興科技、藍色光標、華為等領頭企業已紛紛加碼布局賽道，某傳媒公司準備發布《2023年中國發展研究報告》，先期準備從上面7個科技企業中隨機選取3個進行采訪．記選取的3個科技企業中中的個數為，求的分布列與期望．【跟蹤訓練71】（2324高二下·北京大興·期末）某種水果按照果徑大小可分為四級：標準果、優質果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取100個，利用水果的等級分類標準得到的數據如下：等級標準果優質果精品果禮品果個數10304020假設用頻率估計概率.(1)從這100個水果中有放回地隨機抽取4個，求恰好有2個水果是禮品果的概率；(2)采用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中不放回地隨機抽取3個，若表示抽到的精品果的數量，求的分布列和期望．【跟蹤訓練72】（2324高二下·天津·階段練習）我國是全球制造業大國，制造業增加值自2010年起連續12年位居世界第一，主要產品產量穩居世界前列．為深入推進傳統制造業改造提升，全面提高傳統制造業核心競爭力，某設備生產企業對現有生產設備進行技術攻堅突破．設備生產的零件的直徑為X（單位：nm）．(1)現有舊設備生產的零件共7個，其中直徑大于10nm的有4個．現從這7個零件中隨機抽取3個．記ξ表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個數，求ξ的分布列及數學期望．(2)技術攻堅突破后設備生產的零件的合格率為，每個零件是否合格相互獨立．現任取6個零件進行檢測，若合格的零件數η超過半數，則可認為技術攻堅成功．求技術攻堅成功的概率及η的方差；素養提升1.（多選）（2024高二·河南南陽·期末）在一個袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個黑球，3個白球，現從中任取4個球，設這4個球中黑球的個數為，則（

）A．服從二項分布 B．的值最小為1C． D．2.（多選）（2425高二下·全國·課后作業）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10，現從中任取4個球，則下列說法中正確的是（

）A．取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，表示取出的4個球的總得分，則服從超幾何分布B．若表示取出的黑球的個數，則服從超幾何分布C．若表示取出白球的個數，則D．若表示取出黑球的個數，則3.（2324高二下·湖南·期末）3月19日，習總書記在湖南省常德市考察調研期間來到河街，了解歷史文化街區修復利用等情況，這片歷史文化街區匯聚了常德高腔、常德絲弦、桃源刺繡、安鄉木雕、澧水船工號子等品類繁多的非遺項目.現為了更好的宣傳河街文化，某部門召集了200名志愿者，根據報名情況得到如下表格：項目常德高腔常德絲弦桃源刺繡安鄉木雕澧水船工號子志愿者人數3060504020若從這200名志愿者中按照比例分配的分層隨機抽