函數與導數（培優利用零點存在性定理證明函數的零點問題）講義-高三數學二輪復習_第1頁
函數與導數（培優利用零點存在性定理證明函數的零點問題）講義-高三數學二輪復習_第2頁
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第二講：利用零點存在性定理，證明函數的零點問題零點存在性定理：若函數在區間上連續且，則，函數在區間上至少有一個變號零點。求證：在存在唯一零點。證明：在恒成立，∴在單調遞增。又∵，∴∴在存在唯一零點。跟蹤訓練1.已知函數求證：存在唯一，使得。證明：∵∴時，，在單調遞減。又∵，∴∴在存在唯一一個零點。即存在唯一，使得。已知，求證：在上有且僅有一個零點。分析：本題求證一個函數在區間上只有一個零點，這個函數有可能是單調的，且在區間端點函數值異號。但是本題的區間為R，無法將端點帶入解析式。所以，如何合理對進行取值，從而確定函數值的正負將成為解題的關鍵。證明：∵，∴為什么取呢？∴在單調遞增。為什么取呢？∵，∴∴在上有且僅有一個零點。跟蹤訓練2.已知，求證：，存在唯一的使。解.這里為什么呢？∵，這里為什么呢？在單調遞增。設，則在單調遞增。又∵怎么想到要取呢？怎么想到要取呢？∴，在存在唯一零點。綜上：，存在唯一的使。若沒有零點，求的范圍？分析：一個函數沒有零點且圖像是連續的，說明函數圖像恒在軸上方或恒在軸下方。由于函數含有參數，定點是可以考慮的因素，也將成為本題的解題關鍵。解：∵沒有零點且∴只需當時，，在單調遞增。又，<0∴在有一個零點，與題意矛盾。當時，（）沒有零點，符合題意。這個地方容易忽略定義域導致錯誤，平時做題時要多強調定義域！當時，這個地方容易忽略定義域導致錯誤，平時做題時要多強調定義域！當時，，在遞減。當時，，在遞增?！唷唷嗑C上：時，使得沒有零點。提升訓練1.已知，若函數沒有零點，求的取值范圍？解：∴函數定義域為,圖像連續且。若沒有零點，只需恒成立。令，則當時，令，則∴時，，在單調遞減。時，，在單調遞增。∴當時，

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