滬科版（2024）七年級下第6章實數大單元教學設計一、單元主題實數二、單元說明本單元內容“實數”是初中數學知識體系的重要基石，它在有理數的基礎上進行拓展與深化。從知識發展脈絡來看，學生在之前已經學習了有理數，對數字有了一定的認知。而本單元引入無理數，構建起完整的實數體系，使學生對數的認識實現從有理數到實數的跨越。在生活實際應用中，實數無處不在。例如，在測量物體長度、計算圖形面積體積時，會遇到無法用有理數精確表示的情況，這時就需要無理數和實數的知識。從數學學科內部來看，實數的學習為后續方程、函數等知識的學習奠定基礎，如在一元二次方程求根時，根的情況可能涉及無理數；在函數圖像中，坐標值也可能是無理數。因此，本單元知識具有承上啟下的關鍵作用，對學生數學思維的拓展和數學素養的提升至關重要。三、課程標準1.了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、算術平方根、立方根。2.了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內整數的平方根，會用立方運算求百以內整數（對應的負整數）的立方根。3.了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，能求實數的相反數與絕對值。4.能用有理數估計一個無理數的大致范圍。5.了解近似數，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并會按問題的要求對結果取近似值。四、教材分析本單元教材編排邏輯清晰，內容豐富。在內容呈現上，教材從生活實例和學生已有的數學知識出發，引出平方根、立方根的概念。例如，通過正方形面積與邊長的關系，讓學生理解平方根的概念；借助正方體體積與棱長的關系，引入立方根的概念。在講解無理數和實數概念時，教材通過計算一些無限不循環小數，如的近似值，引導學生認識無理數，進而構建實數體系。教材注重知識的前后聯系，將實數的運算與有理數的運算規則進行類比和拓展，幫助學生理解和掌握。在欄目設置上，教材設有“思考”“探究”等欄目，如在探究無理數與數軸上點的對應關系時，引導學生動手操作，在數軸上嘗試表示無理數，培養學生的探究能力和思維能力。同時，教材配備了豐富的例題和習題，從基礎到拓展，逐步提升學生對知識的應用能力。五、核心素養鏈接1.數學眼光：通過對平方根、立方根、無理數等概念的引入，引導學生從數學角度觀察現實生活中的數量關系和空間形式，如從幾何圖形的邊長、體積計算中發現數的新特征，培養學生抽象概括的數學眼光。2.數學思維：在實數的運算、比較大小以及探索實數與數軸的對應關系等過程中，培養學生的邏輯推理、運算能力和空間觀念。例如，通過對無理數運算規則的推導，鍛煉學生的邏輯推理思維；在利用數軸比較實數大小時，提升學生的數形結合思維。3.數學語言：讓學生學會用數學符號語言準確表達平方根、立方根、實數等概念和運算過程，如用表示a的平方根，用數學語言描述實數的性質和運算法則，提高學生數學語言的表達和交流能力。六、大概念數系的擴充源于實際需求和數學內部發展，實數是有理數和無理數的統稱，它構建了一個完備的數的體系，在數學和現實世界中具有廣泛應用。七、核心問題1.從有理數到實數，數系是如何擴充的？擴充的必要性體現在哪些方面？2.實數與數軸有著怎樣緊密的聯系？如何利用這種聯系解決數學問題？八、核心任務開展“探索數的奧秘——實數之旅”項目式學習活動。學生分組，通過查閱資料、實際測量、數學計算等方式，探究生活中哪些場景會出現無理數，如何用實數知識解決相關實際問題，并制作一份圖文并茂的項目報告，在班級中進行展示交流。九、教學安排（一）第一部分：平方根、立方根子任務一：認識平方根創設情境：展示一個面積為25平方米的正方形花壇，提問學生如何求其邊長。學生通過回憶正方形面積公式，能輕松得出邊長為5米。接著展示面積為2平方米的正方形，詢問邊長是多少，此時學生發現無法用有理數準確表示，從而引發認知沖突，引出平方根的概念。知識講解：教師給出平方根的定義：如果一個數x的平方等于a，即=a，那么這個數x就叫做a的平方根。以9為例，講解因為=9，=9，所以9的平方根是3。同時，介紹平方根的表示方法，用表示a的平方根，其中a稱為被開方數，強調被開方數必須是非負數。練習鞏固：讓學生求16、0、等數的平方根，教師巡視指導，及時糾正學生可能出現的錯誤，如忽略負平方根等問題。設計意圖：從實際問題引入，激發學生的學習興趣和探究欲望，讓學生在具體情境中理解平方根的概念，通過練習鞏固對概念的掌握。子任務二：探究算術平方根對比引入：在學生掌握平方根概念后，教師提出問題：在實際生活中，我們求正方形邊長時，邊長通常是一個正數。對于一個正數的平方根，其中那個正的平方根具有特殊的意義，我們把它叫做算術平方根。引導學生對比平方根和算術平方根的區別與聯系。舉例說明：以16為例，它的平方根是，而算術平方根是4，用=4表示。強調0的算術平方根是0。拓展應用：給出一些實際問題，如一個正方形場地的面積為36平方米，求其邊長（用算術平方根求解），讓學生體會算術平方根在實際中的應用。設計意圖：通過對比，加深學生對算術平方根概念的理解，明確其與平方根的關系，通過實際應用，提高學生運用知識解決問題的能力。子任務三：立方根的學習類比遷移：教師引導學生回顧平方根的學習過程，提出如果一個數的立方等于a，那么這個數與a有怎樣的關系呢？從而引出立方根的概念。類比平方根的定義，給出立方根的定義：如果一個數x的立方等于a，即=a，那么這個數x就叫做a的立方根，用表示。實例分析：以8為例，因為=8，所以8的立方根是2，即=2；對于8，因為=8，所以8的立方根是2，即=2。讓學生思考立方根的性質，與平方根進行對比，總結出正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0。課堂練習：安排學生求27、1、等數的立方根，強化對立方根概念的理解和計算能力。設計意圖：利用類比的方法，讓學生在已有知識的基礎上自主探究立方根的概念和性質，培養學生的遷移能力和自主學習能力。綜合練習與總結綜合練習：給出一些綜合性的題目，如已知=16，求x；已知=27，求y；已知+=0，求a+b的值等，考查學生對平方根、算術平方根和立方根知識的綜合運用能力。課堂總結：教師引導學生回顧平方根、算術平方根和立方根的概念、表示方法、性質以及它們之間的區別與聯系，幫助學生構建知識體系。設計意圖：通過綜合練習，提升學生對知識的綜合運用和解題能力，課堂總結有助于學生梳理知識，加深記憶。（二）第二部分：無理數和實數子任務一：發現無理數實驗探究：讓學生用計算器計算，觀察其小數點后的數字特征，發現它是一個無限不循環小數。接著讓學生在數軸上嘗試表示，通過尺規作圖的方法，以單位長度為邊長作一個正方形，其對角線長度即為，然后用圓規將其在數軸上表示出來。學生在操作過程中，體會到有些數無法用有理數精確表示，從而引出無理數的概念。概念講解：教師給出無理數的定義：無限不循環小數叫做無理數。并舉例說明，如、等都是無理數。引導學生思考無理數與有理數的區別，有理數可以化為分數形式，而無理數不能。拓展延伸：讓學生思考生活中還有哪些地方可能會出現無理數，如在計算圓的周長和面積時用到的，在一些物理實驗數據中也可能出現無理數等，拓寬學生的視野。設計意圖：通過實驗探究和實際操作，讓學生直觀地感受無理數的存在，理解無理數的概念，培養學生的觀察能力和探究精神。子任務二：構建實數體系分類歸納：教師引導學生將有理數和無理數進行整合，給出實數的定義：有理數和無理數統稱為實數。然后讓學生對實數進行分類，按照定義可分為有理數（整數和分數）和無理數；按照正負可分為正實數、零、負實數。通過列表的方式，讓學生清晰地看到實數的分類結構。數軸對應：進一步探究實數與數軸的關系，讓學生思考每一個實數是否都能在數軸上找到對應的點，反之，數軸上的每一個點是否都表示一個實數。通過之前在數軸上表示等無理數的操作，以及有理數在數軸上的表示方法，引導學生得出實數與數軸上的點一一對應的結論。教師強調這一結論的重要性，它為后續利用數軸解決實數問題提供了理論依據。設計意圖：幫助學生構建完整的實數體系，理解實數的分類和實數與數軸的對應關系，培養學生的分類思想和數形結合思想。子任務三：實數的運算與大小比較運算規則：教師類比有理數的運算規則，講解實數的運算。對于加、減、乘、除、乘方運算，在有理數運算的基礎上，將無理數納入運算范圍。例如，2+就是一個實數加法運算，其結果仍然是一個實數。對于實數的混合運算，同樣遵循先乘方、開方，再乘除，最后加減的順序，如果有括號，先算括號里面的。通過具體的例題，如(2+)×，詳細演示運算過程，讓學生掌握實數運算的方法。大小比較：介紹實數大小比較的方法。對于有理數和無理數的比較，可通過估算無理數的大致范圍來進行。例如，比較3和的大小，因為=3，>，所以>3。對于兩個無理數的比較，可采用平方法、作差法等。如比較和+1的大小，可將它們分別平方，()^2=5，(+1)^2=3+2+1=4+2，因為4+2>5，所以+1>。通過大量的實例練習，讓學生熟練掌握實數大小比較的方法。課堂練習：安排學生進行實數運算和大小比較的練習，題目涵蓋不同類型，如簡單的加減乘除運算、含根號的混合運算、實數大小比較等，教師巡視指導，及時反饋學生的學習情況。設計意圖：讓學生掌握實數的運算規則和大小比較方法，提高學生的運算能力和邏輯思維能力，通過練習鞏固所學知識。項目式學習活動指導活動布置：在本部分教學接近尾聲時，布置“探索數的奧秘——實數之旅”項目式學習活動任務。向學生詳細說明活動要求，包括分組方式（每組45人）、探究內容（生活中的無理數實例、用實數知識解決實際問題）、報告制作規范（包含文字說明、數據圖表、實際案例分析等）以及展示時間安排等。過程指導：在學生開展項目活動過程中，教師定期組織小組匯報進展，了解學生在探究過程中遇到的問題和困難，并給予針對性的指導。例如，當學生在尋找生活中無理數實例遇到困難時，教師可引導學生從建筑設計中的分割比例、機械制造中的零件尺寸精度等方面思考；當學生在運用實數知識解決實際問題時方法不當，教師可提示學生回顧所學的實數運算、大小比較等知識，重新梳理問題解決思路。設計意圖：通過項目式學習活動，培養學生綜合運用知識的能力、團隊協作能力和創新實踐能力，讓學生在實踐中深化對實數知識的理解和應用。十、教學評價1.課堂表現評價：觀察學生在課堂討論、小組活動、回答問題等環節中的參與度和表現。例如，在探究無理數與數軸關系的小組活動中，評價學生是否積極參與討論、提出有價值的觀點，是否能與小組成員有效合作完成任務等，及時給予鼓勵和指導。2.作業評價：認真批改學生的課后作業，包括書面作業和項目報