高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1甘肅省張掖市某校2025屆高三下學(xué)期第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】，故選：C.2.在扇形中，，且弦，則扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)扇形的圓心角大小為，半徑為，扇形的面積為，且弦，可得，，扇形的面積為．故選：B3.已知函數(shù)（且）在定義域內(nèi)單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)函數(shù)（且）在定義域內(nèi)單調(diào)而在上只能單調(diào)遞增，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得，即的取值范圍為，故選：B.（數(shù)學(xué)文化題）4.傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個(gè)圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個(gè)圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，過(guò)作于，如圖所示：則由題可得，設(shè)平面截得球的截面圓的半徑為，當(dāng)EF在底面圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到平面的距離所以所以平面截得球的截面面積最小值為，故D正確；故選：D.5.在的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.721 B.-61 C.181 D.-59【答案】D【解析】=的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為=，其中的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，，，常數(shù)項(xiàng)為；故常數(shù)項(xiàng)為++.故選：D6.如圖所示，梯形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，若向量在向量上的投影向量的模為4，設(shè)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，梯形為直角梯形，，，即，由，同理可得，又向量在向量上的投影向量的模為4，所以，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，由且可得，令，則由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，故，由知，，故，故選：D7.若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A.76 B.38 C.19 D.0【答案】A【解析】因?yàn)椋运缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋裕裕裕裕郑裕裕裕裕?故選:A.8.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為是線段的中點(diǎn)，過(guò)作的垂線交軸于點(diǎn)（異于點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】方法一，設(shè)，，且，則．由分別在雙曲線的兩條漸近線上，得，兩式作差并整理，得，即．，，，，則，即，，則．故選：A．方法二，由方法一可知，，，，，則，即，，解得或（舍去）．故選：A．方法三，設(shè)．由分別在雙曲線的兩條漸近線上，得，消去并整理，得．設(shè)，，則，，，，則，，又，，，，解得，離心率．故選：A．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，事件表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（）A.與為互斥事件 B.與相互獨(dú)立C. D.【答案】BD【解析】依題意，不放回的隨機(jī)取兩次，共有種不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，，共個(gè)不同結(jié)果，對(duì)于A，事件能同時(shí)發(fā)生，如基本事件，與不互斥，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，共6個(gè)不同結(jié)果，，與相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，，共9個(gè)不同結(jié)果，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，，D正確.故選：BD10.已知定義在上的函數(shù)不恒等于，且對(duì)任意的，有，則（）A.B.是偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.是一個(gè)周期【答案】ABC【解析】對(duì)于A,根據(jù)題意令，則由可得，解得，即A正確；對(duì)于B,令可得，所以，即可得對(duì)任意的滿足，即是偶函數(shù)，所以B正確；對(duì)于C,令，則由可得，即滿足，因此可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，即C正確；對(duì)于D,由于是偶函數(shù)，所以滿足，即，可得，也即，所以是的一個(gè)周期，即D錯(cuò)誤.故選：ABC11.已知曲線，稱曲線上的點(diǎn)為“邊線點(diǎn)”，曲線稱為“邊線曲線”，則（）A.“邊線曲線”關(guān)于對(duì)稱B.“邊線曲線”在處切線的斜率為C.存在“邊線點(diǎn)”，使得D.“邊線點(diǎn)”到原點(diǎn)距離的最小值為2【答案】AD【解析】對(duì)于A:因?yàn)樵谇€上，則，點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)也在曲線上，所以“邊線曲線”關(guān)于對(duì)稱，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B:由，可得，，所以“邊線曲線”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱，所以“邊線曲線”在處切線的斜率有正負(fù)兩個(gè)值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C:因?yàn)椋?所以，即得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D:“邊線點(diǎn)”到原點(diǎn)距離，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最小值2，D選項(xiàng)正確.故選：AD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非空集合，.若，則的值______.【答案】【解析】由為非空集合可知，故，由于，故即，是的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故且，解得或（舍去），故，故答案為：13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，已知，則__________.【答案】【解析】設(shè)到直線的距離為，因?yàn)椋傻茫裕裕辞遥O(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，則，聯(lián)立方程組，解得，由拋物線的定義，可得.故答案為：14.已知方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，滿足，且在區(qū)間和上各存在唯一整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】方法一．令，則．所以為偶函數(shù)．所以只需考慮時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)即可．當(dāng)時(shí)，令，得．令，則．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，0，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)樵趨^(qū)間上存在唯一的整數(shù)，所以，即．所以的取值范圍為．方法二：．令，則，所以為奇函數(shù)．因?yàn)橐彩瞧婧瘮?shù)，所以只需考慮時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)．易知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，．因?yàn)榕c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，所以，所以的取值范圍為．方法三：由，得．令，兩函數(shù)均為偶函數(shù)，所以只需考慮時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一整數(shù)．如圖，作的部分圖象，根據(jù)圖象易得，所以解得，所以的取值范圍為．故答案為：四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.隨著冬天的臨近，哈爾濱這座冰雪之城，將再次成為旅游的熱門目的地.為更好地提升旅游品質(zhì)，我市文旅局隨機(jī)選擇名青年游客對(duì)哈爾濱出行體驗(yàn)進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分分），分及以上為良好等級(jí)，根據(jù)評(píng)分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值并估計(jì)該評(píng)分的上四分位數(shù)；（2）若采用按比例分層抽樣的方法從評(píng)分在，的兩組中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行單獨(dú)交流，求選取的3人中評(píng)分等級(jí)為良好的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為進(jìn)一步了解不同年齡段游客對(duì)哈爾濱出行體驗(yàn)的反饋，我市文旅局再次隨機(jī)選擇100名中老年游客進(jìn)行滿意度評(píng)分，發(fā)現(xiàn)兩次調(diào)查中評(píng)分為良好等級(jí)的人數(shù)為120名.請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析游客的評(píng)分等級(jí)是否良好與年齡段（青年或中老年）是否有關(guān).附：，0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）由頻率分布直方圖可知，，解得；因?yàn)榈念l率為，且為最后一組，所以評(píng)分的上四分位數(shù)位于區(qū)間中，所以上四分位數(shù)為：；（2）評(píng)分在與兩組的頻率分別為，所以內(nèi)抽取人數(shù)為，內(nèi)抽取人數(shù)為，故人中評(píng)分等級(jí)為良好有人，由題意可知，的可取值為，，，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望；（3）青年游客評(píng)分等級(jí)良好的有人，所以老年游客評(píng)分等級(jí)良好的有人，由上可得如下列聯(lián)表，青年游客老年游客總計(jì)評(píng)分等級(jí)良好評(píng)分等級(jí)非良好總計(jì)零假設(shè)：游客的評(píng)分等級(jí)是否良好與年齡段無(wú)關(guān)，由表中數(shù)據(jù)可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可知零假設(shè)成立，即無(wú)法認(rèn)為游客的評(píng)分等級(jí)是否良好與年齡段有關(guān).16.已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1），求導(dǎo)得，令，即，解得或.令，即，解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）①當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏线f減，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，且，所以在上的最大值為，最小值為；③當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，且，所以在上的最大值為，最小值為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為，最小值為；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為，最小值為；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為，最小值為.17.在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，，，.（1）求證：平面；（2）若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.（1）證明：在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，則，又，，，四邊形平行四邊形，，又，，，，，，平面，平面.（2）解：，，，又，，平面，平面，連接，，，為中點(diǎn)，；以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得：，，；又平面的一個(gè)法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.18.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.（1）判斷的形狀；（2）已知，，，點(diǎn)、是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（、不重合，且點(diǎn)靠近，點(diǎn)靠近）.記，.①當(dāng)時(shí)，求線段長(zhǎng)最小值；②是否存在常數(shù)和，對(duì)于所有滿足題意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考公式：，.解：（1）在中，因?yàn)椋遥裕矗曰蛘?當(dāng)時(shí)，所以，為直角三角形；當(dāng)時(shí)，所以，為等腰三角形.綜上所述，為直角三角形或等腰三角形.（2）①因?yàn)椋裕郑裕?如圖，設(shè)，，方法一：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因?yàn)椋裕十?dāng)，即時(shí)，.方法二：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因?yàn)椋裕十?dāng)，即時(shí)，.方法三：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.所以，因?yàn)椋裕十?dāng)，即時(shí)，.②假設(shè)存在常數(shù)，，對(duì)于所有滿足題意的，，都有成立，則存在常數(shù)，，對(duì)于所有滿足題意的，，利用參考公式，有.由題意，是定值，所以，是定值，對(duì)于所有滿足題意的，成立，故有，因?yàn)椋瑥亩矗?故，.19.已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，，．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)．（i）求證：點(diǎn)軌跡方程為；（ii）為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)在定直線上．解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得.因?yàn)椋?在中，由余弦定理得，解得，則，故橢圓