高級中學名校試題PAGEPAGE1甘肅省白銀市2023-2024學年高一下學期5月階段性檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，因為，，所以．故選：A.2.復數的實部與虛部之和為（）A. B. C.8 D.6【答案】B【解析】因為，所以的實部與虛部之和為．故選：B.3.若向量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，解得．故選：A.4.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由及正弦定理，得，因為，所以，反之亦成立，所以“”是“”的充要條件．故選：A.5.已知函數，則（）A.在上單調遞減 B.的圖象關于直線對稱C.在上單調遞增 D.的圖象關于點對稱【答案】D【解析】對于AC，當時，，則函數在上先增后減，A，C錯誤；對于B，而，則的圖象不關于直線對稱，B錯誤；對于D，，則的圖象關于點對稱，D正確．故選：D.6.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，，又，所以．故選：C.7.如圖，某同學為測量某觀光塔的高度OP，在該觀光塔的正西方向找到一座高為40米的建筑物MN，在地面上點Q處（O，Q，N三點共線且在同一水平面上）測得建筑物MN的頂部M的仰角為，測得該觀光塔的頂部P的仰角為，在建筑物MN的頂部M處測得該觀光塔的頂部P的仰角為，則該觀光塔的高OP為（）A.80米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】由題意可得，米，，則，在△PMQ中，由正弦定理可得，即，解得：米．故選：A.8.若．則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，，即，所以，可得．故選：D.二、多項選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知某市2017年到2022年常住人口（單位：萬）變化圖如圖所示，則（）A.該市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬B.該市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢C.該市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數為730.50萬D.該市2017年到2022年這6年的常住人口的平均數大于718萬【答案】AC【解析】對于A，該市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為：698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，則極差為萬，故A正確；對于B，由圖可知，B錯誤；對于C，，所以第60百分位數為730.50萬，故C正確；對于D，平均數為萬，故D錯誤．故選：AC.10.若，，，在復平面內所對應的點分別為A，B，C，D．若四邊形ABCD為平行四邊形，則（）A. B.C. D.為純虛數【答案】ABD【解析】如圖，由題意得，，，由于,則，，A正確；，B正確；，C錯誤；，D正確．故選：ABD.11.若△ABC的內心與外心分別為N，O，且，，，則（）A.B.點N到AB的距離為C.向量在向量上的投影向量為D.【答案】BCD【解析】對于A，設△ABC的外接圓、內切圓的半徑分別為R，r．因為，且，所以，則，所以，A錯誤；對于B，因為△ABC的面積，而，所以，所以點N到AB的距離為，B正確；對于C，向量在向量上的投影向量為，C正確；對于D，因為，所以，又，所以，則，因為，且在上單調遞減，所以，即，D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若．則______．【答案】【解析】．故答案為：.13.已知向量，的夾角為，，，，，則______，_____．【答案】【解析】因為，且，所以；又因為，則，解得．故答案為：.14.若函數有2個零點，則m的取值范圍是______．【答案】【解析】由，得．設函數，作出的大致圖象，如圖所示：函數有2個零點，即函數與函數的圖象有兩個交點，由圖可知，m的取值范圍是．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象．（1）求的解析式與最小正周期；（2）若，，求，的值．解：（1）函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，可得，最小正周期．（2）因，，所以，所以，．16.人工智能發展迅猛，在各個行業都有應用．某地圖軟件接入了大語言模型后，可以為用戶提供更個性化服務，某用戶提出：“請統計我早上開車從家到公司的紅燈等待時間，并形成統計表．”地圖軟件就將他最近100次從家到公司的導航過程中的紅燈等待時間詳細統計出來，將數據分成了，，，，（單位：秒）這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示．（1）求圖中a的值；（2）估計該用戶紅燈等待時間的中位數（結果精確到0.1）；（3）根據以上數據，估計該用戶在接下來的10次早上從家到公司的出行中，紅燈等待時間低于85秒的次數．解：（1）因為各組頻率之和為1，組距為10，所以，解得.（2）因為，，所以中位數位于第三組中，設中位數為x，則，解得，所以該用戶紅燈等待時間的中位數的估計值為79.3.（3）由題紅燈等待時間低于85秒的頻率為，故估計該用戶在接下來的10次中紅燈等待時間低于85秒的次數為次.17.已知函數．（1）證明：的定義域與值域相同．（2）若，，，求m的取值范圍．解：（1）證明：由，得，所以的定義域為，，因為在上單調遞增，所以，所以的值域為，所以的定義域與值域相同．（2）由（1）知在上單調遞增，所以當時，，設，當，即時，取得最小值，且最小值為，因，，，所以，即m的取值范圍為．18.如圖，在△ABC中，，，其中，CP的延長線與AB交于點F．已知，，．（1）若，請用向量，表示向量，并求的值；（2）若，，證明：．解：（1）因為，所以，因為，，，所以，所以.（2）（方法一）由三點共線，可設，，因為，，所以，由（1）得，所以，所以，以.（方法二）因為，，所以，所以，因為C，P，F三點共線，所以，即．19.養魚是現在非常熱門的養殖項目，為了提高養殖效益，養魚戶們會在市場上購買優質的魚苗，分種類、分區域進行集中養殖．如圖，某養魚戶承包了一個邊長為100米的菱形魚塘（記為菱形）進行魚類養殖，為了方便計算，將該魚塘的所有區域的深度統一視為2米．某養魚戶計劃購買草魚苗、鯉魚苗和鯽魚苗這三種魚苗進行分區域養殖，用不銹鋼網將該魚塘隔離成，，三塊區域，圖中是不銹鋼網露出水面的分界網邊，E在魚塘岸邊上（點E與D，C均不重合），F在魚塘岸邊．上（點F與B，C均不重合）．其中△的面積與四邊形的面積相等，△為等邊三角形．（1）若測得EC的長為80米，求的長．（2）已知不銹鋼網每平方米的價格是20元，為了節約成本，試問點E，F應如何設置，才能使得購買不銹鋼網所需的花費最少？最少約為多少元？（安裝費忽略不計，取）解：（