高級中學名校試題PAGEPAGE1北京市平谷區(qū)2025屆高三下學期3月質(zhì)量監(jiān)控（一模）考試數(shù)學試題一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有，個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上，）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，故選：D2.在復平面內(nèi)，復數(shù)滿足，則復數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由可得，故復數(shù)z對應(yīng)的點為，位于第二象限.故選：B3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，，由于，故在區(qū)間上不是單調(diào)遞增的，A錯誤，對于B,在區(qū)間上單調(diào)遞減，B錯誤，對于C,當時，單調(diào)遞增，且值恒為正，故為單調(diào)遞減，所以為單調(diào)遞增，C正確，對于D，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，D錯誤，故選：C4.在的展開式中，的系數(shù)為（）．A. B.5 C. D.10【答案】C【解析】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.5.已知是平面內(nèi)兩個非零向量，，那么“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，，所以，，當時，，當時，，此時故“”是“”的不充分條件，因為，若，則，當且僅當方向相同時取到等號，則恒成立，故，所以是必要條件，綜上可知，，那么“”是“”的必要不充分條件，故選：B6.在等比數(shù)列中，，記，則數(shù)列（）A.無最大項，有最小項 B.有最大項，無最小項C.有最大項，有最小項 D.無最大項，無最小項【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，解得，，則，則，設(shè)，則，所以，則時，，即，當時，，即，則，則為最大項，此時為正數(shù)項，且在正數(shù)項中最大；再比較和，其中一個為第二大的項，由于，，因此為最小項.故選：C.7.已知函數(shù)，若在區(qū)間上沒有最值，則的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由，，則，因為在區(qū)間上沒有最值，所以，則，解得，所以的最大值為.故選：A.8.冰淇淋蛋筒是大家常見的一種食物，有種冰淇淋蛋筒可以看作是由半徑為10cm，圓心角為的扇形蛋卷坯卷成的圓錐，假設(shè)高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒內(nèi)部的奶油體積相等，則該種冰淇淋中奶油的總體積約為（）（忽略蛋筒厚度）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓錐底面面積為，由題意可知，所以，設(shè)圓錐得高為，則，所以圓錐的體積為：，所以該種冰淇淋中奶油的總體積約為，故選：D9.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：）間的關(guān)系為，其中是正的常數(shù)，如果前消除了的污染物，那么從消除的污染物到消除的污染物大約需要經(jīng)歷（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，即，即，設(shè)消除的污染物對應(yīng)事件為，即，設(shè)消除的污染物對應(yīng)事件為，即，兩式相除可得：，即，所以：，即從消除的污染物到消除的污染物大約需要經(jīng)歷，故選：A10.已知函數(shù)，任取，定義集合：，點，滿足.設(shè)分別表示集合中元素的最大值和最小值，記.則函數(shù)的最小值是（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】如圖所示，的圖象，此時，函數(shù)的最小正周期為，點,當點在A點時，點在曲線上，，當點在曲線上從A接近時，減小，所以逐漸增大；當點在點時，當點在曲線上從接近時，減小，逐漸減小，當點在點時，當點在曲線上從接近時，增大,逐漸增大，當點點時，當點在曲線上從接近時，增大,逐漸見減小，當點在點時，,綜上可得的最小值是1故選：B二?填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上.）11.拋物線上一點到準線的距離與到對稱軸的距離相等，則__________.【答案】【解析】拋物線焦點在軸上，且焦點，故拋物線的對稱軸為軸，拋物線上一點到準線的距離與到對稱軸的距離相等，由拋物線的定義可知，點到準線的距離與到焦點的距離相等，所以，若軸，則垂足為點，即，故答案為：12.《張邱健算經(jīng)》是公元5世紀中國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學著作，書中記載著這樣一個問題：“有個女子善織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個月（按30天計）共織了440尺，推算第10天該女子織了__________尺布.”【答案】11【解析】由題得每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，首項，記公差為，由題得，所以所以.故答案為：1113.記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值為_________.【答案】2（注：區(qū)間內(nèi)任何一個值）【解析】由題意可知雙曲線的漸近線為，離心率，若滿足直線與C無公共點，則需，故答案為：214.已知函數(shù)，當時，的值域是__________，若有兩個極值點，則的取值范圍是__________.【答案】①.②.【解析】由，則，當時，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時；當時，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.綜上可得.由題意可設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，且，由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，一次函數(shù)，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，可得，解得.故答案為：；.15.已知各項均不為零的數(shù)列，其前項和是，且.給出如下結(jié)論：①；②若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是；③存在實數(shù)，使得為等比數(shù)列；④，使得當時，總有.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②④【解析】由得，相減可得，由于各項均不為零，所以，所以的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，對于①，，故正確；對于②，由于的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，所以，若，則需要，則，故正確，對于③，，若為等比數(shù)列，則為常數(shù)，則，此時，故，進而可得數(shù)列的項為顯然這不是等比數(shù)列，故錯誤，對于④，若，只要足夠大，一定會有，則，只要足夠的大，趨近于0，而，顯然能滿足，故，當時，總有，故正確，故答案為：①②④三?解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16.在中，.（1）求的大小；（2）再從下列三個條件中，選擇一個作為已知，使得存在且唯一，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：邊上的高為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）方法一：由正弦定理及，得.①因為，所以.②由①②得因為，所以.所以.因為，所以.方法二：在中，因為，由余弦定理得，整理得所以，所以.（2）若選條件①：；，所以,而，這與矛盾，故不能選①.選條件②：方法一：由余弦定理，得即，解得.所以方法二：由正弦定理，所以，因為，所以，所以.選條件③：邊上的高，所以，以下與選擇條件②相同.17.如圖，在四棱錐中，平面平面等腰直角三角形，.（1）點在棱上，若平面，求證：為的中點；（2）求與平面所成的角.（1）證明：在中，過點作交于點，連接，因為，所以，所以四點共面.因為平面，平面，平面平面，所以.所以四邊形是平行四邊形，所以，所以為的中點.（2）過作于，連接因為，所以為中點，，，所以四邊形為平行四邊形，又，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以，所以.如圖建立空間直角坐標系.因為，由題意得，，所以.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以平面的一個法向量為.設(shè)與平面所成角為，則，又，解得.所以與平面所成的角為18.某科研團隊研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準確性，科研團隊從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機選取了40位患者和60位非患者，用該試劑盒分別對他們進行了一次檢測，結(jié)果如下：抽樣人群陽性人數(shù)陰性人數(shù)患者364非患者258（1）試估計使用該試劑盒進行一次檢測結(jié)果正確的概率；（2）若從該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，求恰有一人檢測結(jié)果錯誤的概率；（3）假設(shè)該地區(qū)有10萬人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機選取一人，用該試劑盒對其檢測一次.若檢測結(jié)果為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.2？并說明理由.解：（1）由題意知，使用該試劑盒進行一次檢測共有100人，其中檢測結(jié)果正確的共有94人，所以使用該試劑盒進行一次檢測結(jié)果正確的概率估計為.（2）設(shè)事件：患者檢測結(jié)果正確，事件：非患者檢測結(jié)果正確“，事件：該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結(jié)果錯誤；根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可估計為可估計為該地區(qū)的患者中抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結(jié)果錯誤的概率為該地區(qū)的非患者中抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結(jié)果錯誤的概率為所以，所以.因此恰有一人檢測結(jié)果錯誤的概率為（3）此人患該疾病的概率超過0.2.理由如下：由題意得，如果該地區(qū)所有人用該試劑盒檢測一次，那么結(jié)果為陽性的人數(shù)為，其中患者人數(shù)為900.若某人檢測結(jié)果為陽性，那么他患該疾病的概率為.19.已知橢圓的離心率為，短軸長為2，斜率為的直線與橢圓交于兩點，與軸交于點，點關(guān)于軸的對稱點為點，直線與軸交于點為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）求的值.解：（1）由題意可知：，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點.由得所以題意，即..直線與軸交于點，所以.點直線的方程為，令，得，①又因為，帶入①式所以.20.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；（3）當變化時，曲線在點處的切線斜率能否為1？若能，求的值，若不能，說明理由.解：（1）當時，則，，，所以在點處的切線方程為.（2）當時，函數(shù)的定義域是，所以，令，所以，當時，；當時，，所以在時為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在處取得最大值，又，故恒成立，所以在減函數(shù).（3）由題意知，因為，所以，即有，令則，故是上的增函數(shù)，又，因此0是的唯一零點，即方程有唯一實根0，所以.所以曲線在點處的切線斜率能為1，此時.21.對于數(shù)列，若滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.定義變換，若，將變成0，1，若，將變成1，0，得到新“數(shù)列”.設(shè)是“數(shù)列”，令.（1）若數(shù)列.求數(shù)列；（2）若數(shù)列共有10項，則數(shù)列中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至多有多少對？請說明理由；（3）若為0，1，記數(shù)列中連續(xù)兩項都是0的數(shù)對個數(shù)為.求關(guān)于的表達式.解：（1）由變換的定義可得.（2）數(shù)列中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至多有19對.證明：對于任意一個“數(shù)列”中每一個1在中對應(yīng)連續(xù)四項，在中每一個0在中對應(yīng)的連續(xù)四項為，因此，共有10項的“數(shù)列”中的每一個項在中都