高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1安徽省合肥市2025屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋裕裕驗(yàn)椋裕裕蔬x：.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由題意，，則.所以復(fù)數(shù)的虛部是故選：A.3.若空間中三條不同的直線，，滿足，，則是，，共面的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】如圖所示：滿足，，且，但是，所以可知是，，共面的不充分條件；當(dāng)，，共面時(shí)，由平面幾何知識(shí)可知同一平面內(nèi)的直線不平行必相交，又因?yàn)椋员厝挥校词牵裁娴谋匾獥l件，綜上可知是，，共面的必要不充分條件.故選：B.4.已知向量，，設(shè)，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋裕裕O(shè)與的夾角為，則，又，所以，即與的夾角為.故選：C.5.已知雙曲線，過(guò)頂點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，交軸于點(diǎn)，且，則的離心率為（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】不妨令漸近線方程為，頂點(diǎn)為，則過(guò)頂點(diǎn)與漸近線垂直的直線的方程為，令，得，則，所以，又因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕裕蔬x：.6已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋裕裕裕裕裕裕裕蔬x：C.7.已知為圓錐的底面直徑，為底面圓心，正三角形內(nèi)接于，若，圓錐的側(cè)面積為，則與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)椋裕裕裕裕终切蝺?nèi)接于，所以，解得：，所以，所以，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，所以與所成角即為與所成角或其補(bǔ)角，所以為與所成角，由余弦定理可得：，故選：A.8.已知點(diǎn)，，是與軸的交點(diǎn)．點(diǎn)滿足：以為直徑的圓與相切，則面積的最大值為（）A. B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】如圖，設(shè)以為直徑的圓的圓心為，，顯然兩圓內(nèi)切，所以，又為的中位線，所以，所以，所以的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，，，顯然當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)即時(shí)，的面積最大，最大值為，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.從某校高一和高二年級(jí)分別隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行知識(shí)競(jìng)賽，按得分（滿分100分）繪制如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖，并用頻率估計(jì)概率記高一年級(jí)學(xué)生得分平均數(shù)的估計(jì)值為，高二年級(jí)學(xué)生得分中位數(shù)與平均數(shù)的估計(jì)值分別為，．從高一和高二年級(jí)各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，記事件“高一年級(jí)學(xué)生得分不低于60分，高二年級(jí)學(xué)生得分不低于80分”，事件“高一年級(jí)學(xué)生得分不低于80分，高二年級(jí)學(xué)生得分不低于60分”則（）A. B. C.事件，互斥 D.【答案】AB【解析】，∵，∴，∴，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)正確；∵“高一年級(jí)學(xué)生得分不低于80分，高二年級(jí)學(xué)生得分不低于80分”，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由評(píng)率估計(jì)概率得：，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B.與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，與的圖象恰有4個(gè)交點(diǎn)【答案】ACD【解析】由題得，，A：與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，，，所以與的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；C：，當(dāng)時(shí)，，令，則，在上恒小于0，所以在上恒大于0，即，即，故C正確；D：令，即，得（無(wú)解）或，解得，又，所以，解得（），所以，即函數(shù)圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑒t（）A. B.，C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，中，令得，又，故，解得，中，令得，故，A正確；D選項(xiàng)，中，令得，即，，中，令得，即，因?yàn)椋裕剩实囊粋€(gè)周期為1，故，所以，故為偶函數(shù)，D正確；B選項(xiàng)，中，令得，由于，，故，由于的一個(gè)周期為1，故，所以，解得，中，令得，又，故，，所以，故，故不存在，，B錯(cuò)誤；由上可知，，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為銳角三角形，且，，的面積為，則____________．【答案】7【解析】由，得，又為銳角三角形，所以角A為銳角，所以，在中，由余弦定理，得：，.故答案為：7.13.已知函數(shù)的最小值為，則____________．【答案】【解析】①若，則時(shí)，，且單調(diào)遞增，時(shí)，，則最小值為，若存在最小值，則有且，得；②若，則時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，且單調(diào)遞減，，，若最小值為，則，且，無(wú)解；若最小值為，則，且，得，綜上所述，或故答案為：14.如圖，在的方格中放入棋子，每個(gè)格子內(nèi)至多放一枚棋子，若每行都放置兩枚棋子，則恰好每列都有兩枚棋子的概率為_(kāi)___________．【答案】【解析】設(shè)“每行都放置兩枚棋子”為事件A，“每列都有兩枚棋子”為事件B，則所求概率為，根據(jù)題意，每行都放置兩枚棋子,即每行都在4個(gè)方格中選2個(gè)放置棋子，有種方法，所以，.對(duì)于“每行每列都放置兩枚棋子”，不妨令第一行的兩枚棋子放置在左邊第一、二個(gè)方格，此時(shí)第二行有種放置方法，則第三、四行的放置方法如圖，圖1有1種方法，圖2、3、4、5各有2種方法，圖6中，第三行有種放置方法，其選定方格后，第四行只有唯一的放置方法.所以總共有種方法.因第一行棋子有種放置方法，其他5種情況同理，故.所以，若每行都放置兩枚棋子，則恰好每列都有兩枚棋子的概率故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)公差為，公比為，，故，，，故，聯(lián)立，解得或（舍去），故，；（2），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，①，②兩式①-②得，所以.16.如圖，三棱柱所有棱長(zhǎng)都為2，,是的中點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槿庵乃欣忾L(zhǎng)都是2，所以四邊形為菱形，所以，所以，因?yàn)椋遥矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫裕诘冗呏校驗(yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋移矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）解：連接，因?yàn)槿庵乃欣忾L(zhǎng)都為2，且，可得為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以，由（1）知：平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)椋O(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角的正弦值為.17.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，的值；（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明所有零點(diǎn)之和為0．解：（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，得到.把代入得，因?yàn)椋裕?，算出.（2）由第（1）問(wèn)知，.

令，求導(dǎo)得.當(dāng)，，在遞減；當(dāng)，，在遞增.

，，所以存唯一使，即.

當(dāng)，，在遞減；當(dāng)，，在遞增，所以.

，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在和各有一個(gè)零點(diǎn)，共兩個(gè)零點(diǎn).

設(shè)是零點(diǎn)，，經(jīng)計(jì)算，所以也是零點(diǎn)，零點(diǎn)和為.18.已知拋物線，，點(diǎn)在上．（1）求最小值；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，過(guò)作的兩條切線，分別交于，兩點(diǎn)．（ⅰ）求直線斜率的取值范圍；（ⅱ）證明直線過(guò)定點(diǎn)．解：（1）設(shè)，則，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.（2）記直線的斜率分別為，因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，可得，設(shè)過(guò)的圓的切線方程為，由題意可得，即，因?yàn)槭欠匠痰母裕郑裕裕矗á。┮驗(yàn)榈男甭蕿椋裕忠驗(yàn)椋?即直線斜率的取值范圍為；（ⅱ）因?yàn)椋裕灾本€的方程為，即，即，即，令，則，所以直線過(guò)定點(diǎn)．19.當(dāng)前，以大語(yǔ)言模型為代表的人工智能技術(shù)正蓬勃發(fā)展，而數(shù)學(xué)理論和方法在這些模型的研發(fā)中，發(fā)揮著重要作用．例如，當(dāng)新聞中分別出現(xiàn)“7點(diǎn)鐘，一場(chǎng)大火在郊區(qū)燃起”和“7點(diǎn)鐘，太陽(yáng)從東方升起”這兩個(gè)事件的描述時(shí)，它們提供的“信息量”是不一樣的，前者比后者要大，會(huì)吸引人們更多關(guān)注．假設(shè)通常情況下，它們發(fā)生的概率分別是和，用這個(gè)量來(lái)刻畫(huà)“信息量”的大小，計(jì)算可得前者約為9，后者接近于0．現(xiàn)在假設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列