第17講導數與函數極值、最值1/42考綱要求考點分布考情風向標1.能利用導數研究函數單調性，會求函數單調區間(其中多項式函數普通不超出三次).2.會用導數求函數極大值、極小值(其中多項式函數普通不超出三次)；會求閉區間上函數最大值、最小值(其中多項式函數普通不超出三次).3.會利用導數處理一些實際問題年新課標Ⅰ第20題(1)(2)考查導數幾何意義、單調性、極大值等；年新課標Ⅱ第21題考查函數極值充要條件及利用單調性討論參數取值范圍；年新課標Ⅰ第12題以函數零點為背景，考查導數應用；年新課標Ⅱ第12題結構函數利用其單調性解不等式；年新課標Ⅰ第21題考查函數單調性本節復習時，要尤其注意三次函數、指數函數與對數函數(以e為底)綜合題.要深入體會導數應用中蘊含數學思想方法.分類討論思想(如參數問題討論)；數形結合思想(如經過從導函數圖象特征解讀函數圖象特征或求兩曲線交點個數)；等價轉化思想(如將證實不等式問題等價轉化為研究對應問題最值等)2/421.函數極值f′(x)＜0f′(x)＞0(1)判斷f(x0)是極值方法：普通地，當函數f(x)在點x0處連續時，①假如在x0附近左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；

②假如在x0附近左側____________，右側___________，那么f(x0)是極小值.3/42(2)求可導函數極值步驟：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0根；

③檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0根左右兩邊導函數值符號.假如左正右負，那么f(x)在這個根處取得__________；假如左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；假如左右兩側符號一樣，那么這個根不是極值點.極大值4/422.函數最值(1)函數f(x)在[a，b]上有最值條件：假如在區間[a，b]上，函數y＝f(x)圖象是一條連續不停曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)①若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數最小值，f(b)為函數最大值；②若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數最大值，f(b)為函數最小值.5/42

(3)求y＝f(x)在[a，b]上最大(小)值步驟： ①求函數y＝f(x)在(a，b)內________； ②將函數y＝f(x)各極值與__________比較，其中最大一個是最大值，最小一個是最小值.極值端點值6/423.利用導數處理實際生活中優化問題基本步驟

(1)分析實際問題中各變量之間關系，建立實際問題數學模型，寫出對應函數關系式y＝f(x)并確定定義域；(2)求導數f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)判斷使f′(x)＝0點是極大值點還是極小值點；(4)確定函數最大值或最小值，還原到實際問題中作答，即取得優化問題答案.7/428/42答案：A9/42C.x＝2為f(x)極大值點D.x＝2為f(x)極小值點D10/4211/424.(年陜西)函數

xex在其極值點處切線方程為____________.12/42考點1函數極值

例1：(2013年新課標Ⅰ)已知函數f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處切線方程為y＝4x＋4. (1)求a，b值；

(2)討論f(x)單調性，并求f(x)極大值.

解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知，得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.

從而a＝4，b＝4.13/4214/42【規律方法】(1)求可導函數單調區間普通步驟和方法：①確定函數f(x)定義域；

②求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內一切實根；

③把函數f(x)間斷點[即f(x)無定義點]橫坐標和上面各實數根按從小到大次序排列起來，然后用這些點把函數f(x)定義區間分成若干個小區間；④確定f′(x)在各個開區間內符號，依據f′(x)符號判定函數f(x)在每個對應小開區間內增減性.15/42(2)可導函數極值存在條件：①可導函數極值點x0一定滿足f′(x0)＝0，但當f′(x1)＝0時，x1不一定是極值點.如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點；②可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)符號不一樣.16/42【互動探究】A1.(年新課標Ⅱ)若x＝－2是函數f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1極值點，則f(x)極小值為()A.－1

B.－2e－3C.5e－3

D.1解析：由題可得f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因為f′(－2)＝0，所以a＝－1，f(x)＝(x2－x－1)ex－1.故f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上單調遞增，在(－2，1)上單調遞減.所以f(x)極小值為f(1)＝(1－1－1)·e1－1＝－1.故選A.17/422.已知函數f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數a取值范圍是()A.(－∞，0)C.(0,1)D.(0，＋∞)18/42答案：B19/42考點2函數最值例2：(2017年北京)已知函數f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處切線方程；

解：(1)因為f(x)＝excosx－x， 所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.

又因為f(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處切線方程為y＝1.20/4221/42【規律方法】求函數f(x)在[a，b]上最大值、最小值步驟：①求函數在(a，b)內極值；②求函數在區間端點函數值f(a)，f(b)；③將函數f(x)極值與f(a)，f(b)比較，其中最大為最大值，最小為最小值.22/42【互動探究】3.(年河南鄭州模擬)已知函數f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)單調區間；(2)求f(x)在區間[0,1]上最小值.23/42x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調遞減－ek－1單調遞增解：(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.當x改變時，f(x)與f′(x)改變情況以下表：所以f(x)單調遞減區間是(－∞，k－1)，單調遞增區間是(k－1，＋∞).24/42(2)①當k－1≤0，即k≤1時，函數f(x)在[0,1]上單調遞增，所以f(x)在區間[0,1]上最小值為f(0)＝－k.②當0＜k－1＜1，即1＜k＜2時，由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調遞減，在(k－1,1]上單調遞增，所以f(x)在區間[0,1]上最小值為f(k－1)＝－ek－1.③當k－1≥1，即k≥2時，函數f(x)在[0,1]上單調遞減，所以f(x)在區間[0,1]上最小值為f(1)＝(1－k)e.總而言之，當k≤1時，f(x)min＝－k；當1＜k＜2時，f(x)min＝－ek－1；當k≥2時，f(x)min＝(1－k)e.25/42考點3利用導數處理生活中優化問題

例3：(2016年江蘇)現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部分形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖2-17-1)，并要求正四棱柱高是PO1

四倍. (1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫容積是多少？

(2)若正四棱錐側棱長為6m，則當PO1為多少時，倉庫容積最大？圖2-17-126/42解：(1)由PO1＝2m，知OO1＝4PO1＝8m.因為A1B1＝AB＝6m，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1體積V柱＝AB2·OO1＝62×8＝288(m3).所以倉庫容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3).27/4228/4229/42

【規律方法】本題在利用導數求函數單調性時要注意，求導后分子是一個二次項系數為負數一元二次式，在求f′(x)>0和f′(x)<0時要注意，本題主要考查考生對基本概念掌握情況和基本運算能力.30/42【互動探究】31/4232/42

(2)由(1)解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上單調遞增，在(r，＋∞)上單調遞減.

所以x＝r是f(x)極大值點，所以f(x)在(0，＋∞)內極大值為f(r)＝100，f(x)在(0，＋∞)內無極小值.

總而言之，f(x)在(0，＋∞)內極大值為100，無極小值.33/42

難點突破 ⊙利用轉化與化歸思想討論函數中恒成立(