第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2025年高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（4月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z=1+i1A.1 B.2 C.?1 D.2.設(shè)集合A={x|x2?A.[?1,3] B.[?3.已知非零向量a，b滿足|a|=2|b|，且向量b在向量a上的投影向量是14A.2π3 B.π2 C.π4.在(x2+x+yA.3 B.6 C.60 D.305.若雙曲線C1：x2a2?y2b2=A.(0,233] B.6.已知α,β∈(0,π2)A.3 B.33 C.7.已知數(shù)列{an}滿足：a1=1A.a10=45 B.an=2?8.已知a∈(0,1e)，若(lA.e B.12e C.1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2025屆高三第一次聯(lián)考中，某校高三年級(jí)參加了聯(lián)考，該校有600個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)及格(90分及以上)，從數(shù)學(xué)及格的學(xué)生中隨機(jī)抽取100個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.a=0.024

B.估計(jì)該校有96名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分

C.用頻率估計(jì)概率，已知某學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績(jī)不低于130的概率為0.2

D.成績(jī)?cè)赱110,120)和[120,130)內(nèi)學(xué)生的男女比例分別為7：310.已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(?1,0)，(1,0)，M為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線MA，MB的斜率分別為kMA，A.軌跡C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.軌跡C關(guān)于直線對(duì)稱

C.當(dāng)a=0時(shí)，軌跡C為一條直線 D.當(dāng)a>11.如圖，棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1D1，動(dòng)點(diǎn)P在正方體A.若BP=λBC+μBB1，且λ+μ=1，則三棱錐P?A1C1D體積為定值

B.若A1P⊥C1D，則動(dòng)點(diǎn)P所圍成的圖形的面積為92

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知隨機(jī)事件A、B相互獨(dú)立，若P(A)=34,13.過(guò)拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P作圓C：(x?3)2+y14.已知A(?1,0)，B(3,0)，P四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知csinB=3bcosC．16.(本小題15分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AB=AD且AB⊥AD，沿BD將△BCD折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P．

17.(本小題15分)

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)P是圓O：x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為Q，點(diǎn)M滿足MQ=32PQ，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．

(1)求曲線C的方程；

(18.(本小題17分)

為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，學(xué)校舉辦趣味爬樓梯比賽.從地面開始，小明爬樓梯有兩種方式，一步上一級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階，其中一步上一級(jí)臺(tái)階的概率為13，上兩級(jí)臺(tái)階的概率為23，爬樓梯過(guò)程中，小明爬到第n個(gè)臺(tái)階的概率為pn(n∈N*).

(1)求p2，p3的值；

(19.(本小題17分)

數(shù)學(xué)家高斯在研究整數(shù)問(wèn)題時(shí)，發(fā)明了取整符號(hào)[x]，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[l]=1，[2.3}=2,[?1.5]=?2．

(1)分別求函數(shù)y=[sinx]和答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵z=1+i1?i=(1+i)22.【答案】C

【解析】解：∵A={x|?1≤x≤3}，B={x|3.【答案】C

【解析】解：∵非零向量a，b滿足|a|=2|b|，且向量b在向量a上的投影向量是14a，

∴|b|cos?a,b??a|a|4.【答案】C

【解析】解：(x2+x+y)6表示6個(gè)因式x2+x+y的乘積，

在6個(gè)因式中，1個(gè)因式選y，2個(gè)因式選x2，3個(gè)因式選x，5.【答案】D

【解析】解：雙曲線C1：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線為y=±bax，

又漸近線與圓C2：(x?2)2+y6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)棣粒隆?0,π2)，sin(α+β)=2sin(α?β)，

所以sinαcosβ+cosαs7.【答案】C

【解析】解：由a1=1，an+1=an?1an+3，可得an+1+1=2(an+1)an+3，

即有1an+1+1=1an+1+8.【答案】B

【解析】解：設(shè)f(x)=lnxx，則h′(x)=1?lnxx2，

x∈(0,e)，h′(x)>0，h(x)遞增，x∈(e,+∞)，h′(x)<0，h(x)遞減，

所以h(x)max=h(e)=1e，因?yàn)閤趨于0時(shí)，h(x)趨于負(fù)無(wú)窮，x趨于正無(wú)窮時(shí)，h(x)趨于0且h(x)>0，

所以當(dāng)a∈(0,1e)時(shí)，lnxx?a=0有兩個(gè)正根x1，x2，

當(dāng)x∈(0,x1)∪(x2,+∞)時(shí)，lnxx?a<0，x∈(x9.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A，由頻率分布直方圖可知，(0.040+a+0.020+0.010+0.005+0.001)×10=1，

解得a=0.024，故A正確；

對(duì)于B，由頻率分布直方圖可知，數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的頻率為0.1+0.05+0.01=0.16，

所以估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的人數(shù)為600×0.16=96，故B正確；

對(duì)于C，用頻率估計(jì)概率，已知某學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績(jī)不低于130的概率為0.05+0.011?0.4=0.1，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D10.【答案】BD【解析】解：設(shè)M(x,y)，則kMA?kMB=yx+1?yx?1=a，整理得ax2+2y?a=0(x≠±1)，

即11.【答案】AB【解析】解：對(duì)A，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)及其邊界上，且BP=λBC+μBB1，λ+μ=1，

則P的軌跡為線段B1C由于B1C/?/A1D，A1D?平面A1C1D，

所以B1C//A1C1D，所以三棱錐P?A1C1D的體積為定值，故A正確；

對(duì)B，易知C1D⊥平面A1BCD1動(dòng)點(diǎn)P在正方體．ABCD?A1B1C1D1內(nèi)及其邊界上，

且A1P⊥C1D，所以動(dòng)點(diǎn)P所圍成的圖形是矩形A1BCD1，

則面積為3×32=92，故B正確；

對(duì)C，設(shè)△PAB邊AB上的高為h，則sin∠PAB=2sin∠PBA，

由正弦定理可得PAsin∠PBA=PBsin∠PAB，

所以PAPB=sin∠PBAsin∠PAB=12，故PB=2PA，

以A為點(diǎn)，AB．AD，AA1，

所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,12.【答案】12【解析】解：由題意，所以P(A?B)=P(A13.【答案】4

【解析】解：由題意知C：(x?3)2+y2=4的圓心為(3,0)，半徑為2，

如圖，PA⊥AC，PB⊥BC，

則S四邊形PACB=2×12|PA|?|CA|=2|PA|，

而|PA|=|PC|2?|CA|2=14.【答案】813【解析】解：設(shè)△PAB外接圓半徑為R，由正弦定理，|AB|sin∠APB=2R?|AB|2R=sin∠APB，

當(dāng)外接圓半徑最小，即外接圓與圓O相內(nèi)切時(shí)，sin∠APB最大，

設(shè)△PAB外接圓圓心為M，由題可得其在AB中垂線上，可設(shè)其坐標(biāo)為：(1,x)，

則R=|MA|=15.【答案】π3；

3【解析】解：(1)因?yàn)閏sinB=3bcosC，

所以由正弦定理得：sinCsinB=3sinBcosC，

又因?yàn)閟inB≠0，所以sinC=3cos16.【答案】證明見解析；

217【解析】解：(1)證明：取BD中點(diǎn)E，連接AE，PE，

由AB=AD，得AE⊥BD，由等邊△ABC，得PE⊥BD，

而AE，PE?平面PAE，AE∩PE=E，

則BD⊥平面PAE，又PA?平面PDE，

所以PA⊥BD．

(2)依題意，△BCD的面積為34?BC2=3，

三棱錐P?ABD體積VP?ABD=VA?PBD，

則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A到平面PBD的距離最大時(shí)，三棱錐P?ABD體積最大，

在△ABD中，AB⊥AD，AE=BD=1，

因此當(dāng)AE⊥17.【答案】x24+y2【解析】解：(1)設(shè)M(x,y)，P(x0,y0)，

則x02+y02=4，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為Q，則Q(x0,0)，

因?yàn)镸Q=32PQ，則(x0?x,?y)=32(0,?y0)，

則y=32y0x=x0，整理得y0=233yx0=x，代入x02+y02=4中得x2+43y2=4，

整理得x24+y23=118.【答案】p2=79,p3=1327；【解析】解：(1)易知：p1=13，p2=13×13+23=79，p3=(13)3+C21×X3456P

1

2

48所以E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5；

(3)由(1)知：p1=13，p2=79，且當(dāng)n≥3時(shí)，pn19.【答案】y=[sinx]∈{?1,0,【解析】解：(1)由于sinx∈[?1,1]，所以y=[sinx]∈{?1,0,1}，由于函數(shù)y=x的值域?yàn)镽，所以y=[x]的值域?yàn)檎麛?shù)集Z；

(2)令φ(x)=xex，則φ′(x)=