數字矩陣的Jordan標準型4.4數字矩陣的Jordan標準型矩陣相似的條件引理4.2設與為兩個階矩陣,若存在階數字矩陣和,使得

則與相似.證比較上式兩端的同次冪的系數矩陣,可得

從而,得故與相似.引理4.3設與為兩個階方陣,若它們的特征矩陣與等價,則存在階數字矩陣和,使得

數字矩陣的Jordan標準型定理4.13階方陣與相似的充要條件是它們的特征矩陣與等價.證必要性：若與相似,則存在可逆矩陣使得從而

而和均可視為可逆的矩陣,故與等價.充分性：若與等價,則由引理4.2與引理4.3可以證明.定義4.13設是階數字矩陣,其特征矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子分別稱為矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子.例4.7求矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子.解的特征矩陣為數字矩陣的Jordan標準型行列式因子為

由于它有兩個2階子式

故從而,的不變因子為于是,的初等因子組為例4.8求如下矩陣的不變因子與初等因子(其中,為非零常數)：數字矩陣的Jordan標準型解因為

所以去掉第1行第列后,剩下的階子式為從而,

由此得

故的不變因子為

初等因子為

數字矩陣的Jordan標準型定理4.14階矩陣與相似的充要條件是它們有相同的行列式因子,或者它們有相同的不變因子.由于特征矩陣滿秩,因此根據定理4.14立即可得.定理4.15階矩陣與相似的充要條件是它們有相同的初等因子.數字矩陣的Jordan標準型Jordan標準型及其計算前面曾指出,階數字矩陣不一定可對角化,但總可以相似于一個比對角矩陣稍復雜的Jordan標準型.Jordan標準型在數值計算中經常采用,它不僅可用于計算矩陣的方冪,還在矩陣函數、矩陣級數、微分方程等方面有著廣泛的應用.定義4.14形如

的矩陣稱為階Jordan塊,其中為復數.例如,

分別為對角元素為的1、2、3、4階Jordan塊.數字矩陣的Jordan標準型定義4.15由若干Jordan塊的直和構成的分塊對角陣

稱為階Jordan標準型,其中為階Jordan塊,例如：

是一個6階Jordan標準型,它由3個Jordan塊構成.數字矩陣的Jordan標準型注階對角矩陣是Jordan標準型的特例,它由個1階Jordan塊構成.下面討論任何一個方陣相似于某個Jordan標準型的條件,以及如何將化為Jordan標準型的方法.方法1初等因子法引理4.4階Jordan塊

只有一個初等因子證明仿照例4.7即可.數字矩陣的Jordan標準型如果用表示主對角線上元素為的階Jordan塊,則Jordan標準型

的初等因子組為

且定理4.16任意一個階復矩陣都與一個Jordan標準型相似,若不考慮中Jordan塊的排列順序,則由唯一確定.證設的特征矩陣的初等因子組為

數字矩陣的Jordan標準型且每個對應一個主對角線元素為、階數為的Jordan塊所有的直和構成.因此,的初等因子組為因為與有相同的初等因子,所以與也有相同的初等因子,因此與等價.根據定理4.13可知與相似.若存在與均與相似,則與有相同的初等因子.如果不考慮與中Jordan塊的排列順序,則既然階對角矩陣是Jordan標準型的特例,那么下面的推論顯然成立.推論4.1任意一個階復矩陣可以對角化的充要條件是的初等因子全是一次因式.數字矩陣的Jordan標準型綜上,可得求矩陣的Jordan標準型的初等因子的方法,具體步驟如下.第一步：求出矩陣的初等因子組,設為

第二步：對于每個初等因子寫出其對應的階Jordan塊,即

第三步：將各Jordan塊合在一起,寫出的Jordan標準型,即

數字矩陣的Jordan標準型例4.9求矩陣的Jordan標準型.解第一種方法：例4.7已經求得的初等因子組為從而的Jordan標準型為或者第二種方法：寫出的特征矩陣,并進行初等變換得到Smith標準型,即

故的初等因子組為同樣可得到的Jordan標準型.數字矩陣的Jordan標準型方法2：波爾曼算法以下介紹一種求階矩陣的Jordan標準型的較為簡便的方法——波爾曼算法.基本步驟如下：第一步：求出的所有特征值第二步：對每個不同的特征值和每個求矩陣的秩,記為

在計算秩時,若對某個有

則對所有的都有

第三步：對每個求關于的Jordan塊的階數和Jordan塊的個數即

數字矩陣的Jordan標準型這里需要說明的是,若求出則說明有個關于的階Jordan塊.第四步：寫出與相似的Jordan標準型,它由的特征值的個關于的階Jordan塊的直和構成.例4.10用波爾曼算法求以下矩陣的Jordan標準型：解第一步：求的特征值.由可得特征值為數字矩陣的Jordan標準型第二步：求的秩.具體如下：

這里為3重特征值,沒有其他特征值,且為3階方陣,故只求這3個秩即可.第三步：求Jordan塊的個數和階數,即

說明的Jordan標準型有1個關于的1階Jordan塊和1個關于的2階Jordan塊.數字矩陣的Jordan標準型因此,的Jordan標準型為

數字矩陣的Jordan標準型變換矩陣根據定理4.16,對于任一階矩陣存在階可逆矩陣使得下面來計算(1)將按的結構寫成列塊的形式：

列

列列因此，從而,數字矩陣的Jordan標準型(2)求解個矩陣方程將個合成變換矩陣關于方程的求解,設則

由得由得故

推出

于是數字矩陣的Jordan標準型兩種計算的具體方法如下.①按照的順序求解,即先求出特征向量然后由后續方程求出②先求的特征向量然后直接得到對于方法①,由于為奇異矩陣,每步均存在多解或無解問題,因此各步之間不能完全獨立,前一步尚需依賴后一步、再后一步……，直至最后一步才能完全確定一些待定系數；而方法②僅出現一次求解方程,其余為直接賦值,無上述問題,但該方法可能導致低階出現零向量的問題.由于因此應滿足但數字矩陣的Jordan標準型同一特征值可能出現在不同的Jordan塊中.對于這種情況,按各Jordan塊的階數高低依次進行處理,高階先處理,低階后處理,同階同時處理.a.最高階(沒有屬于同一特征值的Jordan塊同階)可按下述方法求出即先使但的作為；然后由方程依次求出直至且等于下一個屬于同一特征值的Jordan塊的階數.b.對于上述新Jordan塊,它的不僅要考慮滿足

還應與前述線性無關.c.對于其他屬于同一特征值的Jordan塊,在處理時,按照b進行即可.d.當出現多個屬于同一特征值的Jordan塊同階時,還應考慮線性無關問題.數字矩陣的Jordan標準型例4.11求以下矩陣的Jordan標準型和相似變換矩陣使得解先求的Jordan標準型.由于

因此的初等因子組為從而

設由可得即

數字矩陣的Jordan標準型這樣得到以下3個方程：

第一個方程對應第一個Jordan塊,第二、三個方程對應第二個Jordan塊.下面先求解第一個方程,其系數矩陣為

故第一個方程的基礎解系為由于后面沒有方程涉及因此一般可任取一個解,取第二個方程與第一個方程相同,但其解要代入第三個方程,故先設其中,和為待定常數.代入第三個方程,其增廣矩陣為數字矩陣的Jordan