MATRIXTHEORY矩陣理論山東科技大學張子葉矩陣的Jordan標準型第4章

目錄4.1線性變換的特征值與特征向量4.2矩陣

4.3不變因子與初等因子4.4數(shù)字矩陣的Jordan標準型4.5凱萊-哈密頓定理與矩陣的最小多項式線性變換的特征值與特征向量4.1線性變換的特征值與特征向量特征值與特征向量設(shè)為數(shù)域上維線性空間的線性變換,根據(jù)線性變換的矩陣表示可知,在一個基下的矩陣為對角矩陣的充要條件是基向量滿足

定義4.1設(shè)為數(shù)域上維線性空間的線性變換,如果對于常數(shù)存在非零向量使得

則稱常數(shù)為線性變換的特征值,為線性變換的屬于特征值的特征向量.線性變換的特征值與特征向量例如,對于任意可微的實函數(shù)空間,定義變換容易驗證為一線性變換.從而,為其特征值,為其相應(yīng)的特征向量.從幾何上來看,特征向量在線性變換的作用下保持方位不變(在同一直線上).由于線性變換較為抽象,因此直接利用定義來確定和是很困難的.為此,這里利用線性變換的矩陣表示將該問題轉(zhuǎn)化為一個純代數(shù)問題.取定數(shù)域上維線性空間的一個基設(shè)則

因此即

從而,由此引入如下定義.

線性變換的特征值與特征向量定義4.2設(shè)為數(shù)域上的階方陣,其特征多項式為

這是一個關(guān)于的次多項式,其根為的特征值,相應(yīng)地式(4.1)的非零解向量稱為的屬于的特征向量.由定義可知,若為的特征值,則為方程的一個根；反之,若為方程的根,則齊次線性方程組有非零解令則即為的一個特征值,滿足的非零向量也稱為的屬于特征值的特征向量.線性變換的特征值與特征向量定理4.1設(shè)為數(shù)域上維線性空間的線性變換,在的基下的矩陣為則有以下結(jié)論.(1)矩陣的特征值就是線性變換的特征值.(2)若為矩陣的屬于特征值的特征向量,則為的屬于特征值的特征向量.證設(shè)則

因為所以根據(jù)定義4.1得證.由此可見,在維線性空間中,線性變換的特征值和特征向量可分別由其在某個基下的矩陣的特征值和特征向量導出.因為矩陣的特征值和特征向量總是存在的,所以在維線性空間中,線性變換的特征值和特征向量也總是存在的.但是,如果線性空間是無限維的,則結(jié)論未必成立.線性變換的特征值與特征向量例如,設(shè)為數(shù)域上一元多項式的全體構(gòu)成的線性空間,容易驗證為一線性變換.但是,不存在非零使得從而,線性變換沒有特征值.根據(jù)定理4.1,有限維線性空間的線性變換的特征值和特征向量有類似矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì),在此不再贅述.至于求解,可以從線性變換在給定基下的矩陣的角度來求解.注1

因為同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的,所以線性變換的矩陣的特征多項式與基的選取無關(guān),而直接由線性變換決定,故可稱之為線性變換的特征多項式.注2

的特征多項式是一個首項系數(shù)為1的次多項式,其次多項式的系數(shù)為稱為的跡；常數(shù)項為

線性變換的特征值與特征向量例4.1求上的微分變換的特征值和特征向量.解

取的一個基則在該基下的矩陣為

故線性變換的特征值為

線性變換的特征值與特征向量由解得關(guān)于的特征向量為

因此的特征向量為

線性變換的特征值與特征向量特征子空間下面從空間的角度討論線性變換的特征向量的性質(zhì).定義4.3設(shè)為數(shù)域上維線性空間的線性變換,為的一個特征值,容易驗證

是的一個子空間,稱為線性變換的屬于特征值的特征子空間,其維數(shù)稱為的幾何重數(shù)；作為特征多項式的根,其重數(shù)稱為的代數(shù)重數(shù).如果線性變換有個互異特征值那么它有個特征子空間特征子空間具有如下性質(zhì).定理4.2設(shè)是數(shù)域上維線性空間的線性變換的個互異特征值,是

的特征子空間,則有以下結(jié)論.(1)是的不變子空間.(2)當時,(3)若的代數(shù)重數(shù)為

,則

線性變換的特征值與特征向量證(1)根據(jù)的定義,故即是的不變子空間.(2)且因此且兩式相減,可得因為所以即

(3)設(shè)線性變換的矩陣為則的特征多項式為

其中,

假設(shè)則可取的基為把它擴充為的基為則其中根據(jù)(1),是的不變子空間,且可得在基下的矩陣為線性變換的特征值與特征向量

其中,是階單位矩陣；是作為上的線性變換在基下的變換矩陣.