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文檔簡介

MATRIXTHEORY矩陣理論山東科技大學張子葉范數理論第3章

目錄3.1向量范數3.2矩陣范數向量范數3.1向量范數向量范數的概念與性質

定義3.1設是數域上的線性空間,如果對任意向量都有一個非負實數與之對應,記為且滿足下列3個條件.(1)正定性：且當且僅當(2)齊次性：(3)三角不等式：那么稱為上向量的范數,簡稱向量范數.在線性空間中定義了范數,就稱是線性賦范空間.容易證明向量范數具有以下性質.

(1)當時,向量范數(2)

(3)

(4)例3.1設向量規定證明是上的一個范數,稱此范數為向量的1-范數,記為即證

(1)當時,必不全為零,因此；當時,必有因此(2)(3)有

向量范數所以是中的一個向量范數.例3.2設向量規定證明是中的一個范數,稱此范數為向量的-范數,記為即證

(1)當時,必不全為零,因此；當時,必有因此(2)(3)有

因此是中的一個向量范數.向量范數例3.3設向量規定證明是中的一個范數,稱此范數為向量的2-范數,記為即證

(1)當時,；當時,(2)

(3)有

由中向量的內積可知向量范數由中向量的內積可知

又因為

所以

故是中的一個向量范數.例3.4

設向量規定其中是不小于1的實數,則是中的一個范數.證

當時,即為向量的1-范數；當時,有以下幾種情況.(1)當時,至少有一個分量不為零,即向量范數而且(2)

(3)其中,則利用Minkowski不等式,即得

從而

故是中的一個范數,稱其為向量的

范數,記為即向量范數在中,常用的

范數有以下3類.

(1)當時,1-范數：

(2)當時,2-范數：

(3)當時,

-范數：對此有如下定理.定理3.1若記則證令則由于而因此故當時,

故有即向量范數例3.5設是任意階實對稱正定矩陣,列向量則函數是中的一種范數,稱為加權范數或橢圓范數.證

(1)因為正定,所以有

(2)(3)由于正定,因此存在實可逆矩陣使得于是

故

向量范數例3.6設向量求解

例3.7設是中的一種向量范數,且的列向量線性無關.對定義

證明是中的向量范數.證

(1)正定性：因為的列向量線性無關,當時,所以(2)齊次性：

(3)三角不等式：

注此例說明可以用已知范數來構造新的范數.向量范數向量范數的連續性與等價性

定理3.2

維線性空間中的任何范數都是坐標的連續函數.證

設是維線性空間的一個基,對任意都有

于是由三角不等式可得

其中,是一常數.

這表明,當時,有

向量范數定義3.2設與是線性空間中任意兩個向量范數,若對中的任意向量存在正數和使得

則稱向量范數與是等價的.由定義容易驗證如下引理.引理3.1

向量范數的等價關系滿足反身性、對稱性、傳遞性.定理3.3有限維線性空間中的任意兩種向量范數都是等價的.證由等價的對稱性和傳遞性可知,只需證明任何向量范數都與一種特定的向量范數等價即可.設為維線性空間,為中任一向量范數.取的一組單位向量構成基對于中的任意向量設定義易知它是中的向量范數.向量范數現取一個有界閉集由于在上連續

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