第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省中山一中高二（下）4月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=cosx?1，則limt→0f(π+t)?f(π)tA.1 B.0 C.?1 D.?22.有四對雙胞胎共8人，從中隨機(jī)選出4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法種數(shù)為(

)A.40 B.48 C.52 D.603.已知a=ln22,b=ln3A.c>b>a B.b>a>c C.b>c>a D.a>b>c4.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π6)在區(qū)間(0,m)上存在唯一一個(gè)極大值點(diǎn)，則A.7π6 B.π C.π3 5.在(1?x)5+(1?x)6+(1?xA.74 B.121 C.?74 D.?1216.有三串氣球，每串氣球的個(gè)數(shù)如圖所示，某人每次用氣槍射擊一只氣球，且每次都射擊某一串氣球中最下面的一只，直到所有的氣球均被擊破為止.假設(shè)此人每次射擊均能擊破一只氣球，則其擊破氣球的不同順序的種數(shù)為(

)A.8 B.144 C.120 D.2807.今天是星期五，小玲在參加數(shù)學(xué)考試，那么再過250天后是星期(

)A.二 B.三 C.四 D.五8.已知f(x)=3f(2?x)+2x2?lnx，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為A.3x+2y?1=0 B.3x?4y+7=0 C.3x+2y+1=0 D.3x?4y?7=0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.定義在[?1,3]上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減

B.函數(shù)f(x)在[?1,1]上單調(diào)遞減

C.函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值

D.函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值10.若(1?2x)6=aA.a1+a2+a3+a4+a5+a6=1

11.已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=x2+kx(其中k∈R).對于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，設(shè)A.對于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有a>0

B.對于任意的k及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有b>0

C.對于任意的k，一定存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得ba=2

D.若存在不相等的實(shí)數(shù)x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖所示，積木拼盤由A，B，C，D，E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色(如：A與B為相鄰區(qū)域，A與D為不相鄰區(qū)域)，現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是______．13.某測試由8道四選一的單選題組成.學(xué)生小胡有把握答對其中4道題，且在剩下的4道題中，他對2道有思路，其余2道則完全不會(huì).若小胡答對每道有思路的題的概率為12，答對每道不會(huì)的題的概率為14，則當(dāng)他從這8道題中任抽1題作答時(shí)，能答對的概率為______．14.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)為(x0,f(x0))函數(shù)f(x)的拐點(diǎn).某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)f(x)=ax四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

6位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)4個(gè)不同的項(xiàng)目(記為A，B，C，D)的志愿者活動(dòng)，每位同學(xué)恰報(bào)1個(gè)項(xiàng)目．

(1)6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰.丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊(duì)方式有多少種？

(2)若每個(gè)項(xiàng)目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報(bào)名方式？16.(本小題15分)

甲、乙兩學(xué)校舉行羽毛球友誼賽，在決賽階段，每所學(xué)校派出5對雙打(兩對男雙、兩對女雙、一對混雙)進(jìn)行比賽，出場順序抽簽決定，每場比賽結(jié)果互不影響，先勝三場(沒有平局)的學(xué)校獲勝并結(jié)束比賽.已知甲學(xué)校混雙獲勝的概率是34，其余4對雙打獲勝的概率均是12．

(Ⅰ)若混雙比賽抽簽排到最后，求甲學(xué)校在前3場比賽結(jié)束就獲勝的概率；

(Ⅱ)求混雙比賽在前3場進(jìn)行的前提下，甲學(xué)校前3場比賽結(jié)束就獲勝的概率．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=(x+a)lnx+1?aax?2(a>0)．

(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線l與直線10y+3x+1=0垂直，求l的方程；

(2)證明：f(x)18.(本小題17分)

某校甲、乙兩班參加學(xué)校舉辦的三青杯籃球比賽(比賽雙方均為三名運(yùn)動(dòng)員)，已知甲班三名運(yùn)動(dòng)員A，B，C一次罰球命中的概率分別是0.6，0.6，0.5，乙班三名運(yùn)動(dòng)員a，b，c一次罰球命中的概率分別是0.7，0.5，0.4，且每位動(dòng)動(dòng)員罰球是否命中相互獨(dú)立．

(1)求甲班三名運(yùn)動(dòng)員A，B，C每人罰球一次，至少有一人命中的概率；

(2)為了評估甲乙班兩支球隊(duì)哪個(gè)更優(yōu)秀，現(xiàn)6名運(yùn)動(dòng)員各罰球一次，命中得2分，不命中得0分，設(shè)甲班得X分，乙班得Y分，求E(X)，E(Y)，判斷哪班球隊(duì)更優(yōu)秀．19.(本小題17分)

若函數(shù)f(x)的圖象上存在三點(diǎn)A(a,f(a))，B(b,f(b))，M(m,f(m))，且a<m<b，使得直線AB與f(x)的圖象在點(diǎn)M處的切線平行，則稱m為f(x)在區(qū)間[a,b]上的“中值點(diǎn)”．

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)=x2+3x+2在區(qū)間[a,b]上的中值點(diǎn)為m，證明：a，m，b成等差數(shù)列．

(Ⅱ)已知函數(shù)g(x)=2xlnx?x2+tx，存在b>a>0，使得g(a)=g(b)．

(i)求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

(ii)當(dāng)t=k(k∈N?)時(shí)，記參考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.D

6.D

7.A

8.D

9.AD

10.BC

11.ACD

12.960

13.111614.16196

15.解：(1)根據(jù)題意，第一步：把甲乙看成整體和除丙丁外的兩位同學(xué)排列有A22A33種排法，

第二步：再把丙丁插空排列有A42種排法，

所以共有A22A33A42=144種排法；

(2)先將6為同學(xué)分成4組，按人數(shù)分有1，1，1，3和1，1，2，2種分法：

第一類：按1，1，2，2分法有C61C5116.解：(Ⅰ)已知甲學(xué)校混雙獲勝的概率是34，其余4對雙打獲勝的概率均是12，

若混雙比賽抽簽排到最后，則前三局甲連勝，

所以所求概率為(12)3=18；

(Ⅱ)設(shè)事件Ai=“混雙比賽在第i場進(jìn)行”(i=1,2,3)，

B=“混雙比賽在前3場進(jìn)行的前提下，甲學(xué)校前317.解：(1)函數(shù)f(x)=(x+a)lnx+1?aax?2，f′(x)=lnx+x+ax+1?aa=lnx+ax+1a，

則f′(1)=ln1+a1+1a=a+1a，由直線10y+3x+1=0的斜率為?310，

根據(jù)垂直直線的斜率之積為?1，∴a+1a=103，解得a=3或a=13．

當(dāng)a=3時(shí)，f(1)=?83，此時(shí)l的方程為y+83=103(x?1)，即10x?3y?18=0；

當(dāng)a=13時(shí)，f(1)=0，此時(shí)l的方程為y=103(x?1)，即10x?3y?10=0．

(2)證明：∵f′(x)=lnx+ax+1a，令g(x)=lnx+ax+1a，則g′(x)=1x?ax2=x?ax2，

∵a>0，x>0，∴當(dāng)x>a時(shí)，g′(x)>0，則g(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<a時(shí)，g′(x)<0，則g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，

即g(x)的最小值為g(a)=lna+aa+1a=lna+1+1a，

設(shè)?(a)=lna+1+1a,a>0，則?′(a)=1a?1a2=a?1a2，

當(dāng)a>1時(shí)，?′(a)=a?1a2>0，則?(a)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0<a<1時(shí)，?′(a)=a?1a2<0，則?(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，

即?(a)的最小值為?(1)=ln1+1+11=2>0，

∴g(x)≥lna+1+1a≥2>0，即f′(x)>0恒成立，

∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故無極值點(diǎn)．

X0246P0.080.320.420.18Y的分布列為：Y0246P0.090.360.410.14E(X)=0×0.08+2×0.32+4×0.42+6×0.18=3.4，

E(Y)=0×0.09+2×0.36+4×0.41+6×0.14=3.2，

由于E(X)>E(Y)，故甲班球隊(duì)更優(yōu)秀．19.解：(1)證明：由題意知f(b)?f(a)b?a=f′(m)．

因?yàn)閒(b)?f(a)b?a=b2?a2+3(b?a)b?a=a+b+3，

又f′(m)=2m+3，

所以a+b+3=2m+3，即a+b=2m，

所以a，m，b成等差數(shù)列．

(2)(i)g′(x)=2lnx?2x+2+t，

設(shè)?(x)=g′(x)，則?′(x)=2x?2=2(1?x)x,x>0，

令?′(x)>0，解得0<x<1，則?(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

令?′(x)<0，解得x>1，則?(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減．

故?(x)max=?(1)=t，

且當(dāng)x→0時(shí)，?(x)→?∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，?(x)→?∞．

若t>0，則?(x)在(0,1)和(1,+∞)上分別存在一個(gè)零點(diǎn)，記為x1，x2，

當(dāng)0<x<x1時(shí)，?(x)<0，即g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x1<x<x2時(shí)，?(x)>0，即g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>x2時(shí)，?(x)<0，即g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

故存在b>a>0，滿足g(a)=g(b)；

若t≤0，則恒有?(x)≤0，所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不符合