中學(xué)數(shù)學(xué)第一章一集合

考試內(nèi)容：

集合、子集、補集、交集、并集.

邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：

（1）理解集合、子集、補集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了

解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；駕馭有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示

一些簡潔的集合.

（2）理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系;

駕馭充分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合和簡易邏輯學(xué)問要點

一、學(xué)問結(jié)構(gòu)：

本章學(xué)問主要分為集合、簡潔不等式的解法（集合化簡）、簡易邏輯三部分：

二、學(xué)問回顧：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的運用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集，記為；

②空集是任何集合的子集，記為；

③空集是任何非空集合的真子集；

假如，同時，那么A=B.

假如.

［注］:①｛整數(shù)｝(J)z=｛全體整數(shù)｝(X)

②已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(X)(例：；，

則｛0｝)

③空集的補集是全集.

④若集合集合B,則=，=()=D(注：=).

3.①｛(x,y)=0,x￡R,y￡R｝坐標(biāo)軸上的點集.

②］(x,y)<0,x￡R,y￡R二、四象限的點集.

③l(x,y)>0,x￡R,yGR｝一、三象限的點集.

［注］:①對方程組解的集合應(yīng)是點集.

例：解的集合｛(2,1)｝.

②點集和數(shù)集的交集是.(例：A=｛(x,y)|y1｝｛2+1｝貝！IAPB=)

4.①n個元素的子集有2n個.②n個元素的真子集有2n—1個.③n個元

素的非空真子集有2n-2個.

5.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題確定為真.否命題逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題確定為真.原命題逆否命題.

例：①若應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且b=3,貝U=5,成立，所以此命題為真.

②

解：逆否：x+y=3x=l或y=2.

,故是的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例:若?

4.集合運算：交、并、補.

5.主要性質(zhì)和運算律

(1)包含關(guān)系：

(2)等價關(guān)系：

(3)集合的運算律：

交換律：

結(jié)合律：

安排律：.

0-1律：

等辱律：

求補律：AD<])AU小小

反演律：(ADB)=0U()(AUB)=0n()

6.有限集的元素個數(shù)

定義：有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為(A)規(guī)定(小)=0.

基本公式：

(3)()=(U)-(A)

(二)含確定值不等式、一元二次不等式的解法及延長

1.整式不等式的解法

根軸法(零點分段法)

①將不等式化為a0(l)(2)…()>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了

統(tǒng)一便利)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(為什么？)；

④若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“〉0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若

不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

(自右向左正負相間)

則不等式的解可以依據(jù)各區(qū)間的符號確定.

特例①一元一次不等式》b解的探討；

②一元二次不等式2>0(a>0)解的探討.

二次函數(shù)

()的圖象

一元二次方程

有兩相異實根

有兩相等實根

無實根

R

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項通分化為>0(或<0)；20(或W0)的形式,

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)

3.含確定值不等式的解法

(1)公式法：，和型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點分區(qū)間法”分類探討.

(3)幾何法：依據(jù)確定值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程20(aW0)

(1)根的“零分布”：依據(jù)判別式和韋達定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡易邏輯

1、命題的定義：可以推斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡潔命題和復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡潔命

題；由簡潔命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q(記作“pVq”);p且q(記作“p八q”);非p(記

作作q")-

3、“或”、“且”、“非”的真值推斷

(1)“非P”形式復(fù)合命題的真假和F的真假相反；

(2)“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P和q同為真時為真，其他狀況時為假；

(3)“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p和q同為假時為假，其他狀況時為真.

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則p；

否命題：若rP則1q；逆否命題：若［q則1Po

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關(guān)系:

一個命題的真假和其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系：（原命題逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命題不確定為真。

②、原命題為真，它的否命題不確定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題確定為真。

6、假如已知pq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若pq且qP,則稱P是q的充要條件，記為P=q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面動身（假設(shè)），引出（和已知、公理、定理…）沖

突，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

中學(xué)數(shù)學(xué)其次章-函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴充.有理指數(shù)幕的運算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對數(shù).對數(shù)的運算性質(zhì).對數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

（1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，駕馭推斷一些簡潔函數(shù)的單調(diào)性、奇偶

性的方法.

（3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡潔函數(shù)

的反函數(shù).

（4）理解分數(shù)指數(shù)毒的概念，駕馭有理指數(shù)塞的運算性質(zhì)，駕馭指數(shù)函數(shù)的概

念、圖像和性質(zhì).

（5）理解對數(shù)的概念，駕馭對數(shù)的運算性質(zhì)；駕馭對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性

質(zhì).

（6）能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡潔的實際問

題.

§02.函數(shù)學(xué)問要點

一、本章學(xué)問網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

二、學(xué)問回顧：

（一）映射和函數(shù)

1.映射和一一映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起確定作用的

要素，因為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法

則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)的值域是C,依據(jù)這個函數(shù)中的關(guān)系，用y把x表示出，得到（y）.若

對于y在C中的任何一個值，通過（y）,x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那

么，（y）就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)（y）（yC）叫

做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成

（二）函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的隨意兩個自變量的值X12,

⑴若當(dāng)xl<x2時，都有f(xl)〈f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù);

⑵若當(dāng)xl〈x2時，都有f(xl)>f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上

的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：

設(shè)()為偶函數(shù)上一點，則()也是圖象上一點.

偶函數(shù)的判定：兩個條件同時滿意

①定義域確定要關(guān)于軸對稱，例如：在上不是偶函數(shù).

②滿意，或，若時，.

⑵奇函數(shù)：

設(shè)()為奇函數(shù)上一點，則()也是圖象上一點.

奇函數(shù)的判定：兩個條件同時滿意

①定義域確定要關(guān)于原點對稱，例如：在上不是奇函數(shù).

②滿意，或，若時，.

8.對稱變換：①y=f(x)

②y(x)

③y(x)

9.推斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對帶根號的確定要分子有理化，例如:

在進行探討.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)f（X）=1+的定義域為A,函數(shù)f[f（x）]的定義域是B,則

集合A和集合B之間的關(guān)系是

解：的值域是的定義域，的值域，故，而A,故.

11.常用變換：

①.

證：

②

證：

12.⑴熟識常用函數(shù)圖象：

例：f關(guān)于軸對稱.ff

f關(guān)于軸對稱.

⑵熟識分式圖象：

例：定義域，

值域一值域前的系數(shù)之比.

（三）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>10<a<l

圖

象

性

質(zhì)(1)定義域：R

(2)值域：(0,+8)

(3)過定點(0,1),即0時，1

(4)x>0時,y〉l<0時，0<y<l(4)x>0時，0<y<l<0時，y>l.

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

對數(shù)運算：

(以上)

a>10<a<l

圖

象

性

質(zhì)（1）定義域：（0，+°°）

（2）值域：R

（3）過點（1,0）,即當(dāng)1時，0

（4）時

時y>0時

時

（5）在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

注⑴：當(dāng)時，.

⑵：當(dāng)時，取“+”，當(dāng)是偶數(shù)時且時，，而，故取“一”.

例如：中x>0而中x￡R）.

⑵（）和互為反函數(shù).

當(dāng)時，的值越大，越靠近軸；當(dāng)時，則相反.

（四）方法總結(jié)

（1）.相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對應(yīng)法則相同.

⑴對數(shù)運算：

（以上）

注⑴：當(dāng)時，.

⑵：當(dāng)時，取“+”，當(dāng)是偶數(shù)時且時，，而，故取“一”.

例如：中x>0而中x￡R).

⑵()和互為反函數(shù).

當(dāng)時，的值越大，越靠近軸；當(dāng)時，則相反.

⑵.函數(shù)表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

⑷.函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可

求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不

小于0；③對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)嘉的底數(shù)不等

于零；⑤實際問題要考慮實際意義等.

⑸.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④

換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法：①設(shè)x是所探討區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x<x；②判

定f(x)和￡&)的大小；③作差比較或作商比較.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點對稱，再計算f()和f(x)之

間的關(guān)系：①f()(x)為偶函數(shù)；f()(x)為奇函數(shù)；②f()(x)=0為偶；f(x)0=0

為奇；③f()(x)=l是偶；f(x)+f()l為奇函數(shù).

(8).圖象的作法和平移：①據(jù)函數(shù)表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟

知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象和對稱性描繪函

數(shù)圖象.

中學(xué)數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項公式.等差數(shù)列前n項和公式.

等比數(shù)列及其通項公式.等比數(shù)列前n項和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一

種方法，并能依據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.

(2)理解等差數(shù)列的概念，駕馭等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，并能解

決簡潔的實際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，駕馭等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，井能解

決簡潔的實際問題.

§03.數(shù)列學(xué)問要點

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

遞推公式；；

通項公式（）

中項（）（）

前項和

重要性質(zhì)

1.⑴等差、等比數(shù)列：

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

通項公式=+（1）+（）+

求和公式

中項公式推廣：2=o推廣：

性質(zhì)1若則若，貝I」0

2若成（其中）則也為。若成等比數(shù)列（其中），則成等比數(shù)列。

3.成等差數(shù)列。成等比數(shù)列。

4,

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①

②2（）

③（為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

①

②（，）①

注①：i.，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數(shù)列.

.（＞0）一為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

.一為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

.且一為a、b、c等比數(shù)列的充要.

留意：隨意兩數(shù)a、c不確定有等比中項，除非有＞0,則等比中項確定有兩個.

③（為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛｝成等比的充要條件是數(shù)列｛｝（）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列｛｝的前項和和通項的關(guān)系：

［注］:①（可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)

列）一若不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差｛｝前n項和一可以為零也可不為零一為等差的充要條件一若為零,

則是等差數(shù)列的充分條件；若不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不行能有等比

數(shù)列）

2.①等差數(shù)列依次每k項的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍；

②若等差數(shù)列的項數(shù)為2,則；

③若等差數(shù)列的項數(shù)為，則，且，

3.常用公式：①1+2+3???

②

③

［注］:熟識常用通項：9,99,999,???；5,55,555,??-.

4.等比數(shù)列的前項和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為，年增長率為，

則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：

⑵銀行部門中按復(fù)利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，

每月利息按復(fù)利計算，則每月的元過個月后便成為元.因此，其次年年初可

存款：

⑶分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清;

為年利率.

5.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴（p、q為二階常數(shù)）用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程（對應(yīng)，x對應(yīng)），并設(shè)二根②若可設(shè)，若可

設(shè)；③由初始值確定.

⑵（P、r為常數(shù)）用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項選代；③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)

化為的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：.

②選代法:

③用特征方程求解：

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果:

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前項和為，在時，有最大值.如何確定使取最大值時的值,

有兩種方法：

一是求使，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.

⑵假如數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列

前項和可依照等比數(shù)列前項和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：

⑶兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原

兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

2.推斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（1）定義法:對于n22的

隨意自然數(shù)，驗證為同一常數(shù)。（2）通項公式法。（3）中項公式法:驗證都成立。

3.在等差數(shù)列｛｝中，有關(guān)的最值問題：（1）當(dāng)XKO時，滿意的項數(shù)m使得

取最大值.（2）當(dāng)<0>0時，滿意的項數(shù)m使得取最小值。在解含確定值的數(shù)

列最值問題時，留意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

（三）、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項相消法:適用于其中｛｝是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；

部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯位相減法:適用于其中｛｝是等差數(shù)列，是各項不為0的等比數(shù)

列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

1):1+2+3=

2)1+3+5(21)=

3)

4)

5)

6)

中學(xué)數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

隨意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、

余弦的誘導(dǎo)公式.

兩角和和差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)(3小)的圖像.正切函數(shù)的

圖像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

(1)理解隨意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度和角度的換算.

(2)駕馭隨意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義;

駕馭同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；駕馭正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)

和最小正周期的意義.

(3)駕馭兩角和和兩角差的正弦、余弦、正切公式；駕馭二倍角的正弦、余弦、

正切公式.

(4)能正確運用三角公式，進行簡潔三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.

(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點法”畫正

弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)(36)的簡圖，理解A.3、6的物理意義.

(6)會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號\\表示.

(7)駕馭正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形.

(8)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：2a2a=1,aaaa?a=l”.

§04.三角函數(shù)學(xué)問要點

1.①和(0°W<360°)終邊相同的角的集合(角和角的終邊重合)：

②終邊在x軸上的角的集合：

③終邊在y軸上的角的集合：

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：

⑤終邊在軸上的角的集合：

⑥終邊在軸上的角的集合：

⑦若角和角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角和角的關(guān)系：

⑧若角和角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角和角的關(guān)系：

⑨若角和角的終邊在一條直線上，則角和角的關(guān)系：

⑩角和角的終邊相互垂直，則角和角的關(guān)系：

2.角度和弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0,017451=57.30°=57°

18，

留意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度和角度互換公式：1=°心57.30°=57°18'.1°=七0.01745

()

3、弧長公式：.扇形面積公式：

4、三角函數(shù)：設(shè)是一個隨意角，在的終邊上任取（異于原點的）一點P（）

P和原點的距離為r,貝！J；；；；；..

5、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函數(shù)線

正弦線：；余弦線：；正切線：.

7.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

9、誘導(dǎo)公式：

“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組二公式組三

公式組四公式組五公式組六

（二）角和角之間的互換

公式組一公式組二

公式組三公式組四

公式組五

10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):

（A、>0）

定義域RR

R

值域RR

周期性

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)非奇非偶

當(dāng)奇函數(shù)

單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）；上為增函數(shù)

上為減函數(shù)

（）

上為增函數(shù)（）上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)；

上為減函數(shù)（）

留意：①和的單調(diào)性正好相反；和的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若在上

遞增（減），則在上遞減（增）.

②和的周期是.

③或（）的周期.

的周期為2（,如圖，翻折無效）.

④的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（）,對稱中心

（）；的對稱中心（）.

⑤當(dāng)?；?.

@和是同一函數(shù)，而是偶函數(shù)，則

⑦函數(shù)在上為增函數(shù).（X）［只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定義

域，為增函數(shù)，同樣也是錯誤的］.

⑧定義域關(guān)于原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件:

一是定義域關(guān)于原點對稱（奇偶都要），二是滿意奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函

數(shù)：）

奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.（定義域不關(guān)于

原點對稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若的定義域，則確定有.（的定義域，則無此性質(zhì)）

⑨不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；

是周期函數(shù)（如圖）；為周期函數(shù)（）；

的周期為（如圖），并非全部周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

⑩有.

11、三角函數(shù)圖象的作法：

1）、幾何法：

2）、描點法及其特例一一五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、

余切曲線）.

3）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.

函數(shù)y=（3X+6）的振幅，周期，頻率，相位初相（即當(dāng)x=0時的相

位）.（當(dāng)A>0,3>0時以上公式可去確定值符號），

由y=的圖象上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)>1）或縮短（當(dāng)0V

<1）到原來的倍，得到丫=的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.（用

替換y）

由丫=的圖象上的點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0<|o）|<l）或縮短（|

3|>1）到原來的倍，得到y(tǒng)=3x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸

縮變換.（用3X替換X）

由丫=的圖象上全部的點向左（當(dāng)小>0）或向右（當(dāng)"V0）平行移動I小I個

單位，得到y(tǒng)=（x+小）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移.（用

x+4＞替換x)

由丫=的圖象上全部的點向上（當(dāng)b>0）或向下（當(dāng)bVO）平行移動IbI個單

位，得到y(tǒng)=+b的圖象叫做沿y軸方向的平移.（用（）替換y）

由丫=的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=（3X+6）（A>0,3>O）（X￡R）的圖

象，要特殊留意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后依次不同時，原圖象延x軸量

伸縮量的區(qū)分。

4、反三角函數(shù)：

函數(shù)y=,的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=,它的定義域是［—1,1］,值

域是.

函數(shù)y=,（xG［0,n］）的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=,它的定義域

是值域是［0,H］.

函數(shù)y=,的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=,它的定義域是（一8,4-0°）,

值域是.

函數(shù)y=，［xe（0,n）］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y=,它的定義域是

（—8,H-oo）,值域是（0,n）.

.競賽學(xué)問要點

一、反三角函數(shù).

1.反三角函數(shù)：⑴反正弦函數(shù)是奇函數(shù)，故，（確定要注明定義域，若，

沒有和一一對應(yīng)，故無反函數(shù)）

注：，，.

⑵反余弦函數(shù)非奇非偶，但有，.

注：①，，.

②是偶函數(shù)，非奇非偶，而和為奇函數(shù).

⑶反正切函數(shù)：，定義域，值域（），是奇函數(shù),

注：，.

⑷反余切函數(shù)：，定義域，值域（），是非奇非偶.

注：①，.

②和互為奇函數(shù)，同理為奇而和非奇非偶但滿意.

⑵正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集:

的取值范圍解集的取值范圍解集

①的解集②的解集

>1>1

=1=1

<1<1

③的解集：

③的解集：

二、三角恒等式.

組一

組二

組三三角函數(shù)不等式

<<在上是減函數(shù)

若，則

中學(xué)數(shù)學(xué)第五章-平面對量

考試內(nèi)容：

向量.向量的加法和減法.實數(shù)和向量的積.平面對量的坐標(biāo)表示.線段的定比

分點.平面對量的數(shù)量積.平面兩點間的距離、平移.

考試要求：

(1)理解向量的概念，駕馭向量的幾何表示，了解共線向量的概念.

(2)駕馭向量的加法和減法.

(3)駕馭實數(shù)和向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.

(4)了解平面對量的基本定理，理解平面對量的坐標(biāo)的概念，駕馭平面對量的

坐標(biāo)運算.

(5)駕馭平面對量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面對量的數(shù)量積可以處理

有關(guān)長度、角度和垂直的問題，駕馭向量垂直的條件.

(6)駕馭平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標(biāo)公式，并且

能嫻熟運用駕馭平移公式.

§05.平面對量學(xué)問要點

1.本章學(xué)問網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法；字母表示：

坐標(biāo)表示法a=xi+yj=(x,y).

⑶向量的長度：即向量的大小，記作Ia|.

(4)特殊的向量：零向量a=0IaI=0.

單位向量為單位向量II=1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(xl,yl)=(x2,y2)

(6)相反向量：0

(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a〃b.平

行向量也稱為共線向量.

3.向量的運算

運算類型幾何方法坐標(biāo)方法運算性質(zhì)

向量的

加法L平行四邊形法則

2.三角形法則

向量的

減法三角形法則

數(shù)

乘

向

量1.是一個向量,滿意：

2.〉0時，同向；

<0時，異向；

=0時,

向

量

的

數(shù)

量

積是一個數(shù)

1.時，

2.

4.重要定理、公式

(1)平面對量基本定理

el,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任一向量，有

且僅有一對實數(shù)入1,

入2,使@=Alel+X2e2.

(2)兩個向量平行的充要條件

a〃ba=Ab(bWO)xly2—x2yl=0.

(3)兩個向量垂直的充要條件

a±ba*b=Oxlx2+yly-,2=0.

(4)線段的定比分點公式

設(shè)點P分有向線段所成的比為人，即=入，則

=+(線段的定比分點的向量公式)

(線段定比分點的坐標(biāo)公式)

當(dāng)人=1時，得中點公式：

=(+)或

(5)平移公式

設(shè)點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點P'(x'，y'),

則=或

曲線y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：

y—k=f(x—h)

(6)正、余弦定理

正弦定理：

余弦定理：a2=b2+c2—2,

b2=c2+a2—2,

c2=a2+b2—2.

(7)三角形面積計算公式：

設(shè)△的三邊為a,b,c,其高分別為，，，半周長為P,外接圓、內(nèi)切圓的半徑為

R,r.

①S4=l/21/21/2②S△③SZi4R

@SA=l/2</2*l/2?⑤［海倫公式］

@SA=l/2()［如下圖］=1/2()1/2()

［注］:到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內(nèi)心，其余3個是旁心.

如圖:

圖1中的I為S△的內(nèi)心，SA

圖2中的I為S△的一個旁心，SA=l/2（）

附：三角形的五個“心”；

重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.

垂心：三角形三邊上的高相交于一點.

旁心：三角形一內(nèi)角的平分線和另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點.

⑸已知。。是△的內(nèi)切圓，若，，［注：s為△的半周長，即］

則：①=1/2()

②=1/2()

③=1/2()

綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）.

特例：已知在△,c為斜邊,則內(nèi)切圓半徑（如圖3）.

⑹在△中，有下列等式成立

證明：因為所以，所以，結(jié)論!

⑺在△中，D是上隨意一點,則.

證明：在△中，由余弦定理,有①

在△中，由余弦定理有②，②代入①，化簡

可得，（斯德瓦定理）

①若是上的中線，；

②若是NA的平分線，，其中為半周長；

③若是上的高，，其中為半周長.

⑻△的判定：

△為直角4NA+NB=

<△為鈍角4ZA+ZB<

>△為銳角4ZA+ZB>

附：證明：，得在鈍角△中，

⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.

空間向量

1.空間向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空間的一個平移就是一個向量

⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量

⑶空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示

2.空間向量的運算

定義：和平面對量運算一樣，空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運算如下

運算律：⑴加法交換律：

⑵加法結(jié)合律：

⑶數(shù)乘安排律：

3共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些向量叫做共線向

量或平行向量.平行于記作.

當(dāng)我們說向量、共線（或）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同

始終線，也可能是平行直線.

4.共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間隨意兩個向量、（W）,的充要條件是存在實數(shù)人，

使=入.

推論：假如為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于隨意一

點0,點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿意等式

其中向量叫做直線的方向向量.

5.向量和平面平行：

已知平面和向量，作，假如直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于

平面，記作：.

通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面對量

說明：空間隨意的兩向量都是共面的

6.共面對量定理：

假如兩個向量不共線，和向量共面的充要條件是存在實數(shù)使

推論：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)?/p>

間任一點，有①

①式叫做平面的向量表達式

7空間向量基本定理:

假如三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，

使

推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個

有序?qū)崝?shù)，使

8空間向量的夾角及其表示：

已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量和的夾角，記作；

且規(guī)定，明顯有；若，則稱和相互垂直，記作：.

9.向量的模：

設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.

10.向量的數(shù)量積：.

已知向量和軸，是上和同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在

上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影.

可以證明的長度.

11.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

（1）.（2）.（3）.

12.空間向量數(shù)量積運算律：

（1）.（2）（交換律）（3）（安排律）.

空間向量的坐標(biāo)運算

學(xué)問回顧：

（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是

縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.

①令=（al23）,,則

//

（用到常用的向量模和向量之間的轉(zhuǎn)化：）

②空間兩點的距離公式：.

（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記

作，假如那么向量叫做平面的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，是平面的

一條射線，其中，則點B到平面的距離為.

②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則

所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反

方，則為其夾角）.

③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且三點不共線，則2〃的充要

條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線

和平面相交）.

中學(xué)數(shù)學(xué)第六章-不等式

考試內(nèi)容：

不等式.不等式的基本性質(zhì).不等式的證明.不等式的解法.含確定值的不等

式.

考試要求：

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明.

（2）駕馭兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的

定理，并會簡潔的應(yīng)用.

（3）駕馭分析法、綜合法、比較法證明簡潔的不等式.

(4)駕馭簡潔不等式的解法.

(5)理解不等式|a|-|b|^||W|a|+|b|

§06.不等式學(xué)問要點

1.不等式的基本概念

(1)不等(等)號的定義：

(2)不等式的分類：確定不等式；條件不等式；沖突不等式.

(3)同向不等式和異向不等式.

(4)同解不等式和不等式的同解變形.

2.不等式的基本性質(zhì)

(1)(對稱性)

(2)(傳遞性)

(3)(加法單調(diào)性)

(4)(同向不等式相加)

(5)(異向不等式相減)

(6)

(7)(乘法單調(diào)性)

(8)(同向不等式相乘)

(異向不等式相除)

(倒數(shù)關(guān)系)

(11)(平方法則)

(12)(開方法則)

3.幾個重要不等式

(1)

（2）（當(dāng)僅當(dāng)時取等號）

（3）假如都是正數(shù)，那么（當(dāng)僅當(dāng)時取等號）

極值定理：若則：

O1假如P是定值，那么當(dāng)時，S的值最小；

02假如S是定值，那么當(dāng)時，P的值最大.

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

（當(dāng)僅當(dāng)時取等號）

（當(dāng)僅當(dāng)時取等號）

（7）

4.幾個聞名不等式

（1）平均不等式：假如都是正數(shù)，那么（當(dāng)僅當(dāng)時取等號）即：平方平

均已算術(shù)平均2幾何平均2調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：

特殊地，（當(dāng)a=b時，）

累平均不等式：

注：例如：.

常用不等式的放縮法：①

②

（2）柯西不等式：

（3）琴生不等式（特例）和凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f（x）,對于定義域中隨意兩點有

則稱f（x）為凸（或凹）函數(shù).

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.

特例①一元一次不等式〉b解的探討；

②一元二次不等式2>0（aW0）解的探討.

（2）分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

O1

0203

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

（6）含確定值不等式

O1應(yīng)用分類探討思想去確定值；02應(yīng)用數(shù)形思想；

03應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化

注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：

①

②

類似于，③

中學(xué)數(shù)學(xué)第七章-直線和圓的方程

考試內(nèi)容：

直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式和兩點式.直線方程的一般式.

兩條直線平行和垂直的條件.兩條直線的交角.點到直線的距離.

用二元一次不等式表示平面區(qū)域.簡潔的線性規(guī)劃問題.

曲線和方程的概念.由已知條件列出曲線方程.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.圓的參數(shù)方程.

考試要求：

(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念，駕馭過兩點的直線的斜率公式，駕馭直

線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能依據(jù)條件嫻熟地求出直線方程.

(2)駕馭兩條直線平行和垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公

式能夠依據(jù)直線的方程推斷兩條直線的位置關(guān)系.

(3)了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.

(4)了解線性規(guī)劃的意義，并會簡潔的應(yīng)用.

(5)了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法.

(6)駕馭圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程.

§07.直線和圓的方程學(xué)問要點

一、直線方程.

1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向和軸正方向所成的最小正角叫做這條

直線的傾斜角，其中直線和軸平行或重合時，其傾斜角為0,故直線傾斜角的

范圍是.

注：①當(dāng)或時，直線垂直于軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除和軸垂直的直線不存在斜率外，其余每

一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率確定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.

2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.

特殊地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點，即直線在軸，軸上的截距分別為時，直線方程

是：.

注：若是始終線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.

附：直線系：對于直線的斜截式方程，當(dāng)均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定

的直線，假如變更時，對應(yīng)的直線也會變更.①當(dāng)為定植，變更時，它們表示

過定點（0,）的直線束.②當(dāng)為定值，變更時，它們表示一組平行直線.

3.⑴兩條直線平行：

//兩條直線平行的條件是：①和是兩條不重合的直線.②在和的斜率都

存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特殊留意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都

會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.

（一般的結(jié)論是：對于兩條直線，它們在軸上的縱截距是，則〃，且或

的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且）

推論：假如兩條直線的傾斜角為則〃.

⑵兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提

是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.（即是垂

直的充要條件）

4.直線的交角：

⑴直線到的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點依逆時針方向旋

轉(zhuǎn)到和重合時所轉(zhuǎn)動的角，它的范圍是，當(dāng)時.

⑵兩條相交直線和的夾角：兩條相交直線和的夾角，是指由和相交所成

的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當(dāng)，則有.

5.過兩直線的交點的直線系方程為參數(shù)，不包括在內(nèi))

6.點到直線的距離：

⑴點到直線的距離公式：設(shè)點，直線到的距離為，則有.

注：

1.兩點Pl(xH)、P2(x22)的距離公式:.

特例：點P()到原點。的距離：

2.定比分點坐標(biāo)分式。若點P()分有向線段，其中Pl(xll)2(x22).則

特例，中點坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。

3.直線的傾斜角(0°W<180°)、斜率：

4.過兩點.

當(dāng)(即直線和x軸垂直)時，直線的傾斜角=,沒有斜率

⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.

注；直線系方程

1.和直線：0平行的直線系方程是：0.(m￡R,CWm).

2.和直線：0垂直的直線系方程是：0.(m€R)

3.過定點(xll)的直線系方程是：A(l)(l)=0(不全為0)

4.過直線11、12交點的直線系方程：(A111)+入(A222)=0(入砥)注:

該直線系不含12.

7.關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：

⑴關(guān)于點對稱的兩條直線確定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

⑵關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且

兩直線到對稱直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾

角的角平分線.

⑶點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上(方程

①)，過兩對稱點的直線方程和對稱直線方程垂直(方程②)①②可解得所求對

稱點.

注：①曲線、直線關(guān)于始終線()對稱的解法：y換x,x換y.例：曲線f(x)=O

關(guān)于直線-2對稱曲線方程是f(2-2)=0.

②曲線C:f(x)=0關(guān)于點(a)的對稱曲線方程是f(a-x,2b-y)=0.

二、圓的方程.

1.⑴曲線和方程：在直角坐標(biāo)系中，假如某曲線上的和一個二元方程的實

數(shù)建立了如下關(guān)系：

①曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解.

②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.

那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形).

⑵曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點其坐標(biāo)和方程的一種關(guān)系，曲

線上任一點是方程的解；反過來，滿意方程的解所對應(yīng)的點是曲線上的點.

注：假如曲線C的方程是f(x)=0,那么點P0(x。)線C上的充要條件是f(x0

0)=0

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為的圓的方程是：.

注：特殊圓的方程：①和軸相切的圓方程

②和軸相切的圓方程

③和軸軸都相切的圓方程

3.圓的一般方程：.

當(dāng)時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.

當(dāng)時，方程表示一個點.

當(dāng)時，方程無圖形（稱虛圓）.

注：①圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.

②方程表示圓的充要條件是：且且.

③圓的直徑或方程：已知（用向量可征）.

4.點和圓的位置關(guān)系：給定點及圓.

①在圓內(nèi)

②在圓上

③在圓外

5.直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓：；直線：；

圓心到直線的距離.

①時，和相切；

附：若兩圓相切，則相減為公切線方程.

②時，和相交；

附：公共弦方程：設(shè)

有兩個交點，則其公共弦方程為.

③時，和相離.

附：若兩圓相離，則相減為圓心的連線的中和線方程.

由代數(shù)特征推斷：方程組用代入法，得關(guān)于（或）的一元二次方程，其判

別式為，則:

和相切；

和相交；

和相離.

注：若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.

6.圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過圓

上一點的切線方程為：.

①一般方程若點(xO0)在圓上，則(x-a)(x0-a)+(y-b)(yO-b)2.

特殊地，過圓上一點的切線方程為.

②若點(xO0)不在圓上，圓心為()則，聯(lián)立求出切線方程.

7.求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖:

四類共圓.已知的方程…①又以為圓為方程為…②

…③，所以的方程即③代②，①②相切即為所求.

三、曲線和方程

L曲線和方程：在直角坐標(biāo)系中，假如曲線C和方程f()=0的實數(shù)解建立了如

下的關(guān)系：

1)曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f()=0的解(純粹性)；

2)方程f()=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上(完備性)。則稱方程f()=0為曲

線C的方程，曲線C叫做方程f()=0的曲線。

2.求曲線方程的方法：.

1)干脆法：建系設(shè)點，列式表標(biāo)，簡化檢驗；2)參數(shù)法；3)定義法，

4)待定系數(shù)法.

中學(xué)數(shù)學(xué)第八章-圓錐曲線方程

考試內(nèi)容：

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡潔幾何性質(zhì).橢圓的參數(shù)方程.

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線的簡潔幾何性質(zhì).

拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的簡潔幾何性質(zhì).

考試要求：

(1)駕馭橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡潔幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程.

(2)駕馭雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡潔幾何性質(zhì).

(3)駕馭拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡潔幾何性質(zhì).

(4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.

§08.圓錐曲線方程學(xué)問要點

一、橢圓方程.

1.橢圓方程的第確定義：

⑴①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

i.中心在原點，焦點在x軸上：..中心在原點，焦點在軸上：.

②一般方程：.③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為(一象限應(yīng)是屬于).

⑵①頂點：或.②軸：對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.③焦點：或.

④焦距：.⑤準(zhǔn)線：或.⑥離心率：.⑦焦點半徑：

i.設(shè)為橢圓上的一點，為左、右焦點，則

由橢圓方程的其次定義可以推出.

?設(shè)為橢圓上的一點，為上、下焦點，則

由橢圓方程的其次定義可以推出.

由橢圓其次定義可知：歸結(jié)起來為“左加右減”.

留意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得方程的軌跡為橢圓.

⑧通徑：垂直于X軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：和

⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的

離心率也是我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.

⑸若P是橢圓：上的點.為焦點，若，則的面積為（用余弦定理和可得）.

若是雙曲線，則面積為.

二、雙曲線方程.

1.雙曲線的第確定義：

⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：.一般方程：.

⑵①i.焦點在x軸上：

頂點：焦點：準(zhǔn)線方程漸近線方程：或

.焦點在軸上：頂點：.焦點：.準(zhǔn)線方程：.漸近線方程：或，參

數(shù)方程：或.

②軸為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b,焦距2c.③離心率.④準(zhǔn)線

距（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑.⑤參數(shù)關(guān)系.⑥焦點半徑公式：對于雙曲線

方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）

“長加短減”原則：

構(gòu)成滿意（和橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不

帶符號）

⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.

⑷共輾雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知

雙曲線的共規(guī)雙曲線.和互為共飄雙曲線，它們具有共同的漸近線:

⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為假如雙曲線的漸近線為時，它

的雙曲線方程可設(shè)為.

例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？

解：令雙曲線的方程為：，代入得.

⑹直線和雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無切線，2條和漸近線平行的直線，合計2條；

區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條和漸近線平行的直線，合計3條;

區(qū)域③：2條切線，2條和漸近線平行的直線，合計4條；

區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條和漸近線平行的直線，合

計2條；

區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無和漸近線平行的直線.

小結(jié)：過定點作直線和雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有

0、2、3、4條.

（2）若直線和雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入

法和漸近線求交和兩根之和和兩根之積同號.

⑺若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點的距離為m=n,則P到兩準(zhǔn)線的

距離比為m：n.

簡證：=.

常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.

三、拋物線方程.

3.設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):

圖形

焦點

準(zhǔn)線

范圍

對稱軸軸軸

頂點（。，0）

離心率

焦點

注：①頂點.

②則焦點半徑；則焦點半徑為.

③通徑為2p,這是過焦點的全部弦中最短的.

④（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）.

四、圓錐曲線的統(tǒng)確定義..

4.圓錐曲線的統(tǒng)確定義：平面內(nèi)到定點F和定直線的距離之比為常數(shù)的點的

軌跡.

當(dāng)時，軌跡為橢圓；

當(dāng)時，軌跡為拋物線；

當(dāng)時，軌跡為雙曲線；

當(dāng)時，軌跡為圓（，當(dāng)時）.

5.圓錐曲線方程具有對稱性.例如：橢圓的標(biāo)