高考數學復習講義與習題

第九章直線與圓的方程

本章知識結構圖

第一節直線的方程

考綱解讀

1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，確定直線位置的幾何要素

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。

3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）了解斜

截式與一次函數的關系。

命題趨勢探究

1.從考查內容上看，主要考查直線方程的基本概念，傾斜角和斜率

2.從考查形式上看，以選擇題和填空題為主，解答題中常以與圓錐曲線相交出現

3.從考查能力上看，側重對基本知識和技能的考查，考生一定要體會數學思想與方法，特

別是數形結合思想提高綜合解題能力

4.從近幾年高考情況來看，預測2015年高考本專題主要考查以下內容。

(1)根據條件確定直線方程

(2)考查直線性質，如傾斜角與斜率關系、方程與充要條件等；

(3)直線與圓錐曲線的相交問題

知識點精講

一■、基本概念

斜率與傾斜角

我們把直線丁=區+人中左的系數左(keR)叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線，

其斜率不存在。x軸正方向與直線向上的方向所成的角叫這條直線的傾斜角。傾斜角

規定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0,傾斜角不是言的直線的傾斜角的

正切值叫該直線的斜率，常用左表示，即左=tana。

當左=0時，直線平行于軸或與軸重合；

當左＞0時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨左的增大而增大；

當左＜0時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角左隨的增大而減小；

二、基本公式

1.601，%),％)兩點間的距離公式

I1=)(七一々)2+(%-%)2

2.片(為,％),￡(9,%)的直線斜率公式

k=—~—=tana(Xjx2,tz^―)

%)-x22

3.直線方程的幾種形式

(1)點斜式：直線的斜率左存在且過(%,%),y-y0^k(x-x0)

注：①當上=0時，＞=%；②當左不存在時，x-x0

(2)斜截式：直線的斜率左存在且過(0,。)，y=kx+b

(3)兩點式：上二為二」』，不能表示垂直于坐標軸的直線。

%一%%2一玉

注：(9-七)(丁一%)=(%一七)(%-%)可表示經過兩點「(為,%),。(々,y2)的所有直線

(4)截距式：二+1=1不能表示垂直于坐標軸及過原點的直線。

(5)一般式：A%+BV+C=0(A2+B2^0),能表示平面上任何一條直線(其中，向量

n=(A,B)是這條直線的一個法向量)

題型歸納及思路提示

題型120傾斜角與斜率的計算

思路提示

正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式左=%一乂，根據該

公式求出經過兩點的直線斜率，當X］時，直線的斜率不存在，傾斜角為90

求斜率可用左=tana(a#90),其中e為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關聯，不可

分割。牢記“斜率變化分兩段，90是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”。這可

通過畫正切函數在上的圖像來認識。

例9.1若三點A(2,2),3(a,0),C(0力)("W0)共線，則工+』=.

分析由三點共線可聯想到斜率相等或向量共線。

解析解法一：由題設可知的B=￡1C

0-2b-2

即——=——,(a-2)(b-2)=4,ab=2(a+b)

a-20-2

11a+b1

?一____—

abab2

解法二：由題設可知A3//AC,

即(a—2,-2)//(-2.Z7-2),即(a—2)3—2)=4。

cib—2(〃+Z?),—i——-----—

abab2

解法三：由題設可知點A(2,2)在直線BC上，又由截距式方程得直線BC方程：-+^=1,

評注關于三點共線問題，可以聯想到斜率相等或向量共線，亦可先由兩點確定一條直線，

再證第三點在該直線上，這些方法對學習平面解析(空間立體)幾何或幾何證明都很有益處。

變式1若直線/先向左平移一個單位，再向上平移兩個單位后，所得直線與直線/重合，

則直線I的斜率為.

變式2已知過A(2,l),5(1，m2)兩點的直線的傾斜角為銳角，則實數機的取值范圍是

例9.2已知0(0,0),A(1,1,1),P點為一動點。

(1)當P點在線段A3上運動時，求直線OP傾斜角的范圍

(2)當P點在線段AC上運動時，求直線OP的斜率的范圍。

解析(1)當P點在線段上運動時，求直線OP斜率為[-1,1],可得傾斜角的范圍為

"「3萬)

(2)當尸點在線段AC上運動時，傾斜角范圍為一,——，可得斜率為直線OP的斜率的

_44_

范圍(-QO.-1]D[1,+OO)

評注當斜率有正負時，傾斜角為兩段；當角度包括90時，斜率分兩段，可用正切函數

上的圖像求解。

變式1若直線h4的傾斜角分別為%,%，則下列四個命題正確的是()

A.若%<%,則兩直線的斜率匕<左2

B.若%=%，則兩直線的斜率左=左2

C.若匕<匕，則兩直線的斜率%<%

D.若左i=k2,則兩直線的斜率%=%

變式2若直線/的斜率左的變化范圍是［-1,6］,則其傾斜角的變化范圍是（）

71,TC,,,_x7171

A.------k/c,—k兀（左￡Z）B.

4343

re37r3兀

C.一一,----D.

L34J。，撲7'"

變式3直線/經過A（2,l）,3（1,根2）兩點（加eH）,那么直線/的傾斜角的取值范圍是（）

A.［0㈤B.吟［°夕"］

例9.3已知直線/過P（-l,2）,且與以A（-2,-3）,3（3,0）為端點的線段AB相交，求直線/

分析本題為“由直線區域求直線斜率范圍”求解步驟。

①做出直線區域圖；②求出區域邊界斜率先,右；③按逆時針方向旋轉得到《一左；④若

30

kx>k2,直接寫出女可3網］（或開區間），若勺<左2過無窮，左￡（-0,左1］口僅2，+）。

解析解法一：如圖所示，左PA=5,kPB=—g。因為過點P（—l，2）且與X軸垂直的直線PC與

線段相交，但此時直線/斜率不存在，直線Q4繞點尸逆時針旋轉到PC時，/斜率始

終為正，且逐漸增大，所以此時/斜率的范圍是［5,收卜

直線/由PC（不包括PC）逆時針旋轉至？B時，/斜率始終為負值，且逐漸增大，范圍是

o故所求直線的斜率的取值范圍是1-8,35，+8）。

解法二：本題也可以用線性規劃的知識來解決，當軸時，與線段相交，此時斜率

不存在。當斜率左存在時，設直線/的方程為丁=左（尤+1）+2,即區—y+k+2=0,要使

/與線段A3有交點，只需A3落在直線/的兩側或直線上，則應滿足

[左（一2）—（―3）+左+2]?（屋3+左+2）＜0,得左＜—g或左之5,故所求直線/的斜率上的取

值范圍是[一00,—go[5,+oo）o

評注本題主要用了數形結合的方法。另外，直線斜率的絕對值越大，直線就越“陡”，這

一規律在判斷直線的傾斜程度上應用較廣。

變式1已知線段PQ兩端點的坐標分別為（—1,1）,（2,2）,若直線/:尤+7盯+m=0與線段

PQ有交點,求實數加的范圍。

變式2已知實數羽y滿足y=f—2x+2（—試求色的最大值與最小值。，

x+2

題型121直線的方程

思路提示

要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應用直線方

程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式。

例9.4求下列直線方程：

（1）直線，：過點（2,1）,斜率上=一2；

（2）直線乙：過點（—2,1）和點（3,—3）；

（3）直線右：過點（0,1），斜率—工。

2

分析已知點的坐標和斜率用點斜式，已知兩點的坐標用兩點式，已知在軸上的截距和斜率

用截距式，最終的結果最好化成直線的一般式。

解析（1）由直線的點斜式方程得y—l=—2（無—2）,整理得。的方程為2x+y—5=0。

（2）解法一：由直線的兩點式方程得,整理得1.2的方程為4x+5y+3=0。

解法二：直線/途的方程求解也可用點斜式，先算出左=-^3—-1=-一4，再代入點斜式得

3+25

4

y—1=—1（尤+2）,即4x+5y+3=0

（3）由直線的點斜式方程得y=—gx+1,整理得匕的方程為x+2y—2=0

評注已知直線上一點的坐標以及直線斜率,或已知直線上兩點坐標均可用直線方程的點斜

式表示，使用直線方程的點斜式時，應在直線斜率存在的條件下使用，當斜率不存在時，直

線方程為x=%。

變式1求滿足下列條件的直線方程：

（1）斜率左=2,在y軸上的截距是5；

（2）斜率左=3,在x軸上的截距是—1；；

（3）在x軸，y軸上的截距是2,-5。

變式2直線[：3x—y+l=0,直線人過點（1刀），且它的傾斜角是1的傾斜角的2倍，

則人的方程為.

例9.5已知兩直線1:qx+4y+7=0,：。2%+2丁+7=0都經過點（3,5）,則經過點

（%,偽）,（。2也）（％/。2）的直線方程是.

b-h3d,+5b,+7=0

解析解法一：由題設可知所求直線斜率為左一L,且?1,

a2-4[3%+5Z?2+7=0

3

作差得3（%-4）+5（4-刈）=。，則3+53=0,k=—o

3

故所求直線為：y—4=—1（%—%）,即3x+5y—（3%+5々）=0,

即3x+5y+7=0。

解法二：由兩直線Aja尹么升7=C,A：。2%+“2》+7=0都經過點（3,5,得

3CL+5bl+7=0

<，兩點（。1，4）,（。2，仇）（。1w%）都適合方程3x+5y+7=0,

3a2+5仇+7=0

又過這兩點的直線是唯一的。故經過點（％曲），《勿居。的直線方程是

3x+5y+7=0

評注若兩點A&,%）,3（%,%）同時滿足方程：Ax+By+C^Q^+B2）,即

AXj+5y+C=0Q=1」，則過兩點的直線方程為：Ax+By+C=0

變式1如圖所示，在平面直角坐標系x0y中，設△ABC的頂點為4（0,。）,3（瓦0）,。（C,0）。

點P（0,p）為線段AO上的一點（異于端點），這里仇c,p為非零常數。設直線3RCP分

別與邊ACA交于點E,E。某同學已正確求得直線OE的方程為

)x+(----)y=0.

pa

圖9-2

例9.6過點玖2,-1）,在x軸和y軸上的截距分別是a,。，且滿足a=3〃的直線方程為

分析過點P（2,-l）,在x軸和y軸上的截距分別是a,b,注意分類討論a力為0的情形。

解析若。=3=0,此時直線過原點，設直線方程為y=且過點P（2,-1）,則直線方程

上1

73；y=——%；

2

若a=3b2則設直線方程為三+上=1。又a=3b,故土+』=1,又過點P(2,—1),

ab3bb

21I

則------=1,得6=——,故直線方程為x+3y+l=0,

3bb3

故所求的直線方程為

%+2丁=0或％+3、+1=0。

評注本題常見的求解錯誤是忽視截距為零的情況，一般地，條件給出的兩個截距(或截距

的絕對值)成倍數關系時，若設直線的截距式應注意截距為零，及直線過原點的情形。

變式1直線/經過點(3,2),在在兩坐標軸上的截距相等，求直線/的方程。

變式2直線/經過點。(2,1),且在y軸上的截距是在x軸截距的2倍，求直線/的方程。

例9.7直線/經過點P(-5,T),且與兩坐標軸圍成的三角形面積為5,求直線/的方程。

解析解法一：依題意，設直線/的方程為二+二=1,因為直線/經過點P(-5,T),所以

ab

-5-41

一+一=1,即4a+5Z?=—由已知一|。|屹|二5,

ab2

4a+5b=-ab

得|〃||6=10,解方程組，

[\a\\b\=lQ

'5.

a=—ra—jxvxv

得2或，故所求的直線/方程為二1+』=1或土+上=1

,.b=-2545-2

b=4i—

i2

8元一5丁+20=0或2%-5丁-10=0。

解法二：依題意，設直線/的斜率為左，則直線/的方程為y+4=左(兄+5),

4

令％=0,得y=5左一4,令y=0,得%=——5□

k

1A28

直線/與兩坐標軸圍成的三角形面積為一I—-51|5左-41=5,得左=—或左=2。故所求的

2k55

9Q

直線/方程為丁+4=5(冗+5)或丁+4=1(％+5)

即8x-5y+20=0或2x-5y—10=0。

變式1過點。(2,1)分別與乂丁軸正半軸交于4,8兩點。

(1)當△A03面積最小時，求直線/的方程；

(2)當|。4|+|。5|取最小值時，求直線/的方程；

(3)當|PA|+|P3|取最小值時，求直線/的方程；

例9.7一條直線/被兩條直線4：8x—5y+20=0和/2：8x—5y+20=0截得的線段中點

“恰好是坐標原點，求直線/的方程

分析已知點0(0,0),故可以考慮使用點斜式方程，通過兩次聯立方程，分別求出直線/與

4x+y+6=0和3x—5y—6=0的兩個交點坐標，然后利用中點坐標公式求得左的值。

解析解法一：當直線/斜率存在時，設直線/的方程為y=

-66

x=---x=----

y=kx女+4.y=kx3-5k

由v，得＜八，由《，得

4x+y+6=0-6k[3x-5y-6=06k

y二----y-

k+4-3—5k

-66-6k6k

-----1-----------1------

女+43—5k女+43—5k

其交點的中點坐標為(■).

22

據題意知*-+6=0得左=—L.

k+43—5k6

故所求直線方程為y=-,龍.

6

當直線/斜率不存在時，則/：x=0,與32交點分別為(0,—6),(0,-[),其中點坐標為(0,—1),

不為原點，不滿足題意.

解法二：為了確定直線/的方程，需要兩個獨立的要素，故考慮求出直線上的兩個點的坐標,

從而可得直線I的方程.因為兩個交點的線段的中點為原點，故設直線/與4:4%+y+6=0

的交點為A(a/),則與直線，2：3%—5y—6=0的交點為3(—力，因為A(〃/)在直線

4〃+b+6=0,

4:4%+y+6=0上，B（—〃，一Z?）在直線4：3%一5y—6=0上，故有＜，，,得

—3d+5b—6=0

36

ci----

，所以直線通過點A（—生，9）和點O（0,0）,易得直線1的方程為'=—

,623236

b=——

23

評注求直線方程最常用的方法是待定系數法，本題所求方程的直線過已知點M（0,0）,

故設出直線的點斜式,=履，由題中另一條件確定斜率，思路順理成章.但要注意討論斜率

是否存在，特別是能否把已知條件與相關知識聯系變能再得新的解法，如本題中的解法二.

確定直線方程基本可以分為兩類題型：一是根據題目條件確定點和斜率或確定兩點，進而套

用直線方程的幾種形式，此法可稱為直接法；二是利用直線在題目中具有的某些性質，先設

出方程（含有參數或待定系數），再確定方程（即求出參數值），此時對直線方程來講可稱為

間接法.因為確定一條直線需要兩個獨立的幾何量，要么上個點與斜率，要么兩個都是點，

所以在求直線方程時，要拿著“方程思想”去積極地從題設中獲得未知的幾何量所應滿足的

方程的方程組，然后加以解決即可得解.

變式1過點M（0,1）作直線，使它被兩條直線/］：》—3y+10=0」2：2x+y—8=0所截

的線段恰好被點M平分，求此直線的方程.

例9.9若直線小丁=區—6與直線/2：2x+3y-6=0的交點位于第一象限，則直線乙的

斜率取值范圍為.

解析人過定點（0,-百）,'與x軸正半軸的交點為（3,0），與y軸正半軸交點為（0,2）.要交點

位于第一象限，即交點在此兩點之間，可得k的取值范圍為（+，+s）,所以傾斜角的范圍為

評注兩直線交點問題一般是一動直線與一定直線，動直線要找出經過的定點，即可解答.

變式1直線4:奴+2y+3。+4=0與直線。：x+y—4=0的交點位于第一象限，則a的取

值范圍為.

最有效訓練38（限時45分鐘）

1.下列命題

A.過點PQo，/））的直線都可表示為丁一%=^（x-x（））

B.過兩點（尤1，%）,（為2,%）的直線都可表示為（1一玉）（%-%）=（丫一%）（為一的）

c.過點（0,b）的所有直線都可表示為丁=丘+人

D.不過原點的所有直線都可表示為三+）=1

ab

2.過點（-2,2）且與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積為1的直線的斜率為（）

A.左=—2或左=一1B.左=—2或左二一工

2

C.k=—D.k=一3或k=—

23

3.已知直線/14的方程分別為工+。＞+人=0,%+0+4=0，其圖象

如圖9-3所示，則有（）

A.ac<0B.a<cC.bd<0D.b>d

4.設直線/的方程為x+ycos6+3=0（9cR）,則直線/的傾斜角a

的取值范圍是（）

AS）B.（￡,曰曰。?仁）SF

5.直線/:小+與-1=0在y軸上的截距是-1,而且它的傾斜角是直線6x-y=3g的

傾斜角的2倍，則（

A.A-y/3,B-IB.A=-G,3=-l

C.A=^/§,3=—1D.A——x/3,B=1

6.直線依+丁+1=0與連接42,3）,3（—3,2）兩點線段相交，則a的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.（-oo,-l）[2,+00）C.[-2,1]D.（YO,—2][1,4^O）

7.過點P（2,3）且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是.

8.已知點4（2,—3）,3（—3,—2）兩點，直線/過定點P（1,1）且與線段AB相交，則直線/的

斜率k的取值范圍是.

9.直線x+ly—a=0（。＞0）,當此直線在尤,y軸上截距和最小時，a的值為.

10.設直線I的方程為（a+l）x+y+2-a=0（aeR）.

(1)若/在兩坐標軸上截距相等，求/的方程；

(2)若/不經過第二象限，求實數a的取值范圍.

11.根據所給條件求直線的方程：

(1)直線/過點(一3,4),且在兩坐標軸上的截距之和為12.

(2)直線過點(5,10),且到原點距離為5.

3

(3)過點A(0,2),它的傾斜角的正弦值是

12.已知在矩形ABCD中，AB邊所在直線的方程為x—3y—6=0,點7(一1,1)在AD邊所

在的直線上，求AD邊所在的直線的方程.

【例9.1變式1】

解析解法一：容易判斷直線與x軸不垂直，故可設，?=履+6,由題意可知直線＞=丘+6

與直線y=L（無+D+6+2重合，即直線y=Ax+b與直線丫=履+匕+左+2重合，故

b=b+k+2,k=—2.

解法二：不妨設點尸（%,%）U/,/先向左平移一個單位，得點6（%-1,%）,再向上平移兩個

單位，得點鳥（%-1,%+2）,且鳥（%-1,%+2）”故左=kp=心［；_=-2.

P2Ao1Ao

評注本題請讀者注意函數圖像（或方程的曲線）平移與點平移的區別

【例9.1變式2】

解析由題設可知鮑＞0,即斗々＞0,濟-1＜0,相€（-1,1）,故機的取值范圍是丁=依+匕

1—Z

【例9.2變式1】

解析選項A錯誤，比如為為銳角，a?為鈍角是不成立，同理選項C錯誤.當以=。2=90。

時，兩斜率都不存在，選項8錯誤，故選。

【例9.2變式2】

分析斜率的取值范圍有正有負的情況，要注意分段.如本題需把左分為左?-1,0）和

左e［o,g］兩段.

解析當-1＜左＜。時，傾斜角的范圍是［疊,q；

當OMkM也,傾斜角的范圍是［o圖，故所求傾斜角的范圍是［。號］［竽,兀），故選。

評注（1）研究斜率的變化要與傾斜角的變化結合起來考慮，因為傾斜角的范圍是［0,可，該

范圍不是正切函數的單調區間，往往要分段，即分為［o,,和［多,討論解決，相對應的，

對斜率多分成左2。和左＜。兩段來討論.

（2）溝通直線斜率與傾斜角的關系的工具是正切函數y=tanx在區間［。,鼻住,兀］上的圖

像，通過此圖像（如圖9-185）所示）能很好的理解斜率的變化與傾斜角變化的聯系，當

k=tanae［-l,碼時，易見對應的傾斜角的取值范圍是環0,j口，兀）.

（3）由斜率范圍確定傾斜角的范圍，求解時要注意：①斜率不存在時，傾斜角為與；

②熟記傾斜角的取值范圍是［0,可；③由斜率上的范圍求傾斜角的范圍時，利用數形結合法

（結合正切函數丁日曲》在區間［0,可上的圖像），有利于問題的求解.

【例9.2變式3]

解析直線/經過A（2,1）,30,7，）兩點，貝吟如圖9T8S）所示，知傾斜

角的取值范圍是[。用停兀），故選。.

【例9.3變式1】

解析解法一：如圖9-19所示，直線x+my+m=O恒過點A（O,-1）,

-1-1-I-93

心尸=FT=—2，KQ=FT=Z，當加=。時，直線/：%=。與線段PQ有交點；當

0+10—22

13121

加工。時，則-一2—或-—V—2,所以--V加（一且加W0.故所求力的取值范圍是

m2m32

-2r

L32]

解法二：由線性規劃知，要使/與線段PQ有公共點，只需RQ落在直線/兩側或直線/上，

即（-1+3用（2+3加）40,解得這〈mW,,故相的取值范圍為-§，5.

【例9.3變式2]

解析由土的幾何意義可知，它表示經過定點尸（-2,3）與曲線AB上任一點（%,y）的直線

x+2

的斜率左，由圖9-20可知：kPA<k<kPB,由已知可得：A（l,l）,B（-1,5）,kPA=g,kpB=8,

所以一4（人（8,故y^一+3的最大值為8,最小值為4一.

3x+23

評注當條件為國y的關系式時，要求的結論有三種類型：

(1)二元一次型ax+by,令ax+by=t,轉化為直線的截距問題；

(2)二元二次型+。一〃y,令+(y—〃y=/轉化為兩點間的距離問題;

(3)比例型義士2,令義士巳=左轉化為斜率問題求本題.

x+mx+m

【例9.4變式1】

x51

解析(1)2x-y+6=0;(2)3x-y+3=0；(3)—H-----=1，即5%-2丁-10=0.

2-y

【例9.4變式2】

解析設直線的傾斜角分別為圓〃，斜率分別為匕&，則

7cIcc2tani3,,?3/.\

k=tana=3.k=t^np=tan2a=-----------=——,故/r:y-0=——(^-1),即an

x21-tanor424

l2:3x+4y-3=0.

【例9.5變式1】

Y"VXV

解析由截距式可得直線&.：—+上=1，直線5：—+上=1，設網演》0)，直線A5與直線

bacp

+A=i

ba,作差得(11)

PC相較于點尸，則%o+%=0,故點R(Xo，%)及

E+&=1IPa)

cp

原點0同時滿足此方程4=0,所以直線O尸的方程為

評注由類比推理也可直接得到直線。尸的方程.

【例9.6變式1】

解析依題意，直線/的方程有如下兩種情形：

①直線/經過點（0,0）,即過坐標原點，直線方程為y=gx,即2x—3y=0；

Qrs;

②直線/不經過點（o,o）,設直線方程為2+上=1過點（3,2）,則—+—=1,即—=1,得

aaaaa

a=5,故x+y-5=0,因此直線/的方程為尤+y-5=0或2x—3y=0.

【例9.6變式2]

解析依題意，直線/的方程有如下兩種情形

①直線/經過點（。，。），即過坐標原點，直線方程為y尤即犬一2丁=。；

②直線/不經過點（0,0）,設直線方程為尹看=1,過尸（2,1）,又b=2a,得2+；=i解得

auaZCL

a=^,b=5,故,+]=1即2x+y-5=0.

2

因止匕，直線/的方程為無一2y=0或x-2y=0.

【例9.7變式1】

解析（1）由題意可設直線》的方程為＞釬1（穌。/＞0）,貝1]|。刈=蜀。同="所以

SAOB=^ab,又點P（2,l）在直線/上，所以,+卜1,因為°＞0力＞0,所以送

即2序VI.當且僅當2=4=],即。=4,。=2時取

此時，AO3的面積取得最小值，直線方程為x+2y-4=0

（2）設/的方程為*+看=1（。＞0力＞0）,

由點P在直線/上取得（+[=1,|。4|+|。河=。+6,

所以a+6=（a+3（2+4）=3+3+*\3+2應，當且僅當然四，即〃=岳時等號

\a。/°zaba

成立.又因為小齊1,所以4=2+應力=應+1,所以直線方程為X+岳一（2+點）=0

（3）如圖9-21所示，過點P作尸加，尤軸，PNLy軸，設NBAO=。，

19

在MAR4M中，忸M=1,|曰二-----,在RAP4N中，仍可=1,忸[=------,

sin。coscr

所以1PApq=」----二又因為《Jo，w],

sinacoscifsin2。<2J

當2a='時，即當a=（時，盧吊尸自取最小值，此時直線向量為-1,

圖9-21

所以直線方程為x+y—3=0

評注本題也可將直線/的方程設為V—l=Hx—2?<0）,易知412-；,0；3（0,1-2左）,

如（1）中5.以=34—4”.

因為心所以一伙一卜2/一的（一f=4.

（當且僅當左=一；時取“=”），因此S&AOB的最小值為4.

此時直線方程為y-1=-；(x-2),即X+2y-4=0.

如⑵中，|04|+|03|=|2—&+|1—2左|=3—(24+!)(左＜0),

kk

1B

因為(—24)+(—,)22應(當且僅當上—時取

k2

所以|。4|+|。3|取最小值3+20時，直線方程為y-l=-4(x-2),

即％+y/2y-(2+A/^)—0.

,1)?(―2,1—2左一1)=—g—2k(k<0),

如(3)中，|PA||PB|=AP-PB=I

因為一：2一2人2j(—72)(—2左)=4,(當且僅當左=-1時取

kVk

所以|PA|||取得最小值4時，直線方程為y—l=—(x—2),即x+y—3=0.

【例9.8變式】

解析解法一：設所求直線為/,則①當直線軸時，/為x=0,貝”與的交點為

40,個)，/與/2的交點為6(°，8)，45的中點為(0，9)，不與加(0/)重合，故舍去;

7

x=-------

②當直線/的斜率存在時，設/:y=H+l,由《3k—1

10左一1’

y—

?31

7

上黑坨得

由＜k+2，又M(0,l)為兩交點的中點，則+二=0,解得

8左+23k—1k+2

y

k+2

k=--,則/為y=x+1,即x+4y-4=0.

44

解法二：設過點M(0,l)的直線/與直線4分別交于點A3.

因為點A在直線4上，故可設A(38-10力)；點3在4上，故可設B(a,8-2a).

3b-10+a=0卜,。二4

又點用(0,1)是4,8的中點，貝U,解得<

Z?+8—2〃=2b=2'

2-01

故A(—4,2),3(4,0),"8=三=一二

—o4

直線A3的方程為y=—，x+l,即％+4y—4=0.

4-

【例9.9變式1】

解析4整理成點斜式可求出過定點（-3,-2）,乙與％軸正半軸交點為（4,0），與y軸正

半軸交點為（0,4）,定點分別與這兩點連線，那么要使交點在第一象限，只須的斜率

0-(-2)a4-(-2)4

<——<解得ae(—4,-亍).

4-(-3)20-(-3)'

最有效訓練題38

1.B解析選項A中過點「（毛,典）的直線方程，若直線的斜率不存在，則直線方程為

X=%;若直線的斜率存在,則過點尸（不,為）的直線方程為y-%=左（X-%）?所以選項A

不正確;選項B中,過兩點（七,%）,（%，>2）的直線可表示為

（%—%）（%—%）=（%—%）（y—%），選項8正確,

2

2.C解析設直線方程為y—2=<fc（x+2）.與無軸，y軸分別交于A（_：—2,0）,8

k

1?1

（0,2左+2），則二|—：一21|2左+2|=1,解得上=—2或左因為所求直線與兩坐標軸

2k2

21

的正半軸相交，所以—2>0且2左+2>0,即一1〈人<0,所以左=—7.故選C.

k2

1b

3.C解析由圖可知，均不為零，直線的斜率，在V軸上的截距分別是-一，-一；

aa

直線乙的斜率，在丁軸上的截距分別是—，.由圖可知，—<—<o,

ccca

db

——<0<——,于是得。<。<0/<0<d,所以只有仇/V0正確.故選C.

ca

JT

4.C解析當cos6?=0時，方程變為x+3=,0其傾斜角為工；

2

當cos，*0時，由直線方程可得斜率左=——二.

COS”

因為cosee[―1,1]且cos。w0,所以《￡(—oo,-1][1,+oo),

即tanae(fo,-1][l,+oo),又ae[0,萬)，所以ae[工，工)(—,—].

4224

jr37r

綜上知傾斜角a的取值范圍是[了丁.故選C

A11

5.5解析將直線/的方程化成，：y=x+高，因為3=-1,所以3=-1,所以否定

BBB

AD又直線&-y=3右的傾斜角a=W，所以/的傾斜角為2a=g.所以/的斜

A2乃r~r-

率一~—=tan—-=-yj3,所以A二6.故選5.

B3

6.D解析解法一：直線"+y+l=。過定點C(0,—1),當直線處在AC與之間

時，必與線段相交，應滿足左或左(心c，即一。之冒■或一。之三1,即a<—2

2—3

或a21.故選。.

解法二：由線性規劃的知識可知，A3在直線?+y+l=0的兩側或其上，所以有：

(2?+3+l)(-3a+2+l)<0,解得a<-2或a21.故選。.

7.3x-2y=0或x+y-5=0解析設直線分別在x軸，V軸上的截距分別為公4

3

①當a=b=0時，左=—，所以方程為3x—2y=0.

2

②當a=b/0時，二+；=1過點尸(2,3),所以x+y—5=0.