第01講導(dǎo)數(shù)的概念、運算及幾何意義

（核心考點精講精練）

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

2022年新I卷，第10題,5分求在曲線上一點處的切線方程

求己知函數(shù)的極值點

抽象函數(shù)的奇偶性

2022年新I卷，第12題,5分函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系

函數(shù)對稱性的應(yīng)用

2022年新I卷，第15題,5分求過一點的切線方程求某點處的導(dǎo)數(shù)值

2022年新II卷，第14題,5分求過一點的切線方程無

2021年新I卷，第7題,5分求過一點的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)

兩條切線平行、垂直、重合

2021年新II卷,第16題,5分直線的點斜式方程及辨析

（公切線）問題

2020年新I卷，第21題,12分求在曲線上一點處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

2020年新II卷,第22題,12分求在曲線上一點處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1理解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，理解導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達，了解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)與思想,

了解極限思想

2能通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意

3能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單

的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并.熟練使用導(dǎo)數(shù)公式表

4能理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會求切線方程

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會考查在曲線上一點的切線方程或過一點的切線方程，

需加強復(fù)習(xí)備考

知識講解

1.函數(shù)y=/(x)在x=x()處的導(dǎo)數(shù)

⑴定義：稱函數(shù)尸危)在％=出處的瞬時變化率lim+弋加。)=］加總為函數(shù)>=加)在％=必處的

Axf0Ax—>0公*^

導(dǎo)數(shù)，記作/(xo)或y'|x=xo，即/(尤0)=lim%=lim""+勰%°)。

2.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)

如果函數(shù)y=/(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a,6)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，函數(shù)f(x)=

lim&-0空士筌二酸稱為函數(shù)y=/U)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).

3.八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式

(1)C'=0(C為常數(shù))

27---1--

(2)(%〃)'=九九"一1例：(x5)'=5x4,(九"'二—九，,(x-6)=-6x7,8(?)'=(九5)'=—九5

，52

(3)(exS=ex

(4)(ax)r=axina

(5)(Inxy=—

x

(7)(sinx)'=cosx

(8)(cosx/=-sinx

4.導(dǎo)數(shù)的四則運算

(i)和的導(dǎo)數(shù)：[/(%)+g(%)]=ra)+g'(x)

(2)差的導(dǎo)數(shù)：[/(%)—g(%)]=/'(%)—g'(x)

(3)積的導(dǎo)數(shù)：[/(x)g(x)[=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)(前導(dǎo)后不導(dǎo)+前不導(dǎo)后導(dǎo))

，

(4)商的導(dǎo)數(shù)：/⑴=于(x)g(x)-/(x)g(x),g(x)7O

_g(x)」g“x)

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式

函數(shù)y=/(g(x))中，設(shè)“=g(x)(內(nèi)函數(shù))，則y=73)(外函數(shù))y'=?人

6.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在x=/處的導(dǎo)數(shù)/'(%)就是曲線y=/(x)在點(為"(不))處的切線的斜率左，即

k=/'(/)=lim"/+?)-/(/).

-Ax

(2)直線的點斜式方程

直線的點斜式方程：已知直線過點尸(%,方)，斜率為左，則直線的點斜式方程為：y-%=Hx-/)

【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點P(xo,加，求曲線過點P的切線，則需分點尸(尤o,yo)是切

點和不是切點兩種情況求解.

(1)當(dāng)點尸(X0，死)是切點時，切線方程為y—%)=Hx-Xo)；

(2)當(dāng)點P(xo，刃)不是切點時，可分以下幾步完成：

第一步：設(shè)出切點坐標(biāo)P(Xi，/(Xi));

第二步：寫出過Pa，/。))的切線方程為y—/(xj=/'(X])(x—石)；

第三步：將點尸的坐標(biāo)(xo,光)代入切線方程求出Xl；

第四步：將xi的值代入方程y—/(X])=/'(X])(x—%)，可得過點尸(尤。,加)的切線方程.

考點一、求曲線切線的斜率或傾斜角

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)=e'(sinx+cosx)在x=0處切線的斜率為()

A.1B.2C.3D.4

2.(2023?山東濰坊三模)若P為函數(shù)〃x)=；e，-岳圖象上的一個動點，以尸為切點作曲線y=/(x)的

切線，則切線傾斜角的取值范圍是()

即時檢測

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）曲線〃x）=x+cosx在點，處的切線斜率為.

2.（2023?青海?校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=5sinx+3cos^的圖象在點（0,3）處的切線的斜率為

考點二、求在曲線上一點的切線方程

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）曲線y=鼻在點卜,處的切線方程為（）

ee-eee3e

A.y——xB.y——xC.y——x—D.y——xH—

424424

_i

2.（2021.全國.統(tǒng)考高考真題）曲線y=在點（T-3）處的切線方程為________.

x+2

即時檢測

1.（2023?安徽?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）曲線＞在點（2,-3）處的切線方程為

1-X

2.（2023?湖南長沙?長沙市實驗中學(xué)校考三模）函數(shù)/（x）=x-lnx在X=e處的切線方程為.

3.（2023?廣東東莞?校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)〃力=彳3-犬在點（1,0）處的切線方程為.

4.（2023?江蘇揚州?江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測）曲線〃x）=ln（尤+2）+；在點（0,〃0））處的切線方程

為.

5.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)/（力=芥3+（彳—2）f（xeR）是奇函數(shù)，則曲線y=/（x）在點

（4/（彳））處的切線方程為.

考點三、求過一點的切線方程

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）曲線y=ln|無I過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為,.

即時檢測

1.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點，作曲線y=Y的切線，寫出一條切線方程：.

2.（2023.全國.模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃彳卜；^+（⑴尤2+1,其導(dǎo)函數(shù)為尸⑴，則曲線過點尸（3,1）的

切線方程為.

3.（2023?江蘇南通:模）過點（-1,0）作曲線y=的切線，寫出一條切線的方程.

4.（2023?山東德州?統(tǒng)考一模）過點（T1）與曲線/⑺=In（x+1）-3e*+2相切的直線方程為.

5.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）過點（0,18）作曲線y=d一尤+2的切線，則切點的橫坐標(biāo)為,

這條切線在無軸上的截距為.

考點四、已知切線（斜率）求參數(shù)

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)/（x）=，曲線y=/（x）在點（1"（D）處的切線方程為y=x+l.

⑴求a,b的值；

即時檢測

1.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考二模）已知直線＞是曲線〃x）=lnx+a的切線，貝（）

A.-1B.1C.-2D.2

2.（2023?四川成都?四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）若曲線y=的一條切線為y=-2%+），則實

數(shù)b的值為（）

A.-e-3B.e-3C.-5e-3D.5e-3

3.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=（ax-l）lnx+6在x=l處的切線方程為y=e+l,貝|

a+b=.

4.（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）若直線y=x+l和曲線y=aln尤+2相切，則實數(shù)。

的值為.

考點五、兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題

典例引領(lǐng)

^4■■■■■■■■■■■

1.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)〃x）=V-x,g（x）=/+。，曲線y=/（x）在點（占,〃占））處的切線

也是曲線了=8。）的切線.

（1）若,=-若求。；

2.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（刈=產(chǎn)-1卜<0/2>0,函數(shù)Ax）的圖象在點A（%,/a））和點

3（%，/（%））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于"，N兩點，則■取值范圍是.

3.（2016?全國?高考真題）若直線>=辰+方是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+l）的切線，則

b=.

即時檢測

1.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）函數(shù)〃x）=V_q1nx在點0"⑴）處的切線與直線2x+y+i=o平行，則實

數(shù)4=.

2.（2023廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知曲線〃x）=ae'+sinx在點（0,〃0））處的切線與直線2x+y-4=0平行，

則實數(shù)。的值為.

3.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）已知曲線了（》）=彳3+》_3/在x=l處的切線與8（力=。??*在；1=］處的切

線平行，貝U。的值為.

4.（2023?湖南?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)“xhalnx+x2在x=l處的切線與直線x+y-l=0垂直，則。的值

為（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2023?山東?山東省實驗中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線y=e25在點（0,1）處的切線與直線2x-y+l=0垂

直，則。的值為（）

A.--B.--C.gD.1

422

6.（2023?山西運城?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)〃x）=logm+x2T（a>0且"1）,曲線y=/（x）在x=l處的

切線與直線x+3y-2=。垂直，則。=_.

7.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=eX-ax+。（〃/￡R）,g（x）=/+%,若這兩個函數(shù)的圖象在公

共點A（l,2）處有相同的切線，則.

8.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）己知函數(shù)/（x）=ln（x+l）,g（x）=ln（e'）,若直線y=辰+6

為f（x）和g（x）的公切線，則6等于（）

A.；B.l-ln2C.2-ln2D.-In2

9.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/"卜的+3超⑺=/一加總?cè)羟€^^/⑺與曲線丫二8⑺

存在公切線，則實數(shù)優(yōu)的最大值為.

10.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考三模）若曲線>=丘一伏<0）與曲線y=e、有兩條公切線，則k的值為.

11.（2023.云南保山?統(tǒng)考二模）若函數(shù)/（x）=41nx+l與函數(shù)g（x）=1x2一2x（q>0）的圖象存在公切線，

a

則實數(shù)。的取值范圍為（）

12.（2023?河北滄州?校考模擬預(yù)測）已知直線>=履+方與曲線y=e，+2和曲線y=ln（e2x）均相切，則實數(shù)七

的解的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)

【基礎(chǔ)過關(guān)】

一、單選題

1.（2023.浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是函數(shù)y="X）的導(dǎo)函數(shù)y=r（力的圖象，若/（2）=0，則y=/（x）

2.已知函數(shù)，（x）=ei+o?+i的圖象在》=1處的切線與直線x+3y-l=0垂直,

則實數(shù)。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

3.（2023.湖北.校聯(lián)考模擬預(yù)測）曲線y=V在點4（2,8）處的切線方程是.

4.（2023?全國?校聯(lián)考三模）曲線/（耳=2三+4/在點（1,〃功處的切線方程為.

5.（2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)/。）=/+工，則函數(shù)〃尤）在x=l處的切線方程為.

6.（2023?云南玉溪?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)y=21n（x+l）+sinx的圖象在x=0處的切線的傾斜角為a,則

cosa=.

7.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模）曲線〃尤）=向+［在點（1,2）處的切線方程為.

8.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模）曲線＞=q:在點］;,4）處的切線方程為.

9.（2023?山東?濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出曲線了=尤3一3x過點（2,2）的一條切線方程.

三、雙空題

InX

10.（2023?陜西?統(tǒng)考二模）已知曲線＞=〃1+——在（L〃e）處的切線方程為〉=0:+%+〃，則。=,

x

b=.

【能力提升】

一、單選題

1.（2023?湖南?校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點（a,6）可以且僅可以作曲線y=lru的一條切線，則下列選項正確的是

（）

A.a＜0B.b-InoC.a=\nbD.aWO或6=lna

2.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=ln（x+l）,g（x）;山④工），若直線廣區(qū)+。

為/（x）和g（x）的公切線，則b等于（）

A.；B.l-ln2C.2-ln2D.-In2

3.（2023?河北唐山?唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)F（x）=g-lnx+l的圖象與函數(shù)

g（x）=x*+履-elnx的圖象有且僅有兩個不同的交點，則實數(shù)上的取值范圍為（）

A.1-/，-'卜他+叫B.

C.|^-1,-^u[0,e）D.一+s）

二、多選題

4.（2023?安徽合肥?合肥市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）=e'+2（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下

列結(jié)論正確的是（）

A.曲線y=〃x）的切線斜率可以是一2

B.曲線y=〃尤）的切線斜率可以是3

C.過點（0,2）且與曲線y=相切的直線有且只有1條

D.過點（1,4）且與曲線y=〃尤）相切的直線有且只有2條

5.（2023?海南海口?海南華僑中學(xué)校考一模）直線尤+◎-。=0是曲線y=*吧的切線，則實數(shù)。的值可以

X

是（）

兀兀

A.3兀B.7iC.—D.——

23

6.（2023.湖南長沙.長沙市實驗中學(xué)校考二模）已知/'（x）=x3—x,若過點P（w）恰能作兩條直線與曲線

y=/（x）相切，其中〃，片0,則相與〃可能滿足的關(guān)系式為（）

A.m+n=0B.m=n

C.nV-n—0D.—m3+m+n=0

三、填空題

7.（2023.湖北省直轄縣級單位.統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃力=小'與g（x）=2bsinx+a（O<x<?r）,若曲

線y=/（力和y=g（x）恰有一個公切點，則:的最小值是.

0

8.（2023?安徽安慶?安徽省桐城中學(xué)校考一模）若過點P50）可以作曲線y=（l-x）e，的兩條切線，切點分

別為4（%,弘）,3（%2，%），則弘%的取值范圍是.

9.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）過點（U）可作曲線y=S+lnx）x的兩條切線，則實數(shù)。

的取值范圍是.

10.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線C"（x）=（x2-4x+5）e=2e有三條經(jīng)過點A（a,0）的切線，貝心的

范圍為.

【真題感知】

一、單選題

1.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)，⑶=/_2/的圖像在點（1,/⑴）處的切線方程為（）

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y=2x+l

2.（2020?全國?統(tǒng)考高考真題）若直線/與曲線產(chǎn)石和N+y2=g都相切，貝門的方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x+yC.y=-^-x+lD.

3.（2021.全國?統(tǒng)考高考真題）若過點6）可以作曲線y=e'的兩條切線，則（）

A.eh<aB.ea<b

C.0<a<e*D.0<b<ea

二、填空題

4.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）若曲線y=（尤+a）e'有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則。的取值范圍

是.

5.（2020.全國.統(tǒng)考高考真題）曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

三、解答題

6.（2020.北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（x）=12-x2.

（I）求曲線>=/（尤）的斜率等于-2的切線方程；

（II）設(shè)曲線>=/（元）在點9/⑺）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S（r）,求S⑺的最小值.

7.（2020.全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)〃x）=x3+灰+c,曲線y=/（x）在點（，火g））處的切線與y軸垂直.

（1）求6.

（2）若/（%）有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1.

8.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（x）=ln（l+x）+axeT

⑴當(dāng)a=l時，求曲線y=〃x）在點（0,〃0））處的切線方程；

⑵若〃x）在區(qū)間（-1,0）,（0,y）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

9.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）已知a,&GR,函數(shù)/（x）=e'—asinx,g（x）=》6

（1）求函數(shù)y=/（x）在（oJ（o））處的切線方程；

⑵若y=〃x）和y=g（x）有公共點，

（i）當(dāng)a=0時，求b的取值范圍；

（ii）求證：a2+b2>e.

10.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/■(x)=1：+ajln(l+x).

(1)當(dāng)a=-l時，求曲線y=〃x)在點。，/⑴)處的切線方程；

(2)是否存在。，b,使得曲線y=關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.

(3)若在(。,+e)存在極值，求。的取值范圍.

11.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃x)=(：+；)n(x+l).

⑴求曲線y=〃x)在x=2處切線的斜率；

(2)當(dāng)x>0時，證明：/(%)>1；

(3)證明：|<ln(/i!)-fn+^jln(n)+n<l.

第01講導(dǎo)數(shù)的概念、運算及幾何意義

（核心考點精講精練）

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點

2022年新I卷，第10題,5分求在曲線上一點處的切線方程

求己知函數(shù)的極值點

抽象函數(shù)的奇偶性

2022年新I卷，第12題,5分函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系

函數(shù)對稱性的應(yīng)用

2022年新I卷，第15題,5分求過一點的切線方程求某點處的導(dǎo)數(shù)值

2022年新II卷，第14題,5分求過一點的切線方程無

2021年新I卷，第7題,5分求過一點的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)

兩條切線平行、垂直、重合

2021年新II卷,第16題,5分直線的點斜式方程及辨析

（公切線）問題

2020年新I卷，第21題,12分求在曲線上一點處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

2020年新II卷,第22題,12分求在曲線上一點處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1理解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，理解導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達，了解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)與思想,

了解極限思想

2能通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意

3能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單

的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并.熟練使用導(dǎo)數(shù)公式表

4能理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會求切線方程

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會考查在曲線上一點的切線方程或過一點的切線方程，

需加強復(fù)習(xí)備考

知識講解

1.函數(shù)y=/(x)在x=x()處的導(dǎo)數(shù)

⑴定義：稱函數(shù)尸危)在％=出處的瞬時變化率lim+弋加。)=］加總為函數(shù)>=加)在％=必處的

Axf0Ax—>0公*^

導(dǎo)數(shù)，記作/(xo)或y'|x=xo，即/(尤0)=lim%=lim""+勰%°)。

2.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)

如果函數(shù)y=/(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a,6)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，函數(shù)f(x)=

lim&-0空士筌二酸稱為函數(shù)y=/U)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).

3.八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式

(1)C'=0(C為常數(shù))

27---1--

(2)(%〃)'=九九"一1例：(x5)'=5x4,(九"'二—九，,(x-6)=-6x7,8(?)'=(九5)'=—九5

，52

(3)(exS=ex

(4)(ax)r=axina

(5)(Inxy=—

x

(7)(sinx)'=cosx

(8)(cosx/=-sinx

4.導(dǎo)數(shù)的四則運算

(i)和的導(dǎo)數(shù)：[/(%)+g(%)]=ra)+g'(x)

(2)差的導(dǎo)數(shù)：[/(%)—g(%)]=/'(%)—g'(x)

(3)積的導(dǎo)數(shù)：[/(x)g(x)[=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)(前導(dǎo)后不導(dǎo)+前不導(dǎo)后導(dǎo))

，

(4)商的導(dǎo)數(shù)：/⑴=于(x)g(x)一/(x)g(x),g(x)7O

_g(x)」g“x)

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式

函數(shù)y=/(g(x))中，設(shè)“=g(x)(內(nèi)函數(shù))，則y=73)(外函數(shù))y'=?人

6.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在x=/處的導(dǎo)數(shù)/'(%)就是曲線y=/(x)在點(為"(不))處的切線的斜率左，即

k=/'(/)=lim"x°+Ax)T(Xo).

-Ax

(2)直線的點斜式方程

直線的點斜式方程：已知直線過點尸(%,方)，斜率為左，則直線的點斜式方程為：y-%=Hx-/)

【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點P(xo,詞，求曲線過點P的切線，則需分點尸(尤o,yo)是切

點和不是切點兩種情況求解.

(1)當(dāng)點尸(X0，死)是切點時，切線方程為y—%)=Hx-Xo)；

(2)當(dāng)點P(xo，刃)不是切點時，可分以下幾步完成：

第一步：設(shè)出切點坐標(biāo)P(Xi，/(Xi));

第二步：寫出過P'(Xi"(X]))的切線方程為y—/(xj=/'(X])(x—石)；

第三步：將點尸的坐標(biāo)(xo,光)代入切線方程求出Xl；

第四步：將xi的值代入方程y—/(X])=/'(X])(x—%)，可得過點尸(尤。,加)的切線方程.

考點一、求曲線切線的斜率或傾斜角

典例引領(lǐng)

___________

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)=e'(sinx+cosx)在x=0處切線的斜率為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)在該點處的值即可求解.

【詳解】因為函數(shù)/'(x)=e*(sinx+cosx),

則f'{x)=ex(sinv+cosx+co&x-sinx)=2e'co&x,

所以尸(。)=2,也即函數(shù)/(x)=e*(sinx+cosx)在x=0處切線的斜率左=2,

故選：B.

2.(2023?山東濰坊三模)若P為函數(shù)=-小圖象上的一個動點，以尸為切點作曲線y=〃x)的

切線，則切線傾斜角的取值范圍是()

【答案】D

【分析】設(shè)出切點(%,%)，利用(5,%)處的導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可得出tan。〉-百，然后利用正切值即可得

出答案.

【詳解】設(shè)P點坐標(biāo)為(七,％),

由/(x)=；e*—6x,xeR,

得尸(x)=ge「百，

則以戶為切點的切線斜率為(e』-若>-A,

令切線傾斜角為6，。耳。,兀)，則tanO>-6,

則0高哈,兀).

故選：D.

即時檢測

■■■■■■■■■■■

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))曲線〃x)=x+cosx在點處的切線斜率為.

【答案】0

【分析】求出點1m的導(dǎo)數(shù)，即該點處切線斜率.

【詳解】解:由題知〃x)=x+cosx,

所以r(x)=l-Sinx,所以廣(3=0,

故在點"削處的切線斜率為0.

故答案為：0

2.（2023?青海?校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)〃x）=5sinx+3co次的圖象在點（0,3）處的切線的斜率為

【答案】5

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x=0代入，可求得答案.

【詳解】因為_f（x）=5cosA3sinx,所以『'（0）=5,

即函數(shù)fM=5sim+3cos%的圖象在點（0,3）處的切線的斜率為5,

故答案為：5

考點二、求在曲線上一點的切線方程

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）曲線y=/在點1,處的切線方程為（）

e_e_ee_e3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

【答案】c

【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方

程即可求解.

【詳解】設(shè)曲線y=工在點［弓處的切線方程為=

因為y=E,

x+1

e，(x+l)—e；芷

所以y'

(x+1)2(x+1)2

所以左=

所以y-"|=2（xT）

所以曲線丫=工在點卜，9處的切線方程為y=

x+1I2J44

故選：C

2.（2。21?全國?統(tǒng)考高考真題）曲線y=。在點（--3）處的切線方程為——

【答案】5x-y+2=0

【分析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可.

【詳解】由題，當(dāng)產(chǎn)-1時，產(chǎn)-3,故點在曲線上.

求導(dǎo)得：，=（0

所以川葉尸5.

故切線方程為5x-y+2=0.

故答案為：5x-y+2=0.

即時檢測

1.（2023?安徽?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）曲線》=手在點（2,-3）處的切線方程為

1-x

【答案】2x-y-7=0

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

1y

【詳解】由〉=/（彳#1）,

l-x

所以

y=(M5=(M?,

,12

所以y1*=2=1討=2,

所以曲線＞=片在點（2,-3）處的切線斜率為2,

1-X

所以所求切線方程為y+3=2（x-2）,即2元-y-7=0.

故答案為：2x-y-l=0.

2.（2023?湖南長沙?長沙市實驗中學(xué)校考三模）函數(shù)/（x）=x-lnx在X=e處的切線方程為

［答案］y=2x-e

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由點斜式求出切線方程.

【詳解】因為〃x）=x/nx,貝i］〃e）=e/ne=e,

又/'（x）=lnx+l,貝"（e）=lne+l=2,

所以函數(shù)“x）=x/nx在x=e處的切線方程為y-e=2（尤-e）,

即y=2x-e.

故答案為：y=2x-e

3.（2023?廣東東莞?校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)〃"=丁-尤2在點（1,0）處的切線方程為

【答案】x-y-l=0（寫成y=x-i亦可）

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得廣⑴的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.

【詳解】?.?/（x）=x3-x2,:.f\x）^3jc-2x,則洋（1）=1,

因此，函數(shù)y=/（x）在點（1,0）處的切線方程為y=x-i即x-y-l=o.

故答案為：x-y-\=0（寫成＞=x-l亦可）.

4.（2023?江蘇揚州?江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測）曲線/（%）=ln（x+2）+：在點（。"（。））處的切線方程

為.

【答案】1—2y+21n2+3=0

【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)幾何意義和直線方程的點斜式求法即可求解.

3

【詳解】因為/（%）=ln（%+2）+],

則/⑼=;,

3

又/（0）=ln2+5，

O1

所以曲線在點（OJ（O））處的切線方程為y-ln2-'臥，

即％—2y+21n2+3=0.

故答案為：x-2y+21n2+3=0.

5.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)/（力=4丁+（/1—2）/（行2是奇函數(shù)，則曲線y=〃x）在點

（XJ（初處的切線方程為.

【答案】24%-y-32=0

【分析】首先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求2的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

【詳解】因為/（力=九^+津―2）f（xeR）是奇函數(shù)，

所以X）+〃X）=0對VxeR恒成立，

BP-Ax3+（2-2）x2+Ax3+（2-2）x2=2（2-2）x2=0對VxeR恒成立，

所以4=2,貝1]/（力=2/,故廣（同=6/,所以/（2）=2X23=16J'（2）=6X22=24,

所以曲線y=/（%）在點（2,16）處的切線方程為y-16=24（x-2）,

化簡得24元-y-32=0.

故答案為：24x-y-32=0

考點三、求過一點的切線方程

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)曲線y=ln|尤|過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)*>0時設(shè)切點為(不,lnx。)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜

率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出％,即可求出切線方程，當(dāng)x<0時同理可得；

【詳解】［方法一］：化為分段函數(shù)，分段求

分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時設(shè)切點為(x°,lnx°),求出函數(shù)體導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而

表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出％,即可求出切線方程，當(dāng)尤<0時同理可得；

解：因為丁=111可，

當(dāng)x>0時y=ln無，設(shè)切點為(xoJnx。)，由y'=!，所以了11。=’,所以切線方程為V-足毛=,

X%0%

又切線過坐標(biāo)原點，所以-lnx°=2?(-%),解得x°=e,所以切線方程為y_l=』(x_e),即y='x；

xoee

當(dāng)x<0時y=ln(—x),設(shè)切點為(修山(-％)),由y'=L所以*『=工，所以切線方程為

X芯

x\

又切線過坐標(biāo)原點，所以一叫一占卜9一%),解得%=-e,所以切線方程為八1=-L(x+e),即尸-L；

石-ee

故答案為：y=-x；y=--x

ee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合

當(dāng)x>0時y=lnx,設(shè)切點為(%,In%),由y'=L所以了1'=’,所以切線方程為y一足七=’(尸毛),

X%0X。

又切線過坐標(biāo)原點，所以一山毛=’(一%)，解得x0=e,所以切線方程為y_i=N尤-e),^y=-x；

xoee

因為y=M忖是偶函數(shù)，圖象為:

所以當(dāng)x<0時的切線，只需找到y(tǒng)=!尤關(guān)于y軸的對稱直線y=即可.

ee

［方法三］:

因為y=,

當(dāng)x>0時y=ln無，設(shè)切點為（尤0,In尤0）,由y'=L所以所以切線方程為，7叫,

又切線過坐標(biāo)原點，所以-皿毛=’（一%），解得x°=e,所以切線方程為yT=，（x-e）,^y=-x-

xoee

當(dāng)x<0時y=ln（—x）,設(shè)切點為）），由，'=L所以山『=’,所以切線方程為

X玉

y—ln（一%）=工（天一玉）,

再

又切線過坐標(biāo)原點，所以-ln（F）=,（Tj,解得為=-e,所以切線方程為y_i=L（x+e）,即y=」x；

七一ee

故答案為：y=-x；y=--x.

ee

/即時檢測

4*^______________

1.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）過點作曲線y=x，的切線，寫出一條切線方程：.

【答案】y=0或y=3x+2（寫出一條即可）

【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將，：，。［代入求得切點坐標(biāo)，即可得切線方

程.

【詳解】由丫=式可得y，=3父,

設(shè)過點，M作曲線y=尤3的切線的切點為（X。,%）,則％=片，

貝1|該切線方程為>-%=3片（"不），

將1g，。J代入得-X；=3%（一：-%）,解得X。=0或X。=一1,

故切點坐標(biāo)為（0,。）或（TT）,

故切線方程為y=0或y=3元+2,

故答案為：y=0或y=3x+2

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)=+/⑴尤2+1,其導(dǎo)函數(shù)為r⑴，則曲線“X）過點P（3,l）的

切線方程為.

【答案】y=l或H

【分析】設(shè)切點為〃(與，兀)，對函數(shù)進行求導(dǎo)，且代入尤=1可得(⑴=-1,故可由點斜式得到切線方程，

將尸(3,1)代入即可求得%=0或尤0=3,即可求得切線方程

【詳解】設(shè)切點為〃(知兒)，由〃尤+/⑴V+1,得/'(x)=d+2/，⑴x,

.?"")=1+2尸⑴，得廣⑴=一1,.?.〃同=；尤3一/+1,尸(x)=d-2x,

切點M為1天,§X。—X。+1),/')=x；—2x0,

曲線”X)在點M處的切線方程為y-，X-x：+l[=(x；-2xo)(x-Xo)①，

又：該切線過點P(3』),：A-gx”x；+1卜(片-2x0)(3-x0),解得尤。=。或%=3.

將飛=0代入①得切線方程為y=l；

將％=3代入①得切線方程為y-1=3(x-3),即y=3尤-8.

???曲線〃x)過點P(3,l)的切線方程為y=1或y=3尤-8.

故答案為：y=l或y=3x-8

3.(2023?江蘇南通?二模)過點(-1,0)作曲線y=/-x的切線，寫出一條切線的方程.

【答案】2%-y+2=0(答案不唯一)

【分析】設(shè)切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，代入點(-1,0)求出未知數(shù)即可得到切線方程.

【詳解】y=x3-x,yf=3x2-1,

設(shè)切點坐標(biāo)為(%o,%；-X0),則切線斜率為3%；-1,得方程y-(^o-/o)=(3片-l)(