專題28幾何綜合壓軸題（29題）（解析版）

一、單選題

1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在VABC中，D是AC的中點(diǎn)，CEAB，BD與CE交于點(diǎn)O，且

BECD．下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E

B．BDC3ABD

C．當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，VABC是等邊三角形

S△BOC3

D．當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，

S△AEC4

【答案】D

1

【分析】連接DE，根據(jù)CEAB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)得DEADCDAC，則BEDE，進(jìn)而得點(diǎn)D

2

在線段BD的垂直平分線上，由此可對選項(xiàng)Ａ進(jìn)行判斷；設(shè)ABD，根據(jù)BEDE得EDBABD，

的AEDEDBABD2，再根據(jù)DEAD得AAED2，則BDCAABD3，由此可對選

1

項(xiàng)Ｂ進(jìn)行判斷；當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，則BEAB，CE是線段AB的垂直平分線，由此得ACBC，然后

2

11

根據(jù)BEAB，CDAC，BECD得ABAC，由此可對選項(xiàng)Ｃ進(jìn)行判斷；連接AO并延長交BC于

22

F，根據(jù)VABC是等邊三角形得OBCOAC30，則OAOB，進(jìn)而得OB2OF，AF3OF，由此

113

得SBCOF，SBCAFBCOF，由此可對選項(xiàng)Ｄ進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．

OBC2ABC22

【詳解】解：連接DE，如圖1所示：

CEAB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，

DE為Rt△AEC斜邊上的中線，

1

DEADCDAC，

2

BECD，

BEDE，

點(diǎn)D在線段BD的垂直平分線上，

即線段BD的垂直平分線一定與AB相交于點(diǎn)E，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

設(shè)ABD，

BEDE，

EDBABD，

AEDEDBABD2，

DEAD，

AAED2，

BDCAABD3，

即BDC3ABD，故選B正確，不符合題意；

1

當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，則BEAB，

2

CEAB，

CE是線段AB的垂直平分線，

ACBC，

11

BEAB，CDAC，BECD，

22

ABAC，

ACBCAB，

ABC是等邊三角形，故選C正確，不符合題意；

連接AO，并延長交BC于F，如圖2所示：

當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，

點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，

根據(jù)三角形三條中線交于一點(diǎn)得：點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，

當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，VABC是等邊三角形，

ABCBAC60，AFBC，AF平分OAC，BD平分ABC，

OBCOAC30，

OAOB，

在Rt△OBF中，OB2OF，

OAOB2OF，

AFOAOF3OF，

113

SBCOF，SBCAFBCOF，

OBC2ABC22

S1

OBC，故選項(xiàng)D不正確，符合題意．

SABC3

故選：D．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，

等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形

的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

1

2．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于AB的長為半

2

徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F，作直線EF，再以點(diǎn)A為圓心，以AD的長為半徑作弧交直線EF于點(diǎn)G（點(diǎn)

G在正方形ABCD內(nèi)部），連接DG并延長交BC于點(diǎn)K．若BK2，則正方形ABCD的邊長為（）

535

A．21B．C．D．31

22

【答案】D

【分析】連接AG，設(shè)EF交AB于點(diǎn)H，正方形邊長為2x，由作圖知，AGAD2x，EF垂直平分AB，

得到AHBHx，AHG90，由勾股定理得到GH3x，證明ADGHBC，推出DGGK，推出

GHx1，得到3xx1，即得2x31．

【詳解】連接AG，設(shè)EF交AB于點(diǎn)H，正方形邊長為2x，

由作圖知，AGAD2x，EF垂直平分AB，

1

∴AHBHABx，AHG90，

2

∴GHAG2AH23x，

∵BAD90，

∴AD∥GH，

∵AD∥BC，

∴ADGHBC，

DGAH

∴1，

GKHB

∴DGGK，

∵BK2，

1

∴GHADBKx1，

2

∴3xx1，

31

∴x，

2

∴2x31．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和線段垂直平分線綜合．熟練掌握正方形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾

股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，梯形中位線性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．

3．（2024·安徽·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，ACBC2，點(diǎn)D在AB的延長線上，且CDAB，則

BD的長是（）

A．102B．62C．222D．226

【答案】B

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)D作DECB的延長

線于點(diǎn)E，則BED90，由ACB90，ACBC2，可得AB22，AABC45，進(jìn)而得

到CD22，DBE45，即得VBDE為等腰直角三角形，得到DEBE，設(shè)DEBEx，由勾股定理

22

得2xx222，求出x即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：過點(diǎn)D作DECB的延長線于點(diǎn)E，則BED90，

∵ACB90，ACBC2，

∴AB222222，AABC45，

∴CD22，DBE45，

∴VBDE為等腰直角三角形，

∴DEBE，

設(shè)DEBEx，則CE2x，

在Rt△CDE中，CE2DE2CD2，

22

∴2xx222，

解得x131，x231（舍去），

∴DEBE31，

22

∴BD313162，

故選：B．

4．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，ABC60，BACCAD45，

ABAD2，則O的半徑是（）

62232

A．B．C．D．

3322

【答案】A

【分析】延長AB至點(diǎn)E，使BEAD，連接BD，連接CO并延長交O于點(diǎn)F，連接AF，即可證得

ADC≌EBCSAS，進(jìn)而可求得ACcos45AE2，再利用圓周角定理得到AFC60，結(jié)合三角

函數(shù)即可求解．

【詳解】解：延長AB至點(diǎn)E，使BEAD，連接BD，連接CO并延長交O于點(diǎn)F，連接AF，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于O，

∴ADCABCABCCBE180

∴ADCCBE

∵BACCAD45

∴CBDCDB45，DAB90

∴BD是O的直徑，

∴DCB90

∴△DCB是等腰直角三角形，

∴DCBC

∵BEAD

∴ADC≌EBCSAS

∴ACDECB，ACCE,

∵ABAD2

∴ABBEAE2

又∵DCB90

∴ACE90

∴△ACE是等腰直角三角形

∴ACcos45AE2

∵ABC60

∴AFC60

∵FAC90

AC26

∴CF

sin603

16

∴OFOCCF

23

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等

知識點(diǎn)，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

5．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，VABC是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上，BD2，動點(diǎn)P以每秒1

個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BCCA勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后停止，連接DP．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間

為ts，DP2為y．當(dāng)動點(diǎn)P沿BC勻速運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個(gè)結(jié)論：

①AB3；

②當(dāng)t5時(shí)，y1；

③當(dāng)4t6時(shí)，1y3；

④動點(diǎn)P沿BCCA勻速運(yùn)動時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻t1，t2t1t2分別對應(yīng)y1和y2，若t1t26，則y1y2．其中

正確結(jié)論的序號是（）

A．①②③B．①②C．③④D．①②④

【答案】D

【分析】由圖知當(dāng)動點(diǎn)P沿BC勻速運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，DP27，作DEBC于點(diǎn)E，利用解直角三角形和

勾股定理，即可得到BC，即可判斷①，當(dāng)t5時(shí)，證明△ADP是等邊三角形，即可判斷②，當(dāng)4t6時(shí)，

2

且DPAC時(shí)，DP最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出y1和y2進(jìn)行比較，即可判斷

④．

【詳解】解：由圖知當(dāng)動點(diǎn)P沿BC勻速運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，DP27，

作DEBC于點(diǎn)E，

VABC是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上，BD2，

B60，ABBCAC，

DEBDsin603，BEBDcos601，

EPDP2DE22，

ABBCBEEP3，

故①正確；

當(dāng)t5時(shí)，PC532，AP1AD，

A60，

△ADP是等邊三角形，

DPAPAD1，

yDP21，

故②正確；

當(dāng)4t6時(shí)，且DPAC時(shí)，DP2最小，

AD1，A60，

3

DPADsin60，

2

33

DP2最小為，即y能取到，

44

故③錯(cuò)誤；

動點(diǎn)P沿BCCA勻速運(yùn)動時(shí)，

t1t26，t1t2，

t13，t23，t26t1，

當(dāng)0t11時(shí)，5t26，

2

22；

y11t13t1t14

53

當(dāng)DPAC時(shí)，CP，DP，

24

222

11319213；

y2t2t1t1t1

2421616

1351

yy40，

121616

y1y2；

同理，當(dāng)1t13時(shí)，3t25，

2

22，

y1t113t1t14

222

1319213，

y26t2t1t1t1

2421616

1351

yy40，

121616

y1y2；

故④正確；

綜上所述，正確的有①②④，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，等邊三角形性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，涉及到動點(diǎn)問題、讀懂

函數(shù)圖象、正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合求解是解本題的關(guān)鍵．

二、填空題

6．（2024·河北·中考真題）如圖，VABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，點(diǎn)A，C1，C2，C3是線段CC4

的五等分點(diǎn)，點(diǎn)A，D1，D2是線段DD3的四等分點(diǎn)，點(diǎn)A是線段BB1的中點(diǎn)．

△

（1）AC1D1的面積為；

△

（2）B1C4D3的面積為．

【答案】17

1

【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得S△=S△=S△=1，證明ACD≌ACDSAS，根據(jù)全

ABDACD2ABC11

等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（）證明≌，得SS1，推出、、三點(diǎn)共線，得

2AB1D1ABDSAS△AB1D1△ABDC1D1B1

S=S+S=2，繼而得出S=4S=8，S3S3，證明△∽△，

△AB1C1△AB1D1△AC1D1△AB1C4△AB1C1△AB1D3△AB1D1C3AD3CAD

4

得S△CAD9S△CAD9，推出S△S△12，最后代入S△BCDS△ACDS△ABDS△ABC即可．

33AC4D33C3AD3143431314

【詳解】解：（1）連接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3，

∵VABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，

11

∴S△=S△=S△=′2=1，

ABDACD2ABC2

∵點(diǎn)A，C1，C2，C3是線段CC4的五等分點(diǎn)，

1

∴ACACCCCCCCCC，

112233454

∵點(diǎn)A，D1，D2是線段DD3的四等分點(diǎn)，

1

∴ADADDDDDDD，

1122343

∵點(diǎn)A是線段BB1的中點(diǎn)，

1

∴ABABBB，

121

△

在AC1D1和ACD中，

ACAC

1

C1AD1CAD，

AD1AD

≌

∴AC1D1ACDSAS，

∴SS1，，

△AC1D1△ACDC1D1ACDA

△

∴AC1D1的面積為1，

故答案為：1；

（2）在AB1D1和△ABD中，

ABAB

1

B1AD1BAD，

AD1AD

≌

∴AB1D1ABDSAS，

∴SS1，，

△AB1D1△ABDB1D1ABDA

∵BDACDA180，

∴B1D1AC1D1A180，

∴C1、D1、B1三點(diǎn)共線，

∴S=S+S=1+1=2，

△AB1C1△AB1D1△AC1D1

∵AC1C1C2C2C3C3C4，

∴S=4S=4′2=8，

△AB1C4△AB1C1

∵，S1，

AD1D1D2D2D3△AB1D1

∴S3S313，

△AB1D3△AB1D1

△

在AC3D3和ACD中，

ACAD

∵333，CADCAD，

ACAD33

△∽△

∴C3AD3CAD，

2

SCADAC2

∴33339，

SCADAC

∴S9S919，

△C3AD3△CAD

∵AC1C1C2C2C3C3C4，

44

∴S△S△912，

AC4D33C3AD33

∴SSSS12387，

△B1C4D3△AC4D3△AB1D3△AB1C4

△

∴B1C4D3的面積為7，

故答案為：7．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等分點(diǎn)的意

義，三角形的面積．掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

7．（2024·河南·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，CACB3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)

旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD1，則AE的最大值為，最小值為.

【答案】221/122221/122

【分析】根據(jù)題意得出點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓上，點(diǎn)E在以AB為直徑的圓上，根據(jù)

AEABcosBAE，得出當(dāng)cosBAE最大時(shí)，AE最大，cosBAE最小時(shí)，AE最小，根據(jù)當(dāng)AE與C

相切于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在VABC內(nèi)部時(shí)，BAE最小，AE最大，當(dāng)AE與C相切于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在VABC

外部時(shí)，BAE最大，AE最小，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．

【詳解】解：∵ACB90，CACB3，

1

∴BACABC9045，

2

∵線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，CD1，

∴點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓上，

∵BE⊥AE，

∴AEB90，

∴點(diǎn)E在以AB為直徑的圓上，

在Rt△ABE中，AEABcosBAE，

∵AB為定值，

∴當(dāng)cosBAE最大時(shí)，AE最大，cosBAE最小時(shí)，AE最小，

∴當(dāng)AE與C相切于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在VABC內(nèi)部時(shí)，BAE最小，AE最大，連接CD，CE，如圖所示：

則CDAE，

∴ADCCDE90，

∴ADAC2CD2321222，

∵，

ACAC

∴∠CED∠ABC45，

∵CDE90，

∴CDE為等腰直角三角形，

∴DECD1，

∴AEADDE221，

即AE的最大值為221；

當(dāng)AE與C相切于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在VABC外部時(shí)，BAE最大，AE最小，連接CD，CE，如圖所示：

則CDAE，

∴CDE90，

∴ADAC2CD2321222，

∵四邊形ABCE為圓內(nèi)接四邊形，

∴∠CEA180∠ABC135，

∴∠CED180∠CEA45，

∵CDE90，

∴CDE為等腰直角三角形，

∴DECD1，

∴AEADDE221，

即AE的最小值為221；

故答案為：221；221．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，

解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，找出AE取最大值和最小值

時(shí)，點(diǎn)D的位置．

AC5

8．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，．線段AB與AB

BD3

關(guān)于過點(diǎn)O的直線l對稱，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B在線段OC上，AB交CD于點(diǎn)E，則BCE與四邊形OBED的

面積比為

1

【答案】1:3/

3

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上

知識點(diǎn)．

11

設(shè)AC10a，BD6a，首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OAOCAC5a，OBODBD3a，連接AD，

22

OE，直線l交BC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，得到點(diǎn)A，D，O三點(diǎn)共線，ADAOOD2a，

SBC2a2

，CEB，然后證明出AED≌CEBAAS，得到，然后證

BCOCOB2aAECE

SOEBOB3a3

≌

明出ODEOBESSS，得到SODESOBE，進(jìn)而求解即可．

AC5

【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，

BD3

∴設(shè)AC10a，BD6a

11

∴OAOCAC5a，OBODBD3a

22

如圖所示，連接AD，OE，直線l交BC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，

∵線段AB與AB關(guān)于過點(diǎn)O的直線l對稱，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B在線段OC上，

1

∴BOFCOFBOB45，AOAO5a，OBOB3a

2

∴AOGDOG45

∴點(diǎn)A，D，O三點(diǎn)共線

∴ADAOOD2a，BCOCOB2a

SBC2a2

∴CEB

SOEBOB3a3

∴ADBC

∵CD∥AB

∴CDOABO

由對稱可得，ABOABO

∴ABOCDO

∴ADECBE

又∵AEDCEB

∴AED≌CEBAAS

∴AECE

∵ABABCD

∴DEBE

又∵ODOB，OEOB

∴ODE≌OBESSS

∴SODESOBE

SS221

∴CEBCEB．

S四邊形OBEDSOEBSODE3363

1

故答案為：．

3

3

9．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線yx上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，

4

直角三角板的直角頂點(diǎn)C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)A，另一條直角邊與直線OA交于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)C

在x軸上移動時(shí)，線段AB的最小值為．

15

【答案】

4

【分析】利用一次函數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出OA，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動時(shí)，作AB與AB關(guān)

于AC對稱，且AB交x軸于點(diǎn)D，由對稱性質(zhì)可知，ABAB，BACDAC，當(dāng)AB⊥x軸于點(diǎn)D時(shí)，

ABABADBD最短，記此時(shí)點(diǎn)C所在位置為C，作CEAB于點(diǎn)E，有DCEC，設(shè)DCECm，

ECAD3

則OCODDC4m，利用銳角三角函數(shù)sinAOD建立等式求出m，證明

OCOA5

CDB∽ADC，再利用相似三角形性質(zhì)求出BD，最后根據(jù)ABABADBD求解，即可解題．

3

【詳解】解：點(diǎn)A在直線yx上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，

4

點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,3，

OA5，

當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動時(shí)，作AB與AB關(guān)于AC對稱，且AB交x軸于點(diǎn)D，

由對稱性質(zhì)可知，ABAB，

當(dāng)AB⊥x軸于點(diǎn)D時(shí)，ABABADBD最短，記此時(shí)點(diǎn)C所在位置為C，

由對稱性質(zhì)可知，BACDAC，

作CEAB于點(diǎn)E，有DCEC，

設(shè)DCECm，則OCODDC4m，

ECAD3

sinAOD，

OCOA5

m3

，

4m5

3

解得m，

2

3

經(jīng)檢驗(yàn)m是方程的解，

2

ACDDCB90，DACACD90，

DCBDAC，

CDBADC90，

CDB∽ADC，

BDDC

，

DCAD

3

BD

2，

33

2

3

解得BD，

4

315

ABAB3．

44

15

故答案為：．

4

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，垂

線段最短，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱性質(zhì)和垂線段最短找出最短的情況．

10．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個(gè)全等的三角形(ABE，BCF，CAD)與中間的小等邊三角形DEF

拼成一個(gè)大等邊三角形ABC．連接并延長交AC于點(diǎn)G，若AEED2，則：

（1）FDB的度數(shù)是；??

（2）DG的長是．

【答案】43

5

【分析】本題考3查0°了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知

識，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

（1）利用三角形相似及AEDE可得BFDF，再利用三角形的外角性質(zhì)結(jié)合可求得DBF30；

（2）作CHBG交BG的延長線于點(diǎn)H，利用直角三角形的性質(zhì)求得CH1，F(xiàn)H3，證明ADG∽CHG，

利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．

【詳解】解：△ABE≌△BCF≌△CAD(已知)，

ADBECF，AEBFDC，

AEED2，

ADBE4，

DEF為等邊三角形，

EFDFDE2，EFDEDF60，

BFDFDC2，

1

FDBFBDEFD30，ADBEDFFDB90，

2

如圖，過點(diǎn)C作CHBG的延長線于點(diǎn)H，

CDH30，

1

CHCDsin3021，

2

3

DHCDcos3023，

2

ADGCHG，AGDCGH，

ADG∽CHG，

DGAD4

，

HGCH1

44

DGDH3．

55

故答案為：，43．

5

30°5

11．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在VABC中，AB5，tanC2，則ACBC的最大值為．

5

【答案】52

5

【分析】過點(diǎn)B作BDAC，垂足為D，如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到ACBCACDC，延

5

5

長DC到E，使ECCDx，連接BE，如圖所示，從而確定ACBCACDCACCEAE，

5

5

E45，再由輔助圓-定弦定角模型得到點(diǎn)E在O上運(yùn)動，AE是O的弦，求ACBC的最大值就

5

是求弦AE的最大值，即AE是直徑時(shí)，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案．

【詳解】解：過點(diǎn)B作BDAC，垂足為D，如圖所示：

tanC2，

在Rt△BCD中，設(shè)DCx，則BD2x，由勾股定理可得BC5x，

DCx55

，即BCDC，

BC5x55

5

ACBCACDC，

5

延長DC到E，使ECCDx，連接BE，如圖所示：

5

ACBCACDCACCEAE，

5

BDDE，DE2xBD，

BDE是等腰直角三角形，則E45，

在ABE中，AB5，E45，由輔助圓-定弦定角模型，作ABE的外接圓，如圖所示：

5

由圓周角定理可知，點(diǎn)E在O上運(yùn)動，AE是O的弦，求ACBC的

5

最大值就是求弦AE的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦AE過圓心O，即AE是直徑時(shí)，弦最大，如圖所

示：

AE是O的直徑，

ABE90，

E45，

ABE是等腰直角三角形，

AB5，

5

BEAB5，則由勾股定理可得AEAB2BE252，即ACBC的最大值為52，

5

故答案為：52．

【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、

圓周角定理、動點(diǎn)最值問題-定弦定角模型等知識，熟練掌握動點(diǎn)最值問題-定弦定角模型的解法是解決問

題的關(guān)鍵．

12．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是AC的中點(diǎn)，DEAB于

點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，DB交AC于點(diǎn)G，連結(jié)AD．給出下面四個(gè)結(jié)論：

①ABDDAC；

②AFFG；

14

③當(dāng)DG2，GB3時(shí)，F(xiàn)G；

2

④當(dāng)BD2AD，AB6時(shí)，DFG的面積是3．

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有．

【答案】①②③

【分析】如圖：連接DC，由圓周角定理可判定①；先說明BDEAGD、ADEDAC可得DFFG、

ADGDADGD

AFFD，即AFFG可判定②；先證明ADG∽BDA可得,即,代入數(shù)據(jù)可得

BDADDGBGAD

AD10，然后運(yùn)用勾股定理可得AG14，再結(jié)合AFFG即可判定③；如圖：假設(shè)半圓的圓心為O，

連接OD,CO,CD，易得AODDOC60，從而證明AOD,ODC是等邊三角形，即ADCO是菱形，

然后得到，再解直角三角形可得，根據(jù)三角形面積公式可得，

DACOAC30DG23SADG63

最后根據(jù)三角形的中線將三角形平分即可判定④．

【詳解】解：如圖：連接DC，

∵D是AC的中點(diǎn)，

∴

ADDC,

∴ABDDAC，即①正確；

∵AB是直徑，

∴ADB90，

∴DACAGD90，

∵DEAB

∴DBDE+DABD=90°,

∵ABDDAC，

∴BDEAGD，

∴DFFG，

∵DBDE+DABD=90°，BDEADE90,

∴ADEABD，

∵ABDDAC，

∴ADEDAC，

∴AFFD，

∴AFFG,即②正確；

在△ADG和△BDA,

ADGBDA90

，

DAGDBA

∴ADG∽BDA，

ADGDADGD

∴,即,

BDADDGBGAD

AD2

∴，即AD10,

23AD

∴AGAD2DG214,

∵AFFG，

114

∴FGAG，即③正確；

22

如圖：假設(shè)半圓的圓心為O，連接OD,CO,CD，

∵BD2AD，AB6，D是AC的中點(diǎn)，

1

∴ADDCAB,

3

∴AODDOC60，

∵OAODOC，

∴AOD,ODC是等邊三角形，

∴OAADCDOCOD6，即ADCO是菱形，

1

∴DACOACDAO30，

2

∵ADB90，

DG3DG

∴tanDACtan30，即，解得：DG23,

AD36

11

∴SADDG62363，

ADG22

∵AFFG

1

∴SS33，即④錯(cuò)誤．

DFG2ADG

故答案為：①②③．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定

與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．

13．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB2,AD2，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F

在邊CD上，連接EF，將DEF沿EF翻折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D￠，連接BD．若BD2，則DF．

【答案】32/23

【分析】如圖：連接BE，延長FE交BA的延長線于H，根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，證明

RtHAE≌RtFDEASA，進(jìn)而得到△BED為直角三角形，設(shè)DEF，則

AEHDEF，DED2，證明BHE為等腰三角形，求出AH，進(jìn)而完成解答．

【詳解】解：如圖：連接BE，延長FE交BA的延長線于H，

∵矩形ABCD中AB2,AD2，E為邊AD的中點(diǎn)，，

∴AEDE1，BAED90，

∵將DEF沿EF翻折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D￠，

∴EDED1，EDFD90，DEFDEF，

∴RtHAE≌RtFDEASA，

∴DFAH，

∴BEAB2AE2213，

∵BD2，

2

∴12322，即DE2BE2BD2，

∴△BED為直角三角形，

設(shè)DEF，則AEHDEF，DED2，

∴AEB902，AHE90，

∴HEBAHE90，

∴BHE為等腰三角形，

∴BHBE3，

∴AHBHAB32，

∴DFAH32．

故答案為：32．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、

折疊的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

三、解答題

14．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在VABC中，ABC90，ACB045．將線段CA繞點(diǎn)C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段CD，過點(diǎn)D作DEBC，垂足為E．

圖1圖2圖3

(1)如圖1，求證：△ABC≌△CED；

(2)如圖2，ACD的平分線與AB的延長線相交于點(diǎn)F，連接DF，DF的延長線與CB的延長線相交于點(diǎn)P，

猜想PC與PD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3，在（2）的條件下，將△BFP沿AF折疊，在變化過程中，當(dāng)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置時(shí)，連接EF．

①求證：點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)；

②若CD20，求△CEF的面積．

【答案】(1)見詳解

(2)PCPD

(3)30

【分析】（1）利用“AAS”即可證明；

（2）可知A90，證明ACF≌DCF，則CDFA90，可得BCD90，則

BCDCDF，故PCPD；

（3）①翻折得FPFE，根據(jù)等角的余角相等得到FEDFDE，故FEFD，則FPFD，即點(diǎn)F是

PD中點(diǎn)；

②過點(diǎn)F作FM∥CP交CD于點(diǎn)M，連接EM，設(shè)CEm，DECBn，則BECBCEnm，由翻

折得PBBEnm，故PE2n2m，因此PC2nmPD，在Rt△PDE中，由勾股定理得：

22

2nm2n2mn2，解得：n3m或nm（舍，此時(shí)45），在Rt△CDE中，由勾股定理得：

2222132DFDM

m3m20，解得：m40，則S△CEDEm60，由FMBC，得到1，

CDE22PFCM

1

S△S△，因此S△S△30，故S△30．

CEMCEFCEM2CEDCEF

【詳解】（1）證明：如圖，

由題意得，CACD,ACD90，

∴1290

∵DEBC，

∴DEC90，

∴1D90，

∴2D，

∵ABC90，

∴BDEC，

∴ABC≌CEDAAS；

（2）猜想：PCPD

證明：∵ABC90，ACB

∴A90，

∵CF平分ACD，

∴ACFDCF，

∵CACD,CFCF，

∴ACF≌DCF，

∴CDFA90，

∵ACD=90，ACB，

∴BCD90，

∴BCDCDF，

∴PCPD；

（3）解：①由題意得FPFE，

∴PFEP，

∵DEC90，

∴PED90，

∴PFDE90，F(xiàn)EPFED90，

∴FEDFDE，

∴FEFD，

∴FPFD，即點(diǎn)F是PD中點(diǎn)；

②過點(diǎn)F作FM∥CP交CD于點(diǎn)M，連接EM，

∵△ABC≌△CED，

∴DECB，

設(shè)CEm，DECBn，

∴BECBCEnm，

由翻折得PBBEnm，

∴PE2n2m，

∴PCPECE2nmPD，

22

在Rt△PDE中，由勾股定理得：2nm2n2mn2，

整理得，3m24mnn20，

解得：n3m或nm（舍，此時(shí)45），

2

在Rt△CDE中，由勾股定理得：m23m202，

解得：m240，

1132

∴S△CEDEm3mm60，

CDE222

∵FMBC，

DFDM

∴1，S△S△，

PFCMCEMCEF

∴點(diǎn)M為CD中點(diǎn)，

1

∴S△S△30，

CEM2CED

∴S△CEF30．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，翻折的性質(zhì)，勾股定理解三角形，平

行線分線段成比例定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．

15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知VABC內(nèi)接于O，AB是O的直徑，BAC的平分線交O

于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEAC，交AC的延長線于點(diǎn)E，連接BD，CD．

(1)求證：DE是O的切線；

1

(2)若CE1，sinBAD，求O的直徑．

3

【答案】(1)證明見解析；

(2)9．

【分析】（1）連接OD，由角平分線可得BADEAD，又由OAOD可得OADODA，即得

ODAEAD，由DEAE得EADADE90，進(jìn)而可得ODAADE90，即得ODDE，即

可求證；

（2）AB是O的直徑可得DABABCDBC90，又由（1）知EADADCCDE90，

由BADEAD，DBCADC，進(jìn)而可得DBCCDE，再根據(jù)DBCCAD，DCBBAD，

1

CADBAD，可得CDEDBCDCBBAD，得到BDCD，sinCDEsinBAD，解

3

Rt△CDE得到CDBD3，再解Rt△ABD即可求解；

本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，三角函數(shù)，掌握圓的有關(guān)定

理是解題的關(guān)鍵．

【詳解】（1）證明：連接OD，

∵AD平分BAC，

∴BADEAD，

∵OAOD，

∴OADODA，

∴ODAEAD，

∵DEAE，

∴E90，

∴EADADE90，

∴ODAADE90，

即ODE90，

∴ODDE，

∵OD是O半徑，

∴DE是O的切線；

（2）解：∵AB是O的直徑，

∴ADB90，

∴DABABD90，

即DABABCDBC90，

∵EADADE90，

∴EADADCCDE90，

∴DABABCDBCEADADCCDE

∵BADEAD，ABCADC，

∴DBCCDE，

∵DBCCAD，DCBBAD，CADBAD，

∴CDEDBCDCBBAD

1

∴BDCD，sinCDEsinBAD，

3

CE1

在Rt△CDE中，sinCDE，

CD3

∴CD3CE313，

∴BD3，

BD1

在Rt△ABD中，sinBAD，

AB3

∴AB3BD339，

即O的直徑為9．

16．（2024·四川資陽·中考真題）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在VABC中，點(diǎn)D在邊BC上．若BADC，

則AB2BDBC，請證明；

（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，在VABC中，BAC60，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，CACD2，點(diǎn)E在AB上，

連接AD，DE．若AEDCAD，求BE的長；

（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，ABC2EBF，

延長AD，BF相交于點(diǎn)G．若BE4，DG6，求FG的長．

131245

【答案】（1）見解析；（2）BE；（3）FG

311

ABBD

【分析】（1）證明△ABD∽△CBA，得出，即可證明結(jié)論；

BCAB

（2）過點(diǎn)C作CFAB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DGAB于點(diǎn)G，解直角三角形得出

3