二次函數平行四邊形存在性問題1如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A(-3,0)、B(1,0)兩點,與y軸交于點C，對稱軸l與x軸交于點F，直線l(1)拋物線的解析式為；(2)當四邊形AHCE面積最大時，求點E的坐標；(3)在(2)的條件下，連接EF，點P是x軸上一動點，在拋物線上是否存在點Q，使得以F、E、P、Q為頂點，以EF為一邊的四邊形是平行四邊形.若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由.2如圖，已知拋物線y=ax2過點(1)求拋物線的解析式；(2)已知直線l過點.A,M320(3)若點P，D分別是拋物線與直線l上的動點，以OC為一邊且頂點為O，C，P，D的四邊形是平行四邊形，求所有符合條件的P點坐標.3如圖所示，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點A的坐標為A?20,(1)求拋物線的函數表達式；(2)當△BCD的面積等于△AOC的面積的34(3)在(2)的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.4如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2?2x+c與直線(1)求此拋物線和直線AB的解析式；(2)設直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線EB上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點?若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)設點P是直線AB下方拋物線上的一動點，當△PAB面積最大時，求點P的坐標，并求△PAB面積的最大值.5如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax(1).求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；(2).點D為拋物線對稱軸上一點，連接CD、BD，若∠DCB=∠CBD,求點D的坐標；(3).已知F(1,1),若E(x,y)是拋物線上一個動點(其中1<x<2),連接CE、CF、EF,求△CEF面積的最大值及此時點E的坐標.(4).若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.6如圖，在平面直角坐標系中，直線y=?12x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線(1).求該拋物線的解析式；(2).若點D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當∠ABD=2∠BAC時，求點D的坐標；(3).已知E，F分別是直線AB和拋物線上的動點，當以B，O，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出所有符合條件的E點的坐標.7如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數y=?34x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于B點，拋物線y=?x(1)求拋物線的函數表達式；(2)是否存在點D,使得△BDE和.△ACE相似?若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；(3)如圖2，F是第一象限內拋物線上的動點(不與點D重合)，點G是線段AB上的動點.連接DF，FG，當四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的坐標.8如圖，已知二次函數y=?x2+bx+c的圖象交x軸于點.(1)求這個二次函數的表達式；(2)若點P在第二象限內的拋物線上，求△PAC面積的最大值和此時點P的坐標；(3)在平面直角坐標系內，是否存在點Q，使A，B，C，Q四點構成平行四邊形?若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由.9如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，直線(1)求拋物線的解析式；(2)過點A的直線交直線BC于點M.①當AM?BC時，過拋物線上一動點P(不與點B，C重合)，作直線AM的平行線交直線BC于點Q，若以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；②連接AC，當直線AM與直線BC的夾角等于.∠ACB的2倍時，請直接寫出點M的坐標.10如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(1)求該拋物線的解析式；(2)若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M，求切點M的坐標；(3)若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.11如圖1，拋物線y=ax2+bx+3a≠0(1)求拋物線和直線BC的表達式；(2)點P是拋物線上的一個動點.①如圖1，若點P在第一象限內，連接PA，交直線BC于點D.設△PDC的面積為S?,△ADC的面積為S2,求②如圖2，拋物線的對稱軸1與x軸交于點E，過點E作EF⊥BC，垂足為F.點Q是對稱軸1上的一個動點，是否存在以點E，F，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求出點P，Q的坐標；若不存在，請說明理由.12如圖，拋物線y=ax(1)求拋物線的解析式.(2)拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D,直線BE交AD于點E,若直線BE將△ABD的面積分為1:2兩部分,求點E的坐標.(3)P為拋物線上的一動點，Q為對稱軸上動點，拋物線上是否存在一點P，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.13在平面直角坐標系中，拋物線y=?x(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1.若點P是第一象限內拋物線上的一動點.當點P到直線BC的距離最大時，求點P的坐標；(3)如圖2，若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.14將拋物線y=ax2a≠0向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線H:(1)求拋物線H的表達式；(2)如圖1，點P在線段AC上方的拋物線H上運動(不與A，C重合)，過點P作PD⊥AB,垂足為D,PD交AC于點E.作PF⊥AC,垂足為F,求△PEF的面積的最大值；(3)如圖2，點Q是拋物線H的對稱軸l上的一個動點，在拋物線H上，是否存在點P，使得以點A，P，C，Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由.1解:(1∵y=?x2+bx+c與x軸交于(-3,0)、B(1,0),∴拋物線的解析式為y=?故答案為：y=?(2)如圖1中,連接OE.設.Em?m2?2m+3.∴當△AEC的面積最大時，四邊形AECH的面積最大，∵==?∵?3∴E(3)存在.因為點Q在拋物線上EF是平行四邊形的邊，觀察圖象可知，滿足條件的點Q的縱坐標為±15對于拋物線y=?x2?2x+3,當y=154時，?x2?2x+3=∴當y=?154時，?x2?2x+3=?154,解得x=?2±3122解:(1)把點A?394代入y=ax2,(2)設直線l的解析式為y=kx+b,把A、C點坐標代入,則有{94=?3k+b∴直線l的解析式為y=?12x+34,令x=0,得到y=34,∴C03∴MBMC=∴MB==MCA,∴MC2=MA·MB.(5)如圖2中，一共有3種情況，符合題意.∵OC為一邊且頂點為O，C，P，D的四邊形是平行四邊形,∴PD∥OC,PD=OC,∴設D∴PD=∣14t∴∣整理得：t2+2t?6=0或解得t=?1?7或?1+∴P?1?72+或(-2,1).3解:(1)由題意得:{?b2a

∴拋物線的函數表達式為：y=?(2)過點D作DE⊥x軸于E,交BC于G,過點C作CF⊥ED交ED的延長線于F,如圖1所示:∵點A的坐標為(-2,0),點C的坐標為(0,6),∴OA=2,OC=6,∴S△AOC當y=0時,?34x2+3∴直線BC的函數表達式為：y=?∵點D的橫坐標為m(1<m<4),∴點D的坐標為:(m,?34m∴DG=?∴=?解得:m?=1(不合題意舍去),m?=3,∴m的值為3;(3)由(2)得:m=3,?34m2+32m+6=?①當N在x軸上方時，如圖2所示，有M?和M?兩種情況:∵四邊形BDNM是平行四邊形,∴DN∥BM,∴DN∥x軸,∴點D與點N關于直線x=1對稱,∴N?1154②當N在x軸下方時，如上圖所示，有M3和M∴DM=BN,DM‖BN,∴∠DMB=∠MBN,∴點D與點N的縱坐標互為相反數，∵點D3154將y=?154代入y=?3=?154,當x=1?14時，則設M3點的坐標為(m,0),又∵DB(4,0):m+42=3+1?∴M3當x=1+14時，則同理可得：M4綜上所述,點M的坐標為(8,0)或(0,0)或(14,0)或4.解:(1)∵拋物線y=ax2?2x+c∴拋物線的解析式為y=∵直線y=kx+b經過A(0,-3)、B(3,0)兩點,∴{3k+b=0b=?3,∴直線AB的解析式為y=x-3,(2)存在，一共分兩種情況，如圖1，四邊形CEM1N1∵y=∴拋物線的頂點C的坐標為(1,-4),∵CE∥y軸,∴E(1,-2),∴CE=2,①若點M在x軸下方，四邊形CEM1N1為平行四邊形，則CE=M1N1∴?a2+3a=2,解得：a=2,a=1②若點M在x軸上方，四邊形CEN2M2為平行四邊形，則CE=M2N2,解得：a=3+∴綜合可得M點的坐標為(2?1或(3)如圖2,作PG?x軸交直線AB于點G，設Pmm2∴PG=m?3?∴=?32m?322+2785.解:(1)將點A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+2∴對稱軸x=1;(2).設點D(1,y),∵C(0,2),B(3,0),∴CD∴CD2=BD2,∴(2-y)2+1=4+y2,∴y=(3).如圖:過點E作.EQ?y軸于點Q，過點F作直線FR?y軸于R,∵E(x,y),C(0,2),F(1,1),∴∴S△CEF∵y=?∴當x=74時，面積有最大值4948,此時(4)存在點M使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，設N(1,n),M(x,y),且已知B(3,0),C(0,2)①四邊形CMNB是平行四邊形時,CM∥NB,CB∥MN,由平行四邊形中心點坐標公式得：1+0∴x=?2,∴M②四邊形CNBM是平行四邊形時,CN∥BM,CM∥BN,由平行四邊形中心點坐標公式得：1+x2③四邊形CNMB是平行四邊形時,CB∥MN,NC∥BM,由平行四邊形中心點坐標公式得：1+32=綜上所述:M(2,2)或M4?106解:(1)在y=?1把A(4,0),B(0,2),代入y=?得：{c=2?1∴拋物線的解析式為y=?(2)如圖1，過點B作x軸得平行線交拋物線于點E，過點D作BE的垂線，垂足為F，交AB于點G∵BE∥x軸,∴∠BAC=∠ABE∵∠ABD=2∠BAC,∴∠ABD=2∠ABE即∠DBE+∠ABE=2∠ABE∴∠DBE=∠ABE,∴∠DBE=∠BAC設D點的坐標為x?則F點的坐標是x又∵F點縱坐標和B點縱坐標相同，為2，∴?14x∴點D的坐標為(2,3)(3)當BO為邊時,OB∥EF,OB=EF,如圖2所示,有3種情況，設Em?12m+2∴當BO為對角線時，OB與EF互相平分，如圖3，有2種情況，符合題意：過點O作OF∥AB,直線OF:y=?12x交拋物線于點F52+2取BO的中點M,則M(0,1)由題意得,M是E?F?的中點，也是E?F?的中點，由中點坐標公式可以求出：E422?23?2,E5?22?23+27.解:(1)在y=?34x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=4,∴A(4,0),B(0,3),將A(4,0),B(0,3)分別代入拋物線.y=?x2+bx+c∴拋物線的函數表達式為：y=?(2)存在.∵△BDE和△ACE相似,∠BED=∠AEC∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE①當△BDE∽△ACE時,如圖1,∠BDE=∠ACE=90°,此時BD∥AC，此時D點縱坐標為3，代入二次函數解析式，可得D②當△DBE∽△ACE時,∠BDE=∠CAE,如圖2所示,過點B作BH⊥CD于H∴∠BHD=90°,∴tD∴BH=x,DH=?∴x?x2+13綜上所述，點D的坐標為1343或如圖2，∵四邊形DEGF是平行四邊形∴DE‖FG,DE=FG設Dm?m2+134m+3即:(m-n)(m+n-4)=0,∵m-n≠0∴m+n-4=0,即:m+n=4,∴n=4?m過點G作GK?CD于K,則GK∥AC,∴∠EGK=∠BAO∴即:GK·AB=AO·EG,∴5(n-m)=4EG,即：EG=∴DEGF周長=2DE+EG=2∵--2<0,∴當m=34時，∴?DEGF周長最大值=898,此時當E，G互換時，結論也成立，此時G343916,綜上所述.8.解:(1)∵二次函數y=?x2+bx+c的圖象交x軸于點∴{∴二次函數的表達式為y=?(2)如圖1,連接AC,AP,PC,過點P作PE?x軸，交AC于點E,由點A(-4,0),點C(0,4),可得直線AC的解析式為：y=x+4,設P則PE=?∴當x=?2時，S△PAC此時P點的坐標是?2(3)存在點Q，使A，B，C，Q四點構成平行四邊形，如下三種情況，理由：①以AB為邊時,有Q1和Q2兩種情況:∵CQ∥AB,CQ=AB=5∵C(0,4),Q(-5,4)或(5,4),②以AB為對角線時，有Q3一種情況：CQ必過線段AB中點，且被AB平分，即：AB的中點也是CQ的中點,∵A(-4,0),B(1,0),∴線段AB中點坐標為?3由平行四邊形中心點坐標公式可得：a+02b+42綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為Q(-5，4)或(5，4)或(-3,-4).當AB為對角線時，解法二：過點Q作QM⊥x軸于點M,則△AQM≌△BCO,則AM=BO=1,QM=CO=4,∴OM=OA-AM=3,∴∴Q(-3,-4),綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為Q(-5，4)或(5，4)或(-3,-4).9.解:(1)當x=0時,y=x-5=-5,則C(0,-5),當y=0時,x-5=0,解得x=5,則B(5,0),把B(5,0),C(0,-5)代入y=ax2+6x+c得：{∴拋物線解析式為y=?(2)①令y=0,解方程?x∴△OCB為等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵AM⊥BC,∴△AMB為等腰直角三角形,∴AM=∵以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，AM‖PQ,∴PQ=AM=2作PD⊥x軸交直線BC于D,則∠PDQ=4∴PD=設Pm①.當P點在直線BC上方時，P1符合題意PD=?解得m?=1(舍去),m?=4,②.當P點在直線BC下方時,P2和P3符合題意,PD=m?5?解得m綜上所述，P點的橫坐標為4或5+412或②.如圖2,作AN⊥BC于N,NH⊥x軸于H,作AC的垂直平分線交BC于M?,交AC于E,∵M?A=M?C,∴∠ACM?=∠CAM?,∴∠AM?B=2∠ACB,∵△ANB為等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,∴N(3,-2),易得AC的解析式為y=5x-5，E點坐標為12?5把E12?52代入得?110得：{x=136y=?在直線BC上作點M?關于N點的對稱點M?，則∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,設M?(x,x-5),∵N3?2,10.解:(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入拋物線解析式得：{9a+3b+c=0a?b+c=0c=?3解得：{(2)設直線BC解析式為y=kx-3,把B(-1,0)代入得:-k-3=0,即k=-3,∴直線BC解析式為y=-3x-3,∵以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M∴AM⊥BC∴設直線AM解析式為y=把A(3,0)代入得:1+m=0,即m=-1,∴直線AM解析式為y=13x?1,聯立得：{y=?3x?3y=13(3)以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形時，只有BC為邊一種情況，易知P到x軸的距離和CO的值相等，等于3，則分兩種情況討論，如下圖2：①當P在x軸的下方，則P點的縱坐標為-3，則.x2?2x-3=-3,解得:x1=0(舍去),x2=2,此時P(2,-3)②.當P在x軸的上方，則P點的縱坐標為3，則.x2?2x-3=3,解得:綜上所述，存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，且P的坐標為：1+73或11.解:(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：{∴拋物線的表達式為y=?x2+2x+3,∴點C坐標為(0,3),把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+n得:{3k+n=0(2)①∵PA交直線BC于點D,∴設點D的坐標為(m,-m+3),設直線AD的表達式為y=k?x+b?,∴{?k∴直線AD的表達式，y=∴聯立得：?m+3m+1x+?m+3解得x1=4mm+1或x∴DM‖PN,OM=m,ON==?m2+3mm+12整理得，t+1∵△≥0,∴(2t-3)2-4t(t+1)≥0,解得t?916,∴②存在,理由如下:如圖2,過點F作FG⊥OB于G,∵y=-x2+2x+3的對稱軸為x=1,∴OE=1,∵B(3,0),C(0,3)∴OC=OB=3,又∵∠COB=90°,∴△OCB是等腰直角三角形,∵∠EFB=90°,BE=OB-OE=2,∴△EFB是等腰直角三角形,∴FG=GB=EG=1,∴點F的坐標為(2,1),第一種情況:當EF為邊時,∵四邊形EFPQ為平行四邊形,∴QE=PF,QE∥PF∥y軸,∴點P的橫坐標與點F的橫坐標同為2，當x=2時,.y=?∴點P的坐標為(2,3),∴QE=PF=3-1=2,點Q的坐標為(1,2),根據對稱性當P(0,3)時,Q(1,4)時,四邊形EFQP也是平行四邊形.第二種情況：當EF為對角線時，如圖2中的P?EQ?F，∵四邊形PEQF為平行四邊形,∴QE=PF,QE∥PF∥y軸,同理求得:點P的坐標為(2,3),∴QE=PF=3-1=2,點Q的坐標為(1,-2);綜上,點P的坐標為(2,3)時,點Q的坐標為(1,2)或(1,-2),P(0,3)時,Q(1,4).12.解:(1)∵拋物線y=ax∴設拋物線解析式為:y=a(x-1)(x-3),∵拋物線y=a(x-1)(x-3)(a≠0)的圖象經過點C(0,6),∴6=a(0-1)(0-3),∴a=2,∴拋物線解析式為：y=2x?1x?3∴頂點M的坐標為(2,-2),∵拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，∴點N(2,2),設直線AN解析式為:y=kx+b,由題意可得：{0=k+b2=2k+b,∴直線AN解析式為:y=2x-2,聯立方程組得：{y=2x?2y=2x∴點D(4,6),∴設點E(m,2m-2),∵直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，∴S△ABE=∴12×2×∴m=2或3,∴點E(2,2)或(3,4);(3)存在，分兩種情況討論：①.若AD為平行四邊形的邊，∵以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴AD=PQ,∴xD-xA=xP-xQ或xD-xA=xQ-xP,∴xp=4-1+2=5或xp=2-4+1=-1,∴點P坐標為(5,16)或(-1,16);②.若AD為平行四邊形的對角線，∵以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴AD與PQ互相平分,∴∴xp=3,∴點P坐標為(3,0),綜上所述:當點P坐標為(5,16)或(-1,16)或(3,0)時，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形.13解:(1)將A的坐標(-1,0),點C的坐(0,5)代入y=?x2+bx+c得：{0=?1?b+c5=c解得(2)過P作PD⊥x軸于D,交BC于Q,過P作PH⊥BC于H,如圖1:在y=?x2+4x+5中，令y=0得∴OB=OC,△BOC是等腰直角三角形,∴∠CBO=45°,∵PD⊥x軸,∴∠BQD=45°=∠PQH,∴△PHQ是等腰直角三角形，∴PH=∴當PQ最大時,PH最大,設直線BC解析式為y=kx+5,將B(5,0)代入得:0=5k+5,∴k=-1,∴直線BC解析式為y=-x+5,設Pm?m2+4m+5∴當m=52時，PQ最大為254(3)存在，理由如下：拋物線y=?x2+4x+5對稱軸為直線x