期中易錯題壓軸題專項復習【23大題型】（考試范圍：第16~18章）【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 1【考點1二次根式】 1【考點2根據二次根式的性質化簡】 2【考點3二次根式的乘除】 2【考點4二次根式的加減】 3【考點5一元二次方程】 3【考點6一元二次方程的解法】 3【考點7一元二次方程根的判別式】 4【考點8一元二次方程根與系數的關系】 5【考點9一元二次方程的應用】 5【考點10勾股定理與網格】 6【考點11利用勾股定理求值】 7【考點12趙爽弦圖】 9【考點13勾股定理逆定理的應用】 11【考點14勾股定理的應用】 12【壓軸篇】 13【考點15化簡含字母的二次根式】 13【考點16求立體圖形的最短路徑問題】 13【考點17利用一元二次方程求最值】 14【考點18利用一元二次方程的解求參數取值范圍】 16【考點19利用一元二次方程的解法解特殊方程】 16【考點20利用勾股定理構造圖形解決問題】 17【考點21圖形上與已知兩點構成直角三角形的點】 19【考點22多結論問題】 20【考點23新定義問題】 21【易錯篇】【考點1二次根式】【例1】（24-25八年級·福建莆田·期中）已知n是正整數，28n是整數，則n的最小值是(

)A．0 B．2 C．3 D．7【變式1-1】（24-25八年級·廣東河源·期中）若二次根式x?2024x在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（

A．x>2024 B．x≥2024 C．x<2024 D．x≤2024【變式1-2】（24-25八年級·浙江舟山·期中）當x＝－1時，二次根式6?3x的值為.【變式1-3】（24-25八年級·河南洛陽·階段練習）已知y=2x?1+1?2x+2，那么xy=．【考點2根據二次根式的性質化簡】【例2】（24-25八年級·北京順義·期中）如果x?2x2?4=2?x【變式2-1】（24-25八年級·甘肅蘭州·期中）適合2a?32=6?2a的正整數aA．13 B．14 C．15 D．16【變式2-2】（24-25八年級·四川成都·期中）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡：a2+b【變式2-3】（24-25八年級·上海·期中）將x?6x【考點3二次根式的乘除】【例3】（24-25八年級·山東煙臺·期末）幻方是一種中國傳統游戲，它是將從一到若干個數的自然數排成縱橫各為若干個數的正方形，使在同一行、同一列和同一對角線上的幾個數的和都相等．類比幻方，我們給出如圖所示的方格，要使方格中橫向、縱向及對角線方向上的實數相乘的結果都相等，則數值A+B+C+D=．AB5510C210D【變式3-1】（24-25八年級·山東煙臺·期中）計算3+22024【變式3-2】（24-25八年級·河北唐山·期中）二次根式12，12【變式3-3】（24-25八年級·江西吉安·期末）學習了a2=a小亮：解：原式=a+1?a=1；小芳：解：原式=a+1?a∵a>1，∴原式=a+a?1=2a?1，(1)________的解法是不正確的；(2)化簡：ab?ba?ab【考點4二次根式的加減】【例4】（24-25八年級·江西萍鄉·期末）若a=1003+997，b=1001+999，【變式4-1】（24-25八年級·河北唐山·期末）下列二次根式中，可與12進行合并的二次根式是（

）A．3 B．6 C．18 D．24【變式4-2】（24-25八年級·江蘇南京·期末）已知x=23?1，則代數式x【變式4-3】（24-25八年級·湖北武漢·期末）已知xy=2,x+y=4，則xy+y【考點5一元二次方程】【例5】（24-25八年級·河南新鄉·期中）將一元二次方程4x2?1=5x化成一般形式后，常數項為?1A．4 B．?4 C．5 D．?5【變式5-1】（24-25八年級·寧夏銀川·期中）已知方程m?3x|m?1|?bx?1=0是關于x的一元二次方程，則m【變式5-2】（24-25八年級·重慶榮昌·期中）若m是方程x2+x?1=0的一個根，則2024?2mA．2025 B．2024 C．2023 D．2022【變式5-3】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）寫一個一元二次方程使它有一個解為1，另一個解為2，并且二次項的系數為1，這個方程是．【考點6一元二次方程的解法】【例6】（24-25八年級·河北唐山·期中）關于x的方程x(x?1)=3(x?1)，下列解法完全正確的是（

）甲乙丙丁兩邊同時除以(x?1)得到x=3．移項得：x(x?1)?3(x?1)=0，∴(x?1)(x?3)=0，∴x?1=0或x?3=0，∴x1=1，整理得x∵a=1，b=?4，c=?3，∴Δ∴x=∴x1=2+7整理得x配方得：x2∴(x?2)2∴x?2=±1，∴x1=1，A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁【變式6-1】（24-25八年級·河南新鄉·期中）用適當的方法解方程：(1)2x?12(2)2x(3)xx?4(4)xx+6【變式6-2】（24-25八年級·云南昭通·期中）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2?13x+42=0的兩根，則該等腰三角形的周長是（A．19 B．20 C．18 D．19或20【變式6-3】（24-25八年級·江蘇宿遷·期中）若一元二次方程ax+n2+p=0的兩個根為x1=1，x【考點7一元二次方程根的判別式】【例7】（24-25八年級·浙江寧波·期中）已知關于x的一元二次方程：p+1x2+2qx+p+1=0（其中p、①x=?1必是方程p+1②x=0可能是方程x2③方程px④若x1,x2為方程px2+qx+1=0【變式7-1】（24-25八年級·河南洛陽·期中）關于x的方程k?12x2+2k+1A．k>14且k≠1 C．k>14 D．k≥【變式7-2】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：無論k為何值，方程總有兩個實數根；(2)若該方程有一個實數根大于3，求k的取值范圍．【變式7-3】（24-25八年級·江蘇揚州·期中）已知a、b、c是△ABC的三邊，關于x的方程cx2+m+bx2?m【考點8一元二次方程根與系數的關系】【例8】（24-25八年級·四川內江·階段練習）非零實數a，b滿足a2?a?2023=0，b2?b?2023=0，則【變式8-1】（24-25八年級·山東濟南·期中）碩碩和鵬鵬一起解一道一元二次方程題，碩碩看錯了一次項系數，解得方程的兩個根為2和?3，鵬鵬看錯了常數項，解得方程的兩個根為1和4．則原方程正確的解為（

）A．x1=2，x2=3 C．x1=6，x2=?1 【變式8-2】（24-25八年級·福建福州·期中）已知a，b是方程x2+x?2025=0的兩個實數根，則a2【變式8-3】（24-25八年級·湖北武漢·期中）已知a，b是方程x2?x?1=0的兩根，則代數式2aA．19 B．20 C．14 D．15【考點9一元二次方程的應用】【例9】（2024·重慶開州·一模）某工程隊采用A，B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了m+25小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．【變式9-1】（24-25八年級·江蘇無錫·階段練習）小明鍛煉健身，從A地勻速步行到B地用時25分鐘．若返回時，發現走一小路可使A、B兩地間路程縮短200米，便抄小路以原速返回，結果比去時少用2.5分鐘．(1)求返回時A、B兩地間的路程；(2)若小明從A地步行到B地后，以跑步形式繼續前進到C地（整個鍛煉過程不休息）．據測試，在他整個鍛煉過程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，跑步平均每分鐘消耗熱量10卡路里；鍛煉超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時間內平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里．測試結果，在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路里熱量．問：小明從A地到C地共鍛煉多少分鐘．【變式9-2】（24-25八年級·河南新鄉·期中）某商店以每件40元的價格購進了一批熱銷商品，出售價格經過兩個月的調整，從每件50元上漲到每件72元，此時每月可售出180件商品：(1)求該商品價格的平均月增長率；(2)因某些原因，商家需盡快將這批商品售出，決定降價出售，經過市場調查發現：售價每降低1元，每個月多賣出10件，則商家在降價的同時，為保證每月的利潤達到6000元，應將售價定為多少元？【變式9-3】（24-25八年級·江蘇揚州·期中）某人工智能科技體驗館在十一假期間為學生們制訂了豐富多彩的體驗活動，團體票收費標準為：如果人數不超過10人，人均費用為240元；如果人數超過10人，每增加1人，人均費用降低5元，但人均旅游費用不得低于170元．(1)若有14人參加旅游，人均費用是元．(2)某興趣小組的學生們去參加體驗活動，團體票的費用共3600元，求參加活動的學生人數．【考點10勾股定理與網格】【例10】（24-25八年級·江蘇淮安·期末）某班學生在勞動實踐基地用一塊正方形試驗田種植蘋果樹，同學們將試驗田分成7×7的正方形網格田，每個小正方形網格田的邊長為1米，如圖所示，為了布局美觀及蘋果樹的健康成長，同學們要把蘋果樹種植在格點處（每個小正方形的頂點叫格點），且每兩棵蘋果樹之間的距離都要大于2米，則這塊試驗田最多可種植棵蘋果樹．【變式10-1】（24-25八年級·山西臨汾·期末）如圖，在6×6的網格圖中，每個小方格的邊長為1，請在給定的網格中按下列要求畫出圖形．(1)畫一個三邊長分別為4，5，13的三角形；(2)畫一個腰長為10的等腰直角三角形．【變式10-2】（24-25八年級·河南駐馬店·期末）如圖，在邊長為1的小正方形網格中，若△ABC和△BCD的頂點都在小正方形網格的格點上，則∠ACB+∠DBC=（

）A．45° B．75° C．120° D．135°【變式10-3】（24-25八年級·安徽安慶·期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，△ABC的頂點A，B，C均在格點上．若AD⊥BC于點D，則線段AD的長為【考點11利用勾股定理求值】【例11】（24-25八年級·浙江紹興·期末）如圖，在長方形ABCD中，AB=3，BC=4，將△ABC沿AC折疊，點B落在B′處，AD與B′C交于E，則CEA．134 B．72 C．258【變式11-1】（24-25八年級·江蘇蘇州·期末）勾股定理是數學史上的一顆玻璃珠．被譽為清代“歷算第一名家”的名數學家梅文鼎先生（圖①）在《梅氏叢書輯要》（由其孫子梅瑴成編纂）的“勾股舉隅”卷中給出了多種勾股定理的證法．其中一種是在圖②的基礎上，運用“出入相補”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ABDE，ACFG，BCHI均為正方形，HI與AE相交于點J，可以證明點D在直線HI上．若△AHJ，△DEJ的面積分別為2和6，則直角邊AC的長為（

）A．2 B．3 C．5 D．2【變式11-2】（24-25八年級·陜西西安·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC,BD交于點O．若AD=1,BC=4，則AB2

【變式11-3】（24-25八年級·四川達州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足為E，AE=CE，連接AC，若DE=5(1)AC的長；(2)四邊形ABCD的面積．【考點12趙爽弦圖】【例12】（24-25八年級·江蘇宿遷·期末）綜合實踐我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創造了“趙爽弦圖”．他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數恒等式，嚴密又直觀，為中國古代“形數統一”、代數和幾何緊密結合的獨特風格樹立了一個典范．在一節八上數學復習課上，老師為了弘揚中國的數學文化，和同學們開啟對“趙爽弦圖”的深度研究．(1)類比“弦圖”，證明定理小明同學利用四張全等的直角三角形紙片（如圖1），證明勾股定理．因為大正方形的面積可以看成4個直角三角形與1個邊長為b?a的小正方形組成，即面積表示為：4×12ab+善于思考的小亮同學把一個直立的火柴盒放倒（如圖2），聰明的他發現用不同的方法計算梯形ABCD的面積，也可證明勾股定理，請你和他一起證明．(2)利用“弦圖”，割拼圖形如圖3，老師給出由5個小正方形組成的十字形紙板，讓同學們嘗試剪開，使得剪成的若干塊能夠拼成一個無縫的大正方形，可以怎么剪？請你畫出示意圖．(3)構造“弦圖”，應用計算如圖4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點D是BC中點，過點C作CE⊥AD，垂足為點F，交AB于點E，若BE=3，求AB的長．【變式12-1】（24-25八年級·江蘇南京·期末）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD．連接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面積為2a，陰影部分的面積為2b．則AN的長度為（

）A．a+b B．a2+b2 C．【變式12-2】（24-25八年級·四川成都·期末）如圖1，將四個全等的直角三角形拼成了一個四邊形ABEC，然后將前面四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形如圖2，該正方形的面積為5；再將其四個全等的直角三角形拼成了圖3形狀，圖3的外輪廓周長為4+45，則圖1中的點C到AB的距離為【變式12-3】（24-25八年級·浙江金華·期末）圖1是由5個全等的直角三角形與一個小正方形組成，延長DK交AB、AC分別于點M、N，延長EH交BD于點P（如圖2）．（1）若Rt△ABF的面積為5，小正方形FGHK的面積為9，則AB＝（2）如圖2，若S四邊形AEHNS四邊形BMHP=k，則【考點13勾股定理逆定理的應用】【例13】（24-25八年級·黑龍江雙鴨山·期末）兩艘輪船從同一港口同時出發，甲船時速40海里，乙船時速30海里，兩個小時后，兩船相距100海里，已知甲船的航向為北偏東46°，則乙船的航向為（

）A．南偏東44° B．北偏西44° C．南偏東44°或北偏西44° D．無法確定【變式13-1】（24-25八年級·黑龍江大慶·期末）筆直的河流一側有一旅游地C，河邊有兩個漂流點A，B．其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．則原路線AC＝【變式13-2】（24-25八年級·遼寧鞍山·期末）如圖，學校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地ABCD，測得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且

A．48m2 B．114m2 C．【變式13-3】（24-25八年級·吉林四平·期末）如圖①是超市的兒童玩具購物車，圖②為其側面簡化示意圖．測得支架AC=24cm，CB=18cm，兩輪中心的距離(1)連接AB，則△ABC是__________三角形，請寫出推理過程．(2)點C到AB的距離是__________cm．【考點14勾股定理的應用】【例14】（24-25八年級·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰擴灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之稱．現為擴建開挖某段干渠，如圖，欲從干渠某處A向C地、D地、B地分流（點C，D，B位于同一條直線上），修三條筆直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再從D地修了一條筆直的水渠DH與支渠AB在點H處連接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，(1)求支渠AD的長度．（結果保留根號）(2)若修水渠DH每千米的費用是0.7萬元，那么修完水渠DH需要多少萬元？【變式14-1】（24-25八年級·福建福州·期中）《九章算術》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它的頂端恰好到達池邊的水面，求蘆葦的長度．（1丈＝10尺）解決下列問題：（1）示意圖中，線段AF的長為尺，線段EF的長為尺；（2）求蘆葦的長度．【變式14-2】（24-25八年級·安徽阜陽·期中）超速行駛是引發交通事故的原因之一．上周末，小聰等三位同學在某路段嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100m的點P處．這時，一輛轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO=60°，∠BPO=45°(1)求AB的距離，（3取1.73）(2)試判斷此車是否超過了80km/h【變式14-3】（24-25八年級·安徽安慶·單元測試）由于大風，山坡上的一棵樹甲被從點A處攔腰折斷，如圖所示，其樹恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB=4米，BC=13米，兩棵樹的株距（兩棵樹的水平距離）為12米，請你運用所學的知識求這棵樹原來的高度．【壓軸篇】【考點15化簡含字母的二次根式】【例15】（24-25八年級·上海靜安·期中）已知xy<0，化簡二次根式?xy2yA．x B．?x C．?x D．【變式15-1】（24-25八年級·湖北黃石·期中）已知a<0，則二次根式?a2bA．ab B．a?b C．?ab【變式15-2】（24-25八年級·上?！て谥校┮阎猘>0，那么?ab可化簡為（

A．b?ab B．?1bab C．【變式15-3】（24-25八年級·北京順義·期末）當m<0時，化簡二次根式mnnmA．nmn? B．?nmn? C．【考點16求立體圖形的最短路徑問題】【例16】（24-25八年級·四川達州·期末）如圖，桌上有一個圓柱形盒子（盒子厚度忽略不計），高為10cm，底面周長為12cm，在盒子外壁離上沿2cm的點A處有一只螞蟻，此時，盒子內壁離底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，螞蟻沿盒子表面爬到點A．12cm B．23cm C．6【變式16-1】（24-25八年級·河南周口·期末）如圖①所示的正方體木塊的棱長為2cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②所示的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（

A．2+1cm B．2+3cm 【變式16-2】（24-25八年級·河南南陽·期末）如圖，教室墻面ADEF與地面ABCD垂直，點P在墻面上，若PA=13米，AB=2米，點P到AF的距離是3米，一只螞蟻要從點P爬到點B，它的最短行程是（

A．5 B．18 C．13 D．3【變式16-3】（24-25八年級·陜西西安·期末）如圖，一只螞蟻從長為5cm、寬為3cm、高為10cm的長方體紙箱的A點沿紙箱表面爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是cm．【考點17利用一元二次方程求最值】【例17】（24-25八年級·江蘇揚州·階段練習）閱讀理解：對于一個關于x的二次三項式ax2+bx+ca≠0，除了可以利用配方法求該多項式的取值范圍外，愛思考的小川同學還想到了其他的方法，比如先令ax例：求x2解：令x2+2x+5=y，∴x2+2x+5?y=0請根據上述材料，解答下列問題：(1)求?2x(2)若關于x的二次三項式x2+ax+3（a為常數）的最小值為?6，求【變式17-1】（24-25八年級·浙江金華·期中）當a=，b=時，多項式a2?2ab+2b【變式17-2】（24-25八年級·安徽安慶·專題練習）閱讀材料：我們都知道a2+2ab+于是，?2=?2=?2=?2x?10又因為a2≥0，所以，所以，?2x2+40x+5如圖，某農戶準備用長34米的鐵柵欄，一邊利用墻，其余邊用鐵柵欄圍成長方形羊圈ABCD和一個邊長為1米的正方形狗屋CEFG．設AB=x米．(1)請用含x的代數式表示BC的長___________（直接寫出結果）；(2)設山羊活動范圍即圖中陰影部分的面積為S平方米，①請用含x的代數式直接表示出S，S=___________；②山羊的活動范圍的面積S能否達到95平方米？能，就求出x的值，不能請說明理由．(3)求出山羊活動范圍面積S的最大值．【變式17-3】（24-25八年級·浙江·專題練習）已知x，y為實數，且滿足x2?xy+4y2=4，記u=x2+xy?4【考點18利用一元二次方程的解求參數取值范圍】【例18】（24-25八年級·浙江溫州·期末）已知關于x的方程x2?6x+(a?2)|x?3|+9?2a=0有且僅有兩個不相等的實根，則實數A．a=?2 B．a>0C．a=?2或a>0 D．a≤?2或a>0【變式18-1】（2024·浙江紹興·中考真題）若關于x的方程1?m2x2+2mx?1=0【變式18-2】（24-25八年級·浙江金華·期中）若實數a，b滿足12a?ab+bA．a≤?2 B．a≥4 C．a≤?2或a≥4 D．?2≤a≤4【變式18-3】（24-25八年級·安徽合肥·期末）已知關于x的一元二次方程x2+ax+b=0有兩個根x1，x2，且滿足1<x【考點19利用一元二次方程的解法解特殊方程】【例19】（24-25八年級·云南昆明·期末）閱讀下面的材料，回答問題：要解方程x4?4x解：設x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變為當y1=1時，x2當y2=3時，x2∴原方程有四個根x1=1，x2=?1，我們把以上這種解決問題的方法叫做換元法．任務：(1)上述解方程的過程體現的數學思想主要是（）A．分類討論思想

B．轉化思想

C．數形結合思想

D．公理化思想(2)仿照上面的方法，解方程x2【變式19-1】（24-25八年級·安徽六安·階段練習）關于x的方程ax+k2+2023=0的解是x1=?2，x2=1（a問題：（1）關于x的方程ax+3+k2+2023=0的根是（2）關于x的方程ax?k+22+2023=0的根為【變式19-2】（24-25八年級·河南洛陽·期中）有人說“數學是思維的體操”，運用和掌握必要的“數學思想”和“數學方法”是學好數學的重要法寶．閱讀下列例題及其解答過程：例：解方程x2解：①當x≥0時，原方程為x2解得x1=?1（與x≥0矛盾，舍去），②當x<0時，原方程為x2解得x1=1（與x<0矛盾，舍去），所以原方程的根是x1=3，在上面的解答過程中，我們對x進行討論，從而化簡絕對值．這是解決數學問題的一種重要思想——分類討論．請仿照上述例題的解答過程，解方程：x2【變式19-3】（24-25八年級·江蘇揚州·期末）閱讀下列材料：為解方程x4?x2?6=0可將方程變形為x22?x2?6=0然后設x2=y，則x22=y2，原方程化為y2上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題轉化成簡單的問題．利用以上學習到的方法解下列方程：（1）x2（2）3x【考點20利用勾股定理構造圖形解決問題】【例20】（24-25八年級·廣東江門·期末）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，向常春在1994年構造發現了一個新的證法．如圖．【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請用a，b，c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理：S梯形ABCD=__________，S【知識運用】如圖2，河道上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距160米，C，D為兩個菜園（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD=70米，BC=50米，現在菜農要在AB上確定一個抽水點P，使得抽水點P到兩個菜園C，D的距離和最短，則該最短距離為__________米．【知識遷移】借助上面的思考過程，畫圖說明并求代數式x2+9+【變式20-1】（2024·貴州遵義·二模）已知a，b均為正數，且a2+b2，a2A．32ab B．ab C．12【變式20-2】（24-25八年級·山西晉中·期中）如圖（單位：cm），龍龍家購置了一臺圓形掃地機，計劃放置在屋子角落（衣柜、書柜與地面均無縫隙，衣柜不可移動）．若要這臺掃地機能從角落自由進出，則需拖動書柜，使圖中的x至少為．（結果保留根號）【變式20-3】（24-25八年級·河南鄭州·期末）2024年12月4日，我國傳統節日春節申遺成功．為慶祝這一喜訊，鄭州市新湖社區舉辦了名為“鄭好遇見，大美非遺”的創意文化市集，諸多非遺有關文化項目集中亮相．圖圖和涵涵在市集上買了一個年畫風箏，在試飛風箏過程中，他們想利用數學知識測量風箏的垂直高度．以下是他們測量高度的過程：①先測得放飛點與風箏的水平距離BD的長為8米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線AC的長為10米；③牽線放風箏的手離地面的距離AB為1.5米．已知A、(1)求風箏離地面的垂直高度CD；(2)在測高的過程中涵涵提出了一個新的問題：在手中剩余線僅剩7.5米的情況下，若想要風箏沿射線DC方向再上升9米，BD長度不變，能否成功呢？請你幫助解決涵涵提出的問題．【考點21圖形上與已知兩點構成直角三角形的點】【例21】（2024·福建·一模）點A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【變式21-1】（24-25八年級·吉林四平·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，動點P從點B出發沿射線BC以3cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒．(1)求BC邊的長；(2)當△ABP為直角三角形時，求t的值；(3)當△ABP為等腰三角形時，請直接寫出此時t的值．【變式21-2】（24-25八年級·安徽安慶·階段練習）點P在y軸上，A4,1、B1,4，如果△ABP是直角三角形，求點【變式21-3】（24-25八年級·四川·階段練習）如圖，在ΔABC中，AB=AC=20,BC=32，點D在線段BC上以每秒2個單位的速度從B向C移動，連接AD，當點D移動秒時，AD與ΔABC的邊垂直．【考點22多結論問題】【例22】（24-25八年級·浙江金華·階段練習）如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于D，DE⊥AB交AB的延長線于E，DF⊥AC于F，下列結論：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=3AD；正確的是（A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【變式22-1】（24-25八年級·浙江嘉興·期末）已知兩個關于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一個公共解2，且a≠c，b≠d，b≠0，d≠0．下列結論：①c?ab?d有唯一對應的值12；②a2【變式22-2】（24-25八年級·廣東茂名·期中）長方形ABCD中，點E是AD的中點，∠EBC的平分線交CD于點F，將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在BE上的點M處，分別延長BC,EF交于點N，下列四個結論：①DF=CF；②△BEN是正三角形；③BF⊥EN；④S△BEF其中正確個數有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式22-3】（24-25八年級·吉林長春·階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D為斜邊BC上的中點，點E，F分別在直角邊AB，AC上（不與端點重合），且BE=AF，連接DE、DF、EF．設BE=a，CF=b，EF=c．給出下面四個結論：①△DEF是等腰直角三角形②a+b=c③a2+b2【考點23新定義問題】【例23】（24-25八年級·湖北荊州·期末）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BM⊥AC，垂足為M①AB②AB，③以AC+BM，④1AB，1BC，其中正確的說法有．（填寫正確說法的序號）【變式23-1】（24-25八年級·湖南永州·期中）新定義：關于x的一元二次方程a1x?m2+k=0與a2x?m2+k=0稱為“同族二次方程”，如2x?32+4=0與3【變式23-2】（24-25八年級·江西撫州·階段練習）定義：我們把三角形某邊上高的長度與這邊中點到高的距離的比值稱為三角形某邊的“中偏度值”．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，則△ABC中AB邊的“中偏度值”為（

A．247 B．257 C．125【變式23-3】（24-25八年級·吉林長春·期中）定義：我們將a+b與a?例如：已知18?x?11?x=1因為18?x?11?x×(1)已知：20?x+①20?x?4?x②結合已知條件和第①問的結果，解方程：20?x+(2)代數式10?x+x?2中x的取值范圍是(3)計算：131

期中易錯題壓軸題專項復習【23大題型】（考試范圍：第16~18章）【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 1【考點1二次根式】 1【考點2根據二次根式的性質化簡】 3【考點3二次根式的乘除】 4【考點4二次根式的加減】 7【考點5一元二次方程】 8【考點6一元二次方程的解法】 9【考點7一元二次方程根的判別式】 12【考點8一元二次方程根與系數的關系】 16【考點9一元二次方程的應用】 18【考點10勾股定理與網格】 21【考點11利用勾股定理求值】 24【考點12趙爽弦圖】 28【考點13勾股定理逆定理的應用】 35【考點14勾股定理的應用】 38【壓軸篇】 42【考點15化簡含字母的二次根式】 42【考點16求立體圖形的最短路徑問題】 43【考點17利用一元二次方程求最值】 47【考點18利用一元二次方程的解求參數取值范圍】 51【考點19利用一元二次方程的解法解特殊方程】 53【考點20利用勾股定理構造圖形解決問題】 56【考點21圖形上與已知兩點構成直角三角形的點】 62【考點22多結論問題】 69【考點23新定義問題】 75【易錯篇】【考點1二次根式】【例1】（24-25八年級·福建莆田·期中）已知n是正整數，28n是整數，則n的最小值是(

)A．0 B．2 C．3 D．7【答案】D【分析】首先把28n進行化簡，然后根據28n是整數確定n的最小值．【詳解】解：∵28n=27n，且∴7n是個完全平方數，(完全平方數是能表示成一個整式的平方的數)∴n的最小值是7．故選：D．【點睛】此題主要考查了二次根式的定義，做題的關鍵是推導“7n是個完全平方數”．【變式1-1】（24-25八年級·廣東河源·期中）若二次根式x?2024x在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（

A．x>2024 B．x≥2024 C．x<2024 D．x≤2024【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，由題意得x?2024≥0且x≠0，據此即可求解，掌握二次根式和分式有意義的條件是解題的關鍵．【詳解】解：∵二次根式x?2024x∴x?2024≥0且x≠0，解得x≥2024，故選：B．【變式1-2】（24-25八年級·浙江舟山·期中）當x＝－1時，二次根式6?3x的值為.【答案】3【分析】直接將x的值代入進而化簡求出答案．【詳解】解：∵x=-1，∴6?3x=6?3×（?1）=9=3.故答案為3.【點睛】本題考查二次根式的性質與化簡，正確掌握二次根式的性質是解題關鍵．【變式1-3】（24-25八年級·河南洛陽·階段練習）已知y=2x?1+1?2x+2，那么xy=．【答案】1【分析】先根據二次根式的定義求出x的值，繼而可得出y的值，再代入求解即可．【詳解】解：由題意得出：2x?1≥01?2x≥0解得：x=1∴y=2∴xy故答案為：14【點睛】本題考查的知識點是二次根式的定義，比較基礎，熟記定義內容即可．【考點2根據二次根式的性質化簡】【例2】（24-25八年級·北京順義·期中）如果x?2x2?4=2?x【答案】?2≤x≤2/2≥x≥?2【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡，二次根式有意義的條件，根據二次根式的被開方數是非負數求解即可．【詳解】∵x?2∴2?x≥0，x+2≥0∴?2≤x≤2．故答案為：?2≤x≤2．【變式2-1】（24-25八年級·甘肅蘭州·期中）適合2a?32=6?2a的正整數aA．13 B．14 C．15 D．16【答案】B【分析】本題考查的是二次根式的非負性，先根據題意判斷出a的符號，求出正整數a的值，進而可得出結論．【詳解】解：∵2解得a≤3，∴正整數a的值為1，2，3，∴12故選：B．【變式2-2】（24-25八年級·四川成都·期中）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡：a2+b【答案】2b?2a【分析】本題考查了利用數軸判斷式子的正負、二次根式的性質，由數軸可得：?1<a<0<b<1，a>b，從而得出【詳解】解：由數軸可得：?1<a<0<b<1，a>∴a?b<0，∴a2故答案為：2b?2a．【變式2-3】（24-25八年級·上海·期中）將x?6x【答案】?【分析】本題考查了二次根式的知識；解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質，從而完成求解．根據二次根式的性質，得x<0，再根據二次根式的性質計算，即可得到答案．【詳解】解：根據題意，得?6∵?6≠0，∴?6∴x<0，∴x?故答案為：??6x【考點3二次根式的乘除】【例3】（24-25八年級·山東煙臺·期末）幻方是一種中國傳統游戲，它是將從一到若干個數的自然數排成縱橫各為若干個數的正方形，使在同一行、同一列和同一對角線上的幾個數的和都相等．類比幻方，我們給出如圖所示的方格，要使方格中橫向、縱向及對角線方向上的實數相乘的結果都相等，則數值A+B+C+D=．AB5510C210D【答案】3【分析】本題考查了數的規律探究，涉及考查一元一次方程的應用，二次根式的乘法．根據橫向、縱向及對角線方向上的實數相乘的結果都相等列出方程求解即可．【詳解】解：對角線方向上的實數相乘的結果為52根據方格中橫向、縱向及對角線方向上的實數相乘的結果都相等得，A×5×2=1010B×10×10=10105×10×C=10102×10×D=1010，解得∴A+B+C+D=25故答案為：35【變式3-1】（24-25八年級·山東煙臺·期中）計算3+22024【答案】3+2【分析】本題考查二次根式的乘法運算，逆用積的乘方以及平方差公式進行計算即可．【詳解】解：原式===3故答案為：3+【變式3-2】（24-25八年級·河北唐山·期中）二次根式12，12【答案】30、x+2、x【分析】根據最簡二次根式的定義判斷即可.【詳解】解：第一個根式不是最簡二次根式，因為被開方數的因式不是整數，第二個根式不是最簡二次根式，因為被開方數含有開的盡方的因數，第三個根式為最簡二次根式，第四個根式為最簡二次根式，第五個根式不是最簡二次根式，因為被開方數含有開的盡方的因數和因式，第六個根式為最簡二次根式，故答案為30【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，明確什么是最簡二次根式是解題關鍵.【變式3-3】（24-25八年級·江西吉安·期末）學習了a2=a小亮：解：原式=a+1?a=1；小芳：解：原式=a+1?a∵a>1，∴原式=a+a?1=2a?1，(1)________的解法是不正確的；(2)化簡：ab?ba?ab【答案】(1)小亮(2)ab+b【分析】本題考查乘法公式，二次根式的性質以及絕對值的化簡，根據給定條件正確運用相關性質進行化簡是解答本題的關鍵．（1）根據a>1得1?a<0，所以原式a+1?a（2）先根據乘法公式化簡得：ab?ba?ab=(ab)2?b2【詳解】（1）解：∵a>1，∴1?a<0，∴a+1?a∴小亮的解法是不正確的，故答案為：小亮；（2）解：原式=(ab)∵a<0，b<0，∴原式=ab+b．【考點4二次根式的加減】【例4】（24-25八年級·江西萍鄉·期末）若a=1003+997，b=1001+999，【答案】a＜b＜c【分析】利用平方法把三個數值平方后再比較大小即可．【詳解】解：∵a2=2000+21003×997，b2=2000+21001×999，c2=4004=2000+2×1002，1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．∴a＜b＜c．故答案為：a＜b＜c.【點睛】這里注意比較數的大小可以用平方法，兩個正數，平方大的就大．此題也要求學生熟練運用完全平方公式和平方差公式．【變式4-1】（24-25八年級·河北唐山·期末）下列二次根式中，可與12進行合并的二次根式是（

）A．3 B．6 C．18 D．24【答案】A【分析】本題考查了同類二次根式的定義，根據二次根式的性質把各個二次根式化簡，根據同類二次根式的定義判斷即可，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．【詳解】A、由12=23，則3與B、由12=23，則6與C、由12=23，18=32，則D、由12=23，24=26，則故選：A．【變式4-2】（24-25八年級·江蘇南京·期末）已知x=23?1，則代數式x【答案】5【分析】本題主要考查了完全平方公式、分母有理化、代數式求值等知識點，根據分母有理化化簡成為解題的關鍵．由分母有理化可得x=3+1，然后再對【詳解】解：∵x=2∴x=3故答案為：5．【變式4-3】（24-25八年級·湖北武漢·期末）已知xy=2,x+y=4，則xy+y【答案】2【分析】將二次根式化簡代值即可.【詳解】解：x所以原式42故答案為2【點睛】本題考查了二次根式的運算，將二次根式轉化為和已知條件相關的式子是解題的關鍵.【考點5一元二次方程】【例5】（24-25八年級·河南新鄉·期中）將一元二次方程4x2?1=5x化成一般形式后，常數項為?1A．4 B．?4 C．5 D．?5【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式．根據一元二次方程4x2?1=5x【詳解】解：將一元二次方程4x2?1=5x化成一般形式4x2故選：D．【變式5-1】（24-25八年級·寧夏銀川·期中）已知方程m?3x|m?1|?bx?1=0是關于x的一元二次方程，則m【答案】?1【分析】根據一元二次方程的定義得到未知數x的最高次數為2，即m?1=2且m?3≠0，再結合絕對值的性質解得m【詳解】解：∵方程m?3x|m?1|?bx?1=0∴m?1=2且m?3≠0解得：m=?1．故答案為：?1．【變式5-2】（24-25八年級·重慶榮昌·期中）若m是方程x2+x?1=0的一個根，則2024?2mA．2025 B．2024 C．2023 D．2022【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的根，代數式求值，根據題意可得m2【詳解】解：∵m是方程x2∴m2+m?1=0∴2024?2m故選：D．【變式5-3】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）寫一個一元二次方程使它有一個解為1，另一個解為2，并且二次項的系數為1，這個方程是．【答案】x【分析】本題考查一元二次方程，與一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程解的定義．根據一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義得到x?1x?2【詳解】∵一元二次方程使它的根為1，2，二次項的系數為1，∴x?1x?2整理得x2故答案為：x2故答案為：x2【考點6一元二次方程的解法】【例6】（24-25八年級·河北唐山·期中）關于x的方程x(x?1)=3(x?1)，下列解法完全正確的是（

）甲乙丙丁兩邊同時除以(x?1)得到x=3．移項得：x(x?1)?3(x?1)=0，∴(x?1)(x?3)=0，∴x?1=0或x?3=0，∴x1=1，整理得x∵a=1，b=?4，c=?3，∴Δ∴x=∴x1=2+7整理得x配方得：x2∴(x?2)2∴x?2=±1，∴x1=1，A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁【答案】C【分析】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，直接開方法，公式法，以及配方法，根據解一元二次方程的方法逐一判斷即可．【詳解】解：甲需要考慮x?1=0的情況，故甲錯誤；乙是因式分解法解方程，過程完全正確，故乙完全正確；丙是公式法解方程，過程中的錯誤為：c=?3，應該是3，故丙錯誤；丁是配方法解方程，過程完全正確，故丁完全正確．故選：C．【變式6-1】（24-25八年級·河南新鄉·期中）用適當的方法解方程：(1)2x?12(2)2x(3)xx?4(4)xx+6【答案】(1)x1=?2(2)x1=(3)x1=?1(4)x1=?4【分析】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程等知識點，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：2x?12∴2x?1∴2x?1+3?x即：x+23x?4解得：x1=?2，（2）解：2xΔ=∴x=?b±解得：x1=2+（3）解：xx?4∴xx?4∴x?4解得：x1=?1，（4）解：xx+6∴xx+6∴x∴x∴x+4解得：x1=?4，【變式6-2】（24-25八年級·云南昭通·期中）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2?13x+42=0的兩根，則該等腰三角形的周長是（A．19 B．20 C．18 D．19或20【答案】D【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是掌握三角形的三邊關系，等腰三角形的性質，要注意分情況討論求解．利用因式分解法求出x的值，再根據等腰三角形的性質分情況討論求解．【詳解】解：x2x?6x?7∴x?6=0或x?7=0，∴x1=6當6是腰時，三角形的三邊分別為6、6、7，能組成三角形，周長為19；當7是腰時，三角形的三邊分別為7、7、6，能組成三角形，周長為20；∴該等腰三角形的周長是19或20，故選：D．【變式6-3】（24-25八年級·江蘇宿遷·期中）若一元二次方程ax+n2+p=0的兩個根為x1=1，x【答案】x【分析】本題考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程ax+n+32+p=0的兩根x1、x2滿足關系式x1+3=1、x【詳解】解：∵方程ax+n2+p=0∴方程ax+n+32+p=0的兩根x∴x1故答案為：x1【考點7一元二次方程根的判別式】【例7】（24-25八年級·浙江寧波·期中）已知關于x的一元二次方程：p+1x2+2qx+p+1=0（其中p①x=?1必是方程p+1②x=0可能是方程x2③方程px④若x1,x2為方程px2+qx+1=0【答案】②③④【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式與一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．利用一元二次方程根的判別式可得q=±p+1【詳解】解：∵方程p+1x2+2qx+p+1=0∴Δ=2q2∴q=±p+1當q=p+1，原方程為：qx∵q≠0，∴x2+2x+1=0∴x=?1，∴x=?1是方程p+1當q=?p+1，即p+1=?q原方程為：?qx∵q≠0，∴x2?2x+1=0∴x=1，∴x=1是方程p+1綜上，x=?1不一定是方程p+1當x=0時，則02+q×0+p=0，即∵p+1≠0，∴p≠?1，∴p=0符合題意，∴x=0可能是方程x2由①知，當q=p+1，x=?1是方程q∴方程px∵x1,x當q=p+1時，方程px2+qx+1=0即px+1x+1∴x∵方程x2+qx+p=0為即x+1x+p∴x∵x同理，當q=?p+1時，方程px2即px?1x?1∴x∵方程x2+qx+p=0為即x?1x?p∴x∵x綜上，若x1,x2為方程px2+qx+1=0故答案為：②③④．【變式7-1】（24-25八年級·河南洛陽·期中）關于x的方程k?12x2+2k+1A．k>14且k≠1 C．k>14 D．k≥【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程方程的根的判別式，熟悉一元二次方程方程的根的判別式的相關性質是解題的關鍵．根據方程有實數根，利用根的判別式來求k的取值范圍即可．【詳解】解：當方程為一元二次方程時，∵關于x的方程k?12∴△=2k+12?4×解得：k≥14且當方程為一元一次方程時，k=1，方程有實根，綜上所述，k≥1故選：B．【變式7-2】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：無論k為何值，方程總有兩個實數根；(2)若該方程有一個實數根大于3，求k的取值范圍．【答案】(1)詳見解析(2)k>【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）求出方程的判別式的值，利用配方法得出Δ≥0（2）設方程的兩個根分別為x1，x2，利用公式法求方程的解，然后根據一元二次方程根與系數的關系即可求得【詳解】（1）證明：∵a=1，b=?2k+1，c=2k∴Δ∴無論k為何值，方程總有兩個實數根；（2）解：由（1）知，a=1，b=?2k+1，c=2k，b解方程得x=2k+1±∴x1=2k由題意可知，2k>3，∴k>3【變式7-3】（24-25八年級·江蘇揚州·期中）已知a、b、c是△ABC的三邊，關于x的方程cx2+m+bx2?m【答案】直角【分析】本題考查根的判別式，將方程轉化為一般式，根據方程有2個相同的實數根，得到Δ=0【詳解】解：方程轉化為：c+bx由題意，得：Δ=整理，得：4ma∵m>0，∴a2∴a2∵a、b、c是△ABC的三邊，∴△ABC是直角三角形；故答案為：直角．【考點8一元二次方程根與系數的關系】【例8】（24-25八年級·四川內江·階段練習）非零實數a，b滿足a2?a?2023=0，b2?b?2023=0，則【答案】?40472023【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數根x1，x2和系數a，b，c，有如下關系：x1+x2=?ba，x1?x2【詳解】解：∵非零實數a，b滿足a2?a?2023=0，∴當a≠b時，實數a，b是方程x2?x?2023=0的兩個不同的根，由根與系數的關系可得a+b=1，ab=?2023，此時當a=b時，實數a，b是方程x2?x?2023=0的同一個根，此時綜上所述，ba+ab的值是故答案為：?40472023或【變式8-1】（24-25八年級·山東濟南·期中）碩碩和鵬鵬一起解一道一元二次方程題，碩碩看錯了一次項系數，解得方程的兩個根為2和?3，鵬鵬看錯了常數項，解得方程的兩個根為1和4．則原方程正確的解為（

）A．x1=2，x2=3 C．x1=6，x2=?1 【答案】C【分析】本題考查根與系數關系，一元二次方程的一般式，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數構建方程組解決問題；設一元二次方程為x2+bx+c=0，構建方程組求出b，【詳解】解：設一元二次方程為x2由題意得：c=?6?b=1+4∴b=?5∴方程為x2x?6x+1∴x?6=0或x+1=0，解得：x1=6，故選：C【變式8-2】（24-25八年級·福建福州·期中）已知a，b是方程x2+x?2025=0的兩個實數根，則a2【答案】2026【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，代數式求值等知識點，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根之和等于?ba，兩根之積等于ca是解題的關鍵．根據根與系數的關系和一元二次方程的解可得出【詳解】解：∵a,b是方程x2∴a+b=?1，a2∴a故答案為：2026．【變式8-3】（24-25八年級·湖北武漢·期中）已知a，b是方程x2?x?1=0的兩根，則代數式2aA．19 B．20 C．14 D．15【答案】D【分析】由根與系數的關系可得：a+b=1，再由a與b是方程的兩根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3與b3采用降次的方法即可求得結果的值．【詳解】∵a與b是方程x2∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵a3=∴2=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1=9a+9b+6=9(a+b)+6=9×1+6=15故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的概論、一元二次方程根與系數的關系，求代數式的值，靈活進行整式的運算是解題的關鍵．【考點9一元二次方程的應用】【例9】（2024·重慶開州·一模）某工程隊采用A，B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了m+25小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．【答案】(1)A型設備每小時鋪設的路面長度為90米(2)m的值為10【分析】（1）設B型設備每小時鋪設路面x米，則A型設備每小時鋪設路面2x+30米，根據題意列出方程求解即可；（2）根據“A型設備鋪設的路面長度+B型設備鋪設的路面長度=3600+750”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設B型設備每小時鋪設路面x米，則A型設備每小時鋪設路面2x+30米，根據題意得，30x+302x+30解得：x=30，則2x+30=90，答：A型設備每小時鋪設的路面長度為90米；（2）根據題意得，3030+m+25整理得，m2解得：m1=10，∴m的值為10．【點睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應用，解題關鍵是讀懂題意，找準等量關系并列出方程．【變式9-1】（24-25八年級·江蘇無錫·階段練習）小明鍛煉健身，從A地勻速步行到B地用時25分鐘．若返回時，發現走一小路可使A、B兩地間路程縮短200米，便抄小路以原速返回，結果比去時少用2.5分鐘．(1)求返回時A、B兩地間的路程；(2)若小明從A地步行到B地后，以跑步形式繼續前進到C地（整個鍛煉過程不休息）．據測試，在他整個鍛煉過程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，跑步平均每分鐘消耗熱量10卡路里；鍛煉超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時間內平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里．測試結果，在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路里熱量．問：小明從A地到C地共鍛煉多少分鐘．【答案】(1)1800米(2)52分鐘【分析】本題考查一元一次方程，一元二次方程的應用．（1）可設返回時AB兩地之間的距離為x米，根據兩種步行方案的速度相等，列出方程即可求解；（2）可設從A地到C地一共鍛煉時間為y分鐘，根據在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路里熱量，列出方程即可求解．【詳解】（1）解：設返回時A，B兩地間的路程為x米，由題意得：x+20025解得x=1800，答：返回時A、B兩地間的路程為1800米；（2）解：設小明從A地到C地共鍛煉了y分鐘，由題意得：25×6+5×10+10+整理得y2解得y1=52，答：小明從A地到C地共鍛煉52分鐘．【變式9-2】（24-25八年級·河南新鄉·期中）某商店以每件40元的價格購進了一批熱銷商品，出售價格經過兩個月的調整，從每件50元上漲到每件72元，此時每月可售出180件商品：(1)求該商品價格的平均月增長率；(2)因某些原因，商家需盡快將這批商品售出，決定降價出售，經過市場調查發現：售價每降低1元，每個月多賣出10件，則商家在降價的同時，為保證每月的利潤達到6000元，應將售價定為多少元？【答案】(1)20(2)60元【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）設該商品平均每月的價格增長率為m，根據該商品的原價及經過兩次漲價后的價格，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據總利潤＝單價利潤×銷售數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）解：設該商品平均每月的價格增長率為m，501+m解得m1=0.2=20%答∶該商品平均每月的價格增長率為20（2）解：依題意，得x?40180+10解得∶x1∵商家盡快將這批商品售出，∴取60，答∶x為60時該商品每月的利潤可達到6000元．【變式9-3】（24-25八年級·江蘇揚州·期中）某人工智能科技體驗館在十一假期間為學生們制訂了豐富多彩的體驗活動，團體票收費標準為：如果人數不超過10人，人均費用為240元；如果人數超過10人，每增加1人，人均費用降低5元，但人均旅游費用不得低于170元．(1)若有14人參加旅游，人均費用是元．(2)某興趣小組的學生們去參加體驗活動，團體票的費用共3600元，求參加活動的學生人數．【答案】(1)220(2)參加活動的學生人數為18人【分析】本題主要考查了有理數混合運算以及一元二次方程的應用，理解題意，弄清數量關系是解題關鍵．（1）根據“如果人數超過10人，每增加1人，人均費用降低5元”列式求解即可；（2）設參加活動的學生人數為x人，根據題意列出關于x的一元二次方程，求解并對結果進行分析，即可獲得答案．【詳解】（1）解：根據題意，若有14人參加旅游時，人均費用為：240?5×14?10（2）解：設參加活動的學生人數為x人，∵10×240=2400<3600，∴x>10，由題意得，x240?5解得x1=18，當x1=18時，當x2=40時，∵90<170不符合題意，∴舍去．答：參加活動的學生人數為18人．【考點10勾股定理與網格】【例10】（24-25八年級·江蘇淮安·期末）某班學生在勞動實踐基地用一塊正方形試驗田種植蘋果樹，同學們將試驗田分成7×7的正方形網格田，每個小正方形網格田的邊長為1米，如圖所示，為了布局美觀及蘋果樹的健康成長，同學們要把蘋果樹種植在格點處（每個小正方形的頂點叫格點），且每兩棵蘋果樹之間的距離都要大于2米，則這塊試驗田最多可種植棵蘋果樹．【答案】13【分析】此題考查了勾股定理和無理數的估算．此題為了最大化種植蘋果樹的數量，同時滿足每兩棵蘋果樹之間的距離都要大于2米的要求，我們采用隔點種植的方法，在橫縱方向，每行每列最多能種植3棵蘋果樹，因兩棵樹之間的距離最小為3米，而試驗田的邊長為7米，所以最多可以種植3棵蘋果樹，滿足要求，即可求出答案．【詳解】解：在7×7的正方形網格田中，采用隔點種植的方式，每行每列最多能種植3棵蘋果樹,小正方形的對角線長度為22+2如圖，因此，這塊試驗田最多可種植13棵蘋果樹，故答案為：13【變式10-1】（24-25八年級·山西臨汾·期末）如圖，在6×6的網格圖中，每個小方格的邊長為1，請在給定的網格中按下列要求畫出圖形．(1)畫一個三邊長分別為4，5，13的三角形；(2)畫一個腰長為10的等腰直角三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查勾股定理的應用，正確畫圖是解答本題的關鍵．（1）根據勾股定理畫出5,13的線段可得三邊長分別為4，5，（2）運用勾股定理求出邊長為10，可畫出腰長為10的等腰直角三角形【詳解】（1）解：5=12如圖，即為邊長分別為4，5，13的三角形，（2）解：10=如圖，即為腰長為10的等腰直角三角形【變式10-2】（24-25八年級·河南駐馬店·期末）如圖，在邊長為1的小正方形網格中，若△ABC和△BCD的頂點都在小正方形網格的格點上，則∠ACB+∠DBC=（

）A．45° B．75° C．120° D．135°【答案】D【分析】本題考查了格點與勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質，取格點E，F，連接AE,CE，利用勾股定理證明△ACE是等腰直角三角形，得出∠ACE=45°，根據格點的性質推出BD∥CE，得到∠DBC=∠ECF，即【詳解】解：如圖，取格點E，F，連接AE,CE，∵AE=12∴AC∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，由格點的性質得：BD∥∴∠DBC=∠ECF，∴∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ECF=180°?∠ACE=135°，故選：D．【變式10-3】（24-25八年級·安徽安慶·期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，△ABC的頂點A，B，C均在格點上．若AD⊥BC于點D，則線段AD的長為【答案】2【分析】由勾股定求出AC2=5，AB2=20，BC2=25，得到AC=5，AB=25，BC=5【詳解】解：由勾股定理得：AC2=22∴AC=5，AB=25，∵AC∴Δ∵AD⊥BC，∴△ABC的面積=1∴5×2∴AD=2．故答案為：2．【考點11利用勾股定理求值】【例11】（24-25八年級·浙江紹興·期末）如圖，在長方形ABCD中，AB=3，BC=4，將△ABC沿AC折疊，點B落在B′處，AD與B′C交于E，則CEA．134 B．72 C．258【答案】C【分析】先根據翻折變換的性質得出AB=AB′=3，BC=B′C=4，再由AAS得出△CDE≌△AB′E，則AE=CE【詳解】解：∵長方形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∵將△ABC沿AC折疊，點B落在B′處，AD與B′C∴AB=AB′=3在△CDE與△ABCD=AB∴△CDE≌△AB∴AE=CE，DE=B設CE=x，則DE=4?x，在Rt△CDE中，DE2解得x=25∴CE=25故選：C．【點睛】本題考查的是翻折變換，全等三角形的判定與性質，勾股定理，矩形的性質，等腰三角形的判定與性質，熟知以上知識是解題的關鍵．【變式11-1】（24-25八年級·江蘇蘇州·期末）勾股定理是數學史上的一顆玻璃珠．被譽為清代“歷算第一名家”的名數學家梅文鼎先生（圖①）在《梅氏叢書輯要》（由其孫子梅瑴成編纂）的“勾股舉隅”卷中給出了多種勾股定理的證法．其中一種是在圖②的基礎上，運用“出入相補”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ABDE，ACFG，BCHI均為正方形，HI與AE相交于點J，可以證明點D在直線HI上．若△AHJ，△DEJ的面積分別為2和6，則直角邊AC的長為（

）A．2 B．3 C．5 D．2【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，先證明Rt△ABC≌Rt△DBIHL得S△ABC=S△DBI，設AC=a，BC=b，【詳解】解：∵四邊形ABDE，BCHI為正方形，∴AB=BD，BC=BI，∠ACB=∠DIB=90°，∴Rt△ABC≌∴S△ABC設AC=a，BC=b，AB=c，由勾股定理得，a2即S正方形S正方形∴S正方形∴S正方形ACFG=∴a=2，即AC=2，故選：D．【變式11-2】（24-25八年級·陜西西安·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC,BD交于點O．若AD=1,BC=4，則AB2

【答案】17【分析】根據垂直的定義和勾股定理解答即可；【詳解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AA∴A∵AD=1,BC=4,∴A故答案為：17．【點睛】本題考查的是垂直的定義，勾股定理的應用，正確理解“垂美”四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．【變式11-3】（24-25八年級·四川達州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足為E，AE=CE，連接AC，若DE=5(1)AC的長；(2)四邊形ABCD的面積．【答案】(1)6(2)4【分析】本題主要考查了勾股定理的綜合運用、三角形面積的計算等知識點；由勾股定理求出AE、（1）由垂直的定義得出∠AED=∠AEC=90°，由勾股定理求出AE，再求出CE，然后根據勾股定理求解即可；（2）由勾股定理求出AB，再求出CD，再根據S四邊形ABCD=【詳解】（1）解：∵AE⊥CD，∴∠AED=∠AEC=90°，∵AD=61∴AE=A∴CE=AE=6，∴AC=A（2）解：∵∠B=90°，∴AB=A∵CD=CE+DE=6+5=11，∴S四邊形ABCD【考點12趙爽弦圖】【例12】（24-25八年級·江蘇宿遷·期末）綜合實踐我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創造了“趙爽弦圖”．他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數恒等式，嚴密又直觀，為中國古代“形數統一”、代數和幾何緊密結合的獨特風格樹立了一個典范．在一節八上數學復習課上，老師為了弘揚中國的數學文化，和同學們開啟對“趙爽弦圖”的深度研究．(1)類比“弦圖”，證明定理小明同學利用四張全等的直角三角形紙片（如圖1），證明勾股定理．因為大正方形的面積可以看成4個直角三角形與1個邊長為b?a的小正方形組成，即面積表示為：4×12ab+善于思考的小亮同學把一個直立的火柴盒放倒（如圖2），聰明的他發現用不同的方法計算梯形ABCD的面積，也可證明勾股定理，請你和他一起證明．(2)利用“弦圖”，割拼圖形如圖3，老師給出由5個小正方形組成的十字形紙板，讓同學們嘗試剪開，使得剪成的若干塊能夠拼成一個無縫的大正方形，可以怎么剪？請你畫出示意圖．(3)構造“弦圖”，應用計算如圖4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點D是BC中點，過點C作CE⊥AD，垂足為點F，交AB于點E，若BE=3，求AB的長．【答案】(1)證明見解析(2)作圖見解析，(3)9【分析】（1）依據題意，四邊形ABCD的面積從大的一方面來說屬于直角梯形，可利用直角梯形的面積公式進行表示；從組成來看，由三個直角三角形組成．應利用三角形的面積公式來進行表示；（2）由5個小正方形組成的十字形紙板得，拼成的大正方形邊長應為5，由此可得出要沿寬為1，長為2的長方形對角線剪開，才能形成邊長為22+12=（3）依據題意，過B作BG⊥BC交CE的延長線于點G，先證明△ACD≌△CBG，從而CD=BG，再由D是CB的中點，可得CD=12BC=12AC，故BG=12AC，又∠CBG+∠ACB=180°，可得AC∥BG，取AE的中點為H，CE的中點為P，連PH，構造中位線，證出HP∥AC，HP=【詳解】（1）證明：由題意，圖中的四邊形ABCD為直角梯形，△EDA為等腰直角三角形，Rt△ABE和Rt設梯形ABCD的面積為S，則S=1又∵S=S∴1∴a（2）由題意，把由5個小正方形組成的十字形紙板（如圖）剪開，可拼成一個大正方形．，（3）由題意，過B作BG⊥BC交CE的延長線于點G，取AE的中點為H，CE的中點為P，連PH，∵CF⊥AD，∴∠DAC+∠ACF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠GCB=90°．∴∠DAC=∠GCB．又∵AC=CB，∠ACD=∠CBG=90°，∴△ACD≌△CBGASA∴CD=BG．又∵D是CB的中點，∴CD=1∴BG=1∵∠CBG+∠ACB=90°+90°=180°，∴AC∥BG，∵AE的中點為H，CE的中點為P，∴HP∥AC，HP=1∴HP∥AC∥BG，HP=1∴∠PHE=∠EBG，∠HPE=∠G，∴△PHE≌△GBEASA∴BE=EH=HA=1又∵BE=3，∴AE=6，∴AB=AE+BE=6+3=9．【點睛】本題主要考查了勾股定理的證明、完全平方式、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形，解題時要熟練掌握并能讀懂題意，找出關鍵圖形是關鍵．【變式12-1】（24-25八年級·江蘇南京·期末）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD．連接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面積為2a，陰影部分的面積為2b．則AN的長度為（

）A．a+b B．a2+b2 C．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的證明，整式的混合運算．由陰影部分的面積為2b，得到S△ADM=142a?2b=12AM?DN=【詳解】解：由題意得AM=DN，∵正方形ABCD的面積為2a，∴AD=2∵陰影部分的面積為2b，∴S△ADM∴AM=a?b∵S△A